Tại sao Entropy được tối đa hóa khi phân phối xác suất đồng đều?

Tôi biết rằng entropy là thước đo tính ngẫu nhiên của một quá trình / biến và nó có thể được định nghĩa như sau. cho một biến ngẫu nhiên tập : - . Trong cuốn sách về Entropy và Lý thuyết thông tin của MacKay, ông cung cấp tuyên bố này trong Ch2A H ( X ) = ∑ x i ∈ A - p ( x i ) log ( p ( x i ) $X \in$$A$$H(X)= \sum_{x_i \in A} -p(x_i) \log (p(x_i))$

Entropy được tối đa hóa nếu p là thống nhất.

Theo trực giác, tôi có thể hiểu nó, giống như nếu tất cả các điểm dữ liệu trong tập được chọn với xác suất bằng nhau ( là cardinality của tập ), thì độ ngẫu nhiên hoặc entropy tăng. Nhưng nếu chúng ta biết rằng một số điểm trong tập sẽ xảy ra với xác suất cao hơn các điểm khác (giả sử trong trường hợp phân phối bình thường, trong đó nồng độ tối đa của các điểm dữ liệu nằm xung quanh khu vực độ lệch chuẩn trung bình và nhỏ xung quanh nó, thì tính ngẫu nhiên hoặc entropy nên giảm.1 / m m A $A$$1/m$$m$$A$$A$

Nhưng có bằng chứng toán học nào cho việc này không? Giống như phương trình của tôi phân biệt nó với và đặt nó thành 0 hoặc đại loại như thế.p ( x $H(X)$$p(x)$

Mặt khác, có bất kỳ mối liên hệ nào giữa entropy xảy ra lý thuyết thông tin và tính toán entropy trong hóa học (nhiệt động lực học) không?

Theo kinh nghiệm, hàm mật độ xác suất trên với entropy tối đa hóa ra là tương ứng với lượng kiến ​​thức ít nhất về { x 1 , x 2 , . . , . x n } , nói cách khác là phân phối Thống nhất.$\{x_1, x_2,..,.x_n\}$$\{x_1, x_2,..,.x_n\}$

Bây giờ, để có bằng chứng chính thức hơn, hãy xem xét những điều sau đây:

Hàm mật độ xác suất trên là một tập hợp các số thực không âm p 1 , . . . , P n mà thêm lên đến 1. Entropy là một hàm liên tục của n -tuples ( p 1 , . . . , P n ) , và những điểm nằm trong một tập con compact của R n , do đó là một $\{x_1, x_2,..,.x_n\}$$p_1,...,p_n$$n$$(p_1,...,p_n)$$\mathbb{R}^n$$n$-tuple nơi entropy được tối đa hóa. Chúng tôi muốn thể hiện điều này xảy ra ở và nơi nào khác.$(1/n,...,1/n)$

Giả sử không bằng nhau, giả sử p 1 < p 2 . (Rõ ràng n ≠ 1 .) Chúng tôi sẽ tìm thấy một mật độ xác suất mới với entropy cao hơn. Sau đó, vì entropy được tối đa hóa ở một số n -tuple, entropy đó được tối đa hóa duy nhất tại n -tuple với p i = 1 / n cho tất cả i .$p_j$$p_1 < p_2$$n\neq 1$$n$$n$$p_i = 1/n$$i$

Kể từ , cho dương nhỏ ε chúng ta có p 1 + ε < p 2 - ε . Entropy của { p 1 + ε , p 2 - ε , p 3 , . . . , p n } trừ entropy của { p 1 , p 2 , p 3 , . . . , $p_1 < p_2$$\varepsilon$$p_1 + \varepsilon < p_2 -\varepsilon$$\{p_1 + \varepsilon, p_2 -\varepsilon,p_3,...,p_n\}$ bằng$\{p_1,p_2,p_3,...,p_n\}$

$$-p_1\log\left(\frac{p_1+\varepsilon}{p_1}\right)-\varepsilon\log(p_1+\varepsilon)-p_2\log\left(\frac{p_2-\varepsilon}{p_2}\right)+\varepsilon\log(p_2-\varepsilon)$$ To complete the proof, we want to show this is positive for small enough $\varepsilon$. Rewrite the above equation as $$-p_1\log\left(1+\frac{\varepsilon}{p_1}\right)-\varepsilon\left(\log p_1+\log\left(1+\frac{\varepsilon}{p_1}\right)\right)-p_2\log\left(1-\frac{\varepsilon}{p_2}\right)+\varepsilon\left(\log p_2+\log\left(1-\frac{\varepsilon}{p_2}\right)\right)$$

$\log(1 + x) = x + O(x^2)$$x$

$$-\varepsilon-\varepsilon\log p_1 + \varepsilon + \varepsilon \log p_2 + O(\varepsilon^2) = \varepsilon\log(p_2/p_1) + O(\varepsilon^2)$$ which is positive when $\varepsilon$ is small enough since $p_1 < p_2$.

