Các mối tương quