Cách tính độ lệch chuẩn 2D, với giá trị trung bình 0, giới hạn bởi các giới hạn

Vấn đề của tôi là như sau: Tôi thả 40 quả bóng cùng một lúc từ một điểm nhất định, cách sàn nhà vài mét. Các quả bóng lăn, và đến phần còn lại. Sử dụng thị giác máy tính, tôi tính toán trọng tâm khối lượng trong mặt phẳng XY. Tôi chỉ quan tâm đến khoảng cách từ tâm khối lượng đến mỗi quả bóng, được tính bằng hình học đơn giản. Bây giờ, tôi muốn biết độ lệch chuẩn một phía từ trung tâm. Vì vậy, tôi có thể biết rằng một số lượng bóng nhất định nằm trong bán kính một tiêu chuẩn, nhiều bóng hơn trong bán kính 2 * std, v.v. Làm cách nào để tính độ lệch chuẩn một phía? Một cách tiếp cận thông thường sẽ nói rằng một nửa số quả bóng nằm ở "phía tiêu cực" có nghĩa là 0. Điều này tất nhiên không có ý nghĩa trong thí nghiệm này. Tôi có phải đảm bảo rằng các quả bóng phù hợp với phân phối tiêu chuẩn không? Cảm ơn bạn đã giúp đỡ.

Để mô tả mức độ phân tán 2D xung quanh tâm, bạn chỉ muốn khoảng cách bình phương (gốc)

$$\hat\sigma=\text{RMS} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_i\left((x_i - \bar{x})^2 + (y_i - \bar{y})^2\right)}.$$

Trong công thức này, là tọa độ điểm và trọng tâm của chúng (điểm trung bình) là( ˉ x , ˉ y ) $(x_i, y_i), i=1, 2, \ldots, n$$(\bar{x}, \bar{y}).$

---

Câu hỏi yêu cầu phân phối khoảng cách. Khi các quả bóng có phân phối đẳng hướng đẳng hướng xung quanh tâm của chúng - đó là một giả định hợp lý và tiêu chuẩn - khoảng cách bình phương tỷ lệ thuận với phân bố chi bình phương với hai bậc tự do (một cho mỗi tọa độ). Đây là hệ quả trực tiếp của một định nghĩa về phân phối chi bình phương là tổng bình phương của các biến thông thường tiêu chuẩn độc lập, bởi vì là sự kết hợp tuyến tính của các biến thiên bình thường độc lập với kỳ vọng Viết phương sai chung củaE[xi- ˉ x ]=n-

$$x_i - \bar{x} = \frac{n-1}{n}x_i - \sum_{j\ne i}\frac{1}{n}x_j$$ xiσ2E[(xi- ˉ x )2]=Var(xi- ˉ x )=( n - $$\mathbb{E}[x_i - \bar{x}] = \frac{n-1}{n}\mathbb{E}[x_i] -\sum_{j\ne i}\frac{1}{n}\mathbb{E}[x_j] = 0.$$ $x_i$như , Giả định của bất đẳng hướng là có cùng phân phối với và độc lập với chúng, do đó, một kết quả giống hệt nhau cho phân phối của . Điều này thiết lập hằng số tỷ lệ: bình phương của các khoảng cách có phân phối chi bình phương với hai bậc tự do, được chia tỷ lệ theo .$\sigma^2$yjxi(yj- ˉ y )2n-1 $$\mathbb{E}[\left(x_i -\bar{x}\right)^2]=\text{Var}(x_i - \bar{x}) = \left(\frac{n-1}{n}\right)^2\text{Var}(x_i) + \sum_{j\ne i}\left(\frac{1}{n}\right)^2\text{Var}(x_j) = \frac{n-1}{n}\sigma^2.$$ $y_j$$x_i$$(y_j - \bar{y})^2$$\frac{n-1}{n}\sigma^2$

Thử nghiệm nghiêm trọng nhất của các phương trình này là trường hợp , khi đó phân số khác nhiều nhất với . Bằng cách mô phỏng thử nghiệm, cả và , và ghi đè lên biểu đồ của khoảng cách bình phương với các phân phối chi bình phương tỷ lệ (màu đỏ), chúng tôi có thể xác minh lý thuyết này.n - $n=2$ 1n=2n=$\frac{n-1}{n}$$1$$n=2$$n=40$

Mỗi hàng hiển thị cùng một dữ liệu: bên trái trục x là logarit; bên phải nó hiển thị khoảng cách bình phương thực tế. Giá trị thực của cho các mô phỏng này được đặt thành .$\sigma$$1$

