Phương sai của lợi nhuận hàng năm dựa trên phương sai của lợi nhuận hàng tháng

Tôi đang cố gắng hiểu toàn bộ lỗi sai lệch / tiêu chuẩn của một chuỗi thời gian lợi nhuận tài chính và tôi nghĩ rằng tôi đang bị mắc kẹt. Tôi có một loạt dữ liệu trả lại hàng tháng (hãy gọi nó là ), có giá trị kỳ vọng 1.00795 và phương sai 0,000228 (std. Dev là 0,01512). Tôi đang cố gắng tính toán trường hợp xấu nhất của tiền lãi hàng năm (giả sử giá trị kỳ vọng trừ đi hai lần lỗi tiêu chuẩn). Cách nào là cách tốt nhất để làm điều đó? Một . Tính toán nó trong một tháng ( ) và nhân nó với chính nó 12 lần (= 0,7630 ). B . Giả sử các tháng là độc lập, hãy xác định 12 lần, tìm giá trị kỳ vọng E [Y] = (E [X]) ^ {12}μ X - 2 ⋅ σ X = $X$

$\mu_X-2\cdot \sigma_X=0.977$

E [ Y ] = ( E [ X ] ) $Y=X\cdot X\cdot ...\cdot X$$E[Y]=(E[X])^{12}$) và phương sai $\operatorname{var}[Y]=(\operatorname{var}[X]+(E[X])^2)^{12} - ((E[X]^2)^{12}$ . Dev tiêu chuẩn trong trường hợp này là 0,0572 và giá trị dự kiến ​​trừ hai lần so với dev là 0,9853 .

C. Nhân số tiêu chuẩn hàng tháng với $\sqrt{12}$ để lấy giá trị hàng năm. value ( $\mu - 2\cdot \sigma$ ). Nó xuất hiện là 0,9949 .

Cái nào đúng? Cách nào đúng để tính giá trị hàng năm dự kiến ​​trừ hai lần tiêu chuẩn nếu bạn chỉ biết các thuộc tính này cho dữ liệu hàng tháng ? (Nói chung - nếu $Y=X\cdot X\cdot ...\cdot X$ 12 lần và $\mu_X$ , $\sigma_X$được biết, gì?)$\mu_Y-2\cdot \sigma_Y$

Nếu bạn xác định lợi nhuận tỷ lệ là , trong đó là giá, thì không có gì lạ với lợi nhuận hàng ngày chỉ đơn giản là nhân tỷ lệ hoàn vốn theo tỷ lệ với (số lần làm việc ngày trong một năm) và độ lệch chuẩn theo để hàng năm hóa chúng. Này tương ứng với trường hợp của bạn C . Vấn đề ở đây là để rescale để một nhân vật hàng năm có ý nghĩa có thể được báo cáo từ các nhân vật hàng ngày (nhưng bạn sẽ không sử dụng để các số liệu một cách nghiêm ngặt so sánh có nguồn gốc từ hàng ngày đối với những nguồn gốc từ hàng tháng). Nói chung, bạn sẽ thực hiện tất cả các tính toán của mình và đưa ra tất cả các quyết định của mình theo tần suất bạn đã thu thập dữ liệu của mình (hàng tháng trong trường hợp của bạn). P 250 $\Delta P/P = (P_{t+1}-P_t)/P_t$$P$$250$$\sqrt{250}$

Cách tiếp cận đúng về mặt lý thuyết là sử dụng trả về log = (sử dụng nhật ký tự nhiên). Công thức cho kỳ vọng của một tổng các biến ngẫu nhiên sau đó có thể được sử dụng một cách chính xác, bởi vì tổng lợi nhuận của nhật ký là nhật ký của sản phẩm trả về.$\log(P_{t+1}/P_t)$