A less rigorous proof is the following:

Consider first the following Lemma:

Let $p(x)$ and $q(x)$ be continuous probability density functions on an interval $I$ in the real numbers, with $p\geq 0$ and $q > 0$ on $I$. We have

$$-\int_I p\log p dx\leq -\int_I p\log q dx$$ if both integrals exist. Moreover, there is equality if and only if $p(x) = q(x)$ for all $x$.

Now, let $p$ be any probability density function on $\{x_1,...,x_n\}$, with $p_i = p(x_i)$. Letting $q_i = 1/n$ for all $i$,

$$-\sum_{i=1}^n p_i\log q_i = \sum_{i=1}^n p_i \log n=\log n$$ which is the entropy of $q$. Therefore our Lemma says $h(p)\leq h(q)$, with equality if and only if $p$ is uniform.

Also, wikipedia has a brief discussion on this as well: wiki

Entropy in physics and information theory are not unrelated. They're more different than the name suggests, yet there's clearly a link between. The purpose of entropy metric is to measure the amount of information. See my answer with graphs here to show how entropy changes from uniform distribution to a humped one.

The reason why entropy is maximized for a uniform distribution is because it was designed so! Yes, we're constructing a measure for the lack of information so we want to assign its highest value to the least informative distribution.

Example. I asked you "Dude, where's my car?" Your answer is "it's somewhere in USA between Atlantic and Pacific Oceans." This is an example of the uniform distribution. My car could be anywhere in USA. I didn't get much information from this answer.

However, if you told me "I saw your car one hour ago on Route 66 heading from Washington, DC" - this is not a uniform distribution anymore. The car's more likely to be in 60 miles distance from DC, than anywhere near Los Angeles. There's clearly more information here.

Hence, our measure must have high entropy for the first answer and lower one for the second. The uniform must be least informative distribution, it's basically "I've no idea" answer.

The mathematical argument is based on Jensen inequality for concave functions. That is, if $f(x)$ is a concave function on $[a,b]$ and $y_1, \ldots y_n$ are points in $[a,b]$, then: $n \cdot f(\frac{y_1 + \ldots y_n}{n}) \geq f(y_1) + \ldots + f(y_n)$

Apply this for the concave function $f(x) = -x \log(x)$ and Jensen inequality for $y_i = p(x_i)$ and you have the proof. Note that $p(x_i)$ define a discrete probability distribution, so their sum is 1. What you get is $log(n) \geq \sum_{i=1}^n - p(x_i) log(p(x_i))$, with equality for the uniform distribution.

On a side note, is there any connnection between the entropy that occurs information theory and the entropy calculations in chemistry (thermodynamics) ?

Yes, there is! You can see the work of Jaynes and many others following his work (such as here and here, for instance).

But the main idea is that statistical mechanics (and other fields in science, also) can be viewed as the inference we do about the world.

As a further reading I'd recommend Ariel Caticha's book on this topic.

An intuitive explanation:

If we put more probability mass into one event of a random variable, we will have to take away some from other events. The one will have less information content and more weight, the others more information content and less weight. Therefore the entropy being the expected information content will go down since the event with lower information content will be weighted more.

As an extreme case imagine one event getting probability of almost one, therefore the other events will have a combined probability of almost zero and the entropy will be very low.

Main idea: take partial derivative of each $p_i$, set them all to zero, solve the system of linear equations.

Take a finite number of $p_i$ where $i=1,...,n$ for an example. Denote $q = 1-\sum_{i=0}^{n-1} p_i$.

$$\begin{align} H &= -\sum_{i=0}^{n-1} p_i \log p_i - (1-q)\log q\\ H*\ln 2 &= -\sum_{i=0}^{n-1} p_i \ln p_i - (1-q)\ln q \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial p_i} &= \ln \frac{q}{p_i} = 0 \end{align}$$ Then $q = p_i$ for every $i$, i.e., $p_1=p_2=...=p_n$.