Các kết quả này dành cho 100.000 lần lặp với và 50.000 lần lặp với . Các thỏa thuận giữa biểu đồ và mật độ chi bình phương là tuyệt vời.$n=2$$n=40$

---

Mặc dù chưa được biết nhưng có thể ước tính theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, khoảng cách bình phương trung bình phải là lần giá trị trung bình của , là . Ví dụ, với , ước tính là lần khoảng cách bình phương trung bình. Do đó, ước tính sẽ là với khoảng cách RMS. Sử dụng các giá trị của phân phối sau đó chúng ta có thể nói rằng:$\sigma^2$$\frac{n-1}{n}\sigma^2$$\chi^2_2$$2$$n=40$$\sigma^2$$\frac{40}{39}/2$$\sigma$$\sqrt{40/78}$$\chi^2_2$

• Khoảng 39% khoảng cách sẽ nhỏ hơn , vì 39% phân phối nhỏ hơn .$\sqrt{39/40}\hat\sigma$$\chi^2_2$$1$

• Khoảng 78% khoảng cách sẽ nhỏ hơn lần , vì 78% phân phối nhỏ hơn .$\sqrt{3}$$\sqrt{39/40}\hat\sigma$$\chi^2_2$$3$

Và như vậy, đối với bất kỳ nhiều bạn quan tâm để sử dụng thay cho hoặc . Để kiểm tra, trong các mô phỏng cho vẽ trước đó, tỷ lệ thực tế của khoảng cách bình phương nhỏ hơn lần là3 n = 40 1 , 2 , ... , 10 n - $1$$3$$n=40$$1, 2, \ldots, 10$$\frac{n-1}{n}\hat\sigma^2$

0.3932 0.6320 0.7767 0.8647 0.9178 0.9504 0.9700 0.9818 0.9890 0.9933

Tỷ lệ lý thuyết là

0.3935 0.6321 0.7769 0.8647 0.9179 0.9502 0.9698 0.9817 0.9889 0.9933

Thỏa thuận là tuyệt vời.

---

Đây là Rmã để tiến hành và phân tích các mô phỏng.

f <- function(n, n.iter, x.min=0, x.max=Inf, plot=TRUE) {
  #
  # Generate `n.iter` experiments in which `n` locations are generated using
  # standard normal variates for their coordinates.
  #
  xy <- array(rnorm(n*2*n.iter), c(n.iter,2,n))
  #
  # Compute the squared distances to the centers for each experiment.
  #
  xy.center <- apply(xy, c(1,2), mean)
  xy.distances2 <- apply(xy-array(xy.center, c(n.iter,2,n)), c(1,3), 
                         function(z) sum(z^2))
  #
  # Optionally plot histograms.
  #
  if(plot) {
    xy.plot <- xy.distances2[xy.distances2 >= x.min & xy.distances2 <= x.max]

    hist(log(xy.plot), prob=TRUE, breaks=30,
         main=paste("Histogram of log squared distance, n=", n),
         xlab="Log squared distance")
    curve(dchisq(n/(n-1) * exp(x), df=2) * exp(x) * n/(n-1), 
          from=log(min(xy.plot)), to=log(max(xy.plot)), 
          n=513, add=TRUE, col="Red", lwd=2)

    hist(xy.plot, prob=TRUE, breaks=30,
         main=paste("Histogram of squared distance, n=", n),
         xlab="Squared distance")
    curve(n/(n-1) * dchisq(n/(n-1) * x, df=2), 
          from=min(xy.plot), to=max(xy.plot), 
          n=513, add=TRUE, col="Red", lwd=2)  
  }
  return(xy.distances2)
}
#
# Plot the histograms and compare to scaled chi-squared distributions.
#
par(mfrow=c(2,2))
set.seed(17)
xy.distances2 <- f(2, 10^5, exp(-6), 6)
xy.distances2 <- f(n <- 40, n.iter <- 50000, exp(-6), 12)
#
# Compare the last simulation to cumulative chi-squared distributions.
#
sigma.hat <- sqrt((n / (2*(n-1)) * mean(xy.distances2)))
print(cumsum(tabulate(cut(xy.distances2, 
                    (0:10) * (n-1)/n * sigma.hat^2))) / (n*n.iter), digits=4)
print(pchisq(1:10, df=2), digits=4)

Tôi nghĩ rằng bạn có một số điều một chút bối rối. Đúng là khoảng cách không thể âm, nhưng điều đó không ảnh hưởng đến việc tính toán độ lệch chuẩn. Mặc dù điều đó có nghĩa là phân phối khoảng cách không thể chính xác bình thường, nhưng nó vẫn có thể gần; nhưng ngay cả khi nó khác xa bình thường, vẫn có độ lệch chuẩn.