Hơn nữa, nếu bạn sử dụng trả về nhật ký, Định lý giới hạn trung tâm đưa ra một số lý do lý thuyết rằng lợi nhuận của nhật ký được phân phối bình thường (về cơ bản Định lý giới hạn trung tâm nói rằng tổng các biến độc lập có xu hướng phân phối bình thường khi số lượng biến ngẫu nhiên trong tổng tăng ). Điều này cho phép bạn chỉ định xác suất để thấy lợi nhuận nhỏ hơn (xác suất được đưa ra bởi hàm phân phối tích lũy cho phân phối bình thường: . Nếu lợi nhuận của nhật ký được phân phối bình thường, thì chúng tôi nói rằng lợi nhuận được phân phối một cách hợp lý - đây là một trong những giả định được sử dụng từ công thức định giá tùy chọn Black Scholes nổi tiếng.Φ ( - 2 ) ≃ 0,023 $\mu - 2\sigma$$\Phi(-2) \simeq 0.023)$

Một điều cần lưu ý là khi lợi nhuận tỷ lệ nhỏ, thì lợi nhuận tỷ lệ xấp xỉ bằng lợi nhuận của nhật ký. Lý do cho điều này là chuỗi Taylor cho logarit tự nhiên được đưa ra bởi và khi lợi nhuận tỷ lệ nhỏ, bạn có thể bỏ qua các điều khoản với , , v.v. Phép tính gần đúng này mang lại sự thoải mái hơn một chút cho những người chọn làm việc với lợi nhuận tỷ lệ và nhân trung bình với và độ lệch chuẩn theo !xx2x3n$\log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \ldots$$x$$x^2$$x^3$$n$$\sqrt{n}$

Bạn nên có thể tìm thêm thông tin trên web. Ví dụ, tôi đã thử tìm kiếm "nhật ký trả lại" để làm mới bộ nhớ của mình và lần truy cập đầu tiên có vẻ khá tốt.

Những gì bạn đã đặt trong trường hợp A là sai. Trong phần còn lại của bài đăng của bạn, bạn sử dụng sự thật rằng (i) kỳ vọng về tổng các biến ngẫu nhiên là tổng của các kỳ vọng của họ và (ii) phương sai của một tổng các biến ngẫu nhiên độc lập là tổng phương sai của chúng. Từ (ii), theo đó độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên phân phối độc lập với độ lệch chuẩn là . Nhưng trong trường hợp A, bạn đã nhân cả giá trị trung bình và độ lệch chuẩn với , trong khi đó giá trị trung bình cần được nhân với và độ lệch chuẩn bằngσ $n$$\sigma$LXσXnn$\sqrt{n}\sigma$$\mu_X$$\sigma_X$$n$$n$$\sqrt{n}$.

Một điểm tinh tế nhưng quan trọng, như được lưu ý trong nhận xét của @ whuber, đó là quy tắc (ii) yêu cầu tương quan, trong trường hợp chuỗi thời gian có nghĩa là không có tương quan nối tiếp (thường là đúng nhưng đáng để kiểm tra). Yêu cầu về tính độc lập giữ trong cả trường hợp trả về tỷ lệ và log.

(Trước đây tôi chưa thấy trường hợp B , sản phẩm của các biến ngẫu nhiên. Tôi không nghĩ cách tiếp cận này được sử dụng phổ biến. Tôi chưa xem chi tiết các tính toán của bạn, nhưng các số của bạn có vẻ đúng và công thức có thể được tìm thấy trên wikipedia . Theo tôi cách tiếp cận này có vẻ rất nhiều phức tạp hơn hoặc xấp xỉ tham gia trong việc sử dụng lợi nhuận theo tỷ lệ hoặc cách tiếp cận lý thuyết âm thanh của việc sử dụng lợi nhuận log. Và, so với sử dụng lợi nhuận log, những gì bạn có thể nói về phân phối của Y? Làm thế nào bạn có thể chỉ định xác suất cho trường hợp xấu nhất của bạn, ví dụ?)