Kiểm tra tính độc lập, khi tôi thiếu một thùng dự phòng 2x2

Tôi đang tìm kiếm một số trợ giúp để đưa ra một bài kiểm tra giả thuyết cho tình huống sau đây.

1. Tôi có một nguồn phóng xạ thường xuyên phun ra một hạt.

2. Ngoài ra, tôi có hai máy dò hạt: máy dò hạt màu đỏ và máy dò hạt màu xanh lá cây. Bất cứ khi nào máy dò hạt màu đỏ phát hiện ra một hạt, nó sẽ nháy đèn đỏ; hãy để biểu thị sự kiện rằng hạt được phát hiện bởi máy dò màu đỏ và là sự kiện bổ sung mà hạt không được phát hiện bởi máy dò màu đỏ. Bất cứ khi nào máy dò hạt màu xanh lá cây phát hiện ra một hạt, nó sẽ nháy đèn xanh; Đặt là sự kiện mà máy dò màu xanh lá cây phát hiện ra hạt và thì không. Do đó, mỗi hạt phát ra thuộc một trong bốn loại:$R$$r$$G$$g$

   • được phát hiện bởi cả hai máy dò ( ),$RG$
   • được phát hiện bởi máy dò màu đỏ nhưng không phải là máy dò màu xanh lá cây ( ),$Rg$
   • được phát hiện bởi máy dò màu xanh lá cây nhưng không phải là máy dò màu đỏ ( ), hoặc$rG$
   • không được phát hiện bởi một trong hai máy dò ( ).$rg$

3. Mỗi khi một hạt được phát ra, máy dò màu đỏ có một số xác suất phát hiện hạt và máy dò màu xanh lá cây có một số xác suất phát hiện hạt. (Chúng sẽ không bao giờ kích hoạt phát hiện sai khi không có hạt.) Tôi biết rằng mỗi hạt được xử lý giống hệt và độc lập với tất cả các hạt khác, nhưng tôi không biết liệu hai máy dò có độc lập với nhau không. Có thể chúng độc lập (nghĩa là ) hoặc chúng có tương quan với nhau (nghĩa là \ Pr [RG] \ ne \ Pr [R] \ Pr [ G] ); Tôi không biết đó là trường hợp nào, một tiên nghiệm.$\Pr[RG] = \Pr[R] \Pr[G]$$\Pr[RG] \ne \Pr[R] \Pr[G]$

4. Tôi giữ số đếm số lần phát hiện của (nghĩa là số lần cả hai máy dò phát hiện ra thứ gì đó), số lần phát hiện (nghĩa là số lần máy dò màu đỏ phát hiện thứ gì đó, nhưng không phải là số lần phát hiện màu xanh lá cây) và số lượng các phần . Thật không may, tôi không có cách nào để đo số lượng thành phần , vì những hạt đó không được phát hiện bởi một trong hai máy dò. Vào cuối thí nghiệm, tôi có ba số nguyên không âm, đại diện cho các số đếm này.$RG$$Rg$$rG$$rg$

Tôi muốn thử nghiệm các giả thuyết rằng hai máy dò là độc lập, ví dụ, rằng sự kiện không phụ thuộc vào sự kiện . Bất cứ ai có thể giúp đề xuất một cách để tính giá trị của giả thuyết này, được đưa ra 3 số từ một thí nghiệm như vậy?$H$$R$$G$$p$

Tôi hoàn toàn hài lòng với thuật toán / thủ tục máy tính để tính giá trị . Tôi không cần một công thức đơn giản; một cái gì đó có thể được tính toán bằng máy tính là đủ.$p$

Đây là một cách khác để xem điều này. Chúng ta có thể tạo một bảng dự phòng 2x2, chẳng hạn như bảng này:

     G | g
  ---------
R | 17 22
r | 12?

ghi lại rằng chúng tôi đã thấy 17 mức độ , 22 , v.v. Thật không may, ô phía dưới bên phải trống rỗng, vì chúng ta không biết có bao nhiêu hạt được phát ra. Nếu chúng tôi có số lượng cho cả bốn ô, có lẽ chúng tôi có thể sử dụng thử nghiệm chính xác của Fisher, nhưng chúng tôi thì không. Ngoài ra, chúng tôi không đưa ra hoặc (Tôi đoán chúng là các tham số phiền toái) hoặc tổng số hạt phát ra.$RG$$Rg$$rg$$\Pr[R]$$\Pr[G]$

Bất kỳ đề xuất?

Nếu số lượng còn thiếu gần 22 * ​​12/17, bảng sẽ xuất hiện độc lập. Điều này phù hợp với những quan sát của bạn. Nếu số lượng còn thiếu xa giá trị này, bảng sẽ thể hiện sự thiếu phụ thuộc mạnh mẽ. Điều này cũng vậy, phù hợp với quan sát của bạn. Rõ ràng dữ liệu của bạn không thể phân biệt hai trường hợp: độc lập hoặc thiếu dữ liệu là không thể xác định được . Do đó, hy vọng duy nhất của bạn là áp dụng các giả định bổ sung, chẳng hạn như trước cho số lượng còn thiếu (tương đương, cho tổng số hạt phát ra).