Ngoài ra, không có độ lệch chuẩn "một phía" - bạn có thể nghĩ đến các bài kiểm tra giả thuyết (có thể là một mặt hoặc hai mặt). Trong tiêu đề của bạn, bạn nói trung bình là 0, nhưng khoảng cách trung bình sẽ không là 0 (trừ khi các quả bóng nằm trong một chồng cao 40 quả bóng!) Và bạn nói có giới hạn - có thể có giới hạn, nếu các quả bóng được thả vào một căn phòng sau đó họ không thể ở xa trung tâm hơn khoảng cách đến bức tường gần nhất. Nhưng trừ khi một số quả bóng nảy vào tường, điều đó sẽ không ảnh hưởng đến mọi thứ.

Vì vậy, một khi bạn có 40 khoảng cách bạn tính độ lệch chuẩn (và trung bình, trung bình, phạm vi liên dải, v.v.) bằng các phương pháp tiêu chuẩn. Bạn cũng có thể tạo các ô khoảng cách (ví dụ: ô bình thường lượng tử, ô hình hộp) để xem nó có được phân phối bình thường không (nếu đó là điều đáng quan tâm).

Đã được một thời gian kể từ khi điều này được hỏi, nhưng câu trả lời cho câu hỏi là đây là bản phân phối 2D có tên là bản phân phối Rayleigh. Ở đây, giả định là hệ số hình dạng Rayleigh bằng cả độ lệch chuẩn của tọa độ X và Y. Trong thực tế, giá trị của hệ số hình dạng sẽ được tính từ trung bình gộp của độ lệch chuẩn của X và Y.

bắt đầu bằng và

$$X \sim \mathcal{N}(\mu_x,\sigma_x^2)$$ $$Y \sim \mathcal{N}(\mu_y,\sigma_y^2)$$

sử dụng phân phối bivariant bình thường.

$$f(x,y) = \frac{1}{2 \pi \sigma_x \sigma_y \sqrt{1-\rho^2}} \exp\left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[ \frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2} + \frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2} - \frac{2\rho(x-\mu_x)(y-\mu_y)}{\sigma_x \sigma_y} \right] \right)$$

dịch sang điểm và giả sử .

$$(\mu_x, \mu_y)$$ $$\rho = 0$$

Đồng thời giả sử rằng vì vậy hãy thay thế cả hai bằng

$$\sigma_x^2 = \sigma_y^2$$ $$\sigma^2$$

sau đó phân phối 2 chiều được biểu thị bằng bán kính quanh điểm được gọi là phân phối Rayleigh .

$$(\mu_x, \mu_y)$$

$$PDF(r; \sigma) = \frac{r}{\sigma^2 } \exp\left( - \frac{r^2}{2\sigma^2} \right)$$ trong đó và $$\sigma = \sigma_x = \sigma_y$$ $$r_i = \sqrt{(x_i - \mu_x)^2 + (y_i - \mu_y)^2}$$

$$CDF(r; \sigma) = 1 - \exp\left( - \frac{r^2}{2\sigma^2} \right)$$

Tất nhiên điều này là để phân phối liên tục. Đối với một mẫu chỉ 40 quả bóng, không có giải pháp chính xác. Bạn cần thực hiện Phân tích Monte Carlo với mẫu 40 quả bóng. Taylor, MS & Grubbs, Frank E. (1975). "Các phân phối xác suất gần đúng cho mức chênh lệch cực lớn" đã tìm thấy các ước tính cho phân phối Chi và log-normal cho phù hợp với phân phối của một mẫu.

---

Chỉnh sửa - Mặc dù nghi ngờ của Wuber, tỷ lệ lý thuyết mà anh ta tính toán là:

0,3935 0,6321 0,7769 0,8647 0,9179 0,9502 0,969 0,9817 0,9889 0,9933

Từ hàm CDF, các giá trị Sigma tích lũy cho r (tính bằng sigmas) bằng với phạm vi từ:

0-1, 0-2, 0-3, ..., 0-10

Chúng tôi:

0,3935, 0,6321, 0,7769, 0,8647, 0,9179, 0,9502, 0,9698, 0,9817, 0,9889, 0,9933

Phân phối bình thường, cả giá trị dương và âm, sẽ có ý nghĩa nếu bạn nhận ra rằng phân phối bình thường này là cho bán kính hoặc "khoảng cách từ centroid". Biến khác, góc, là ngẫu nhiên và được phân phối đồng đều từ 0-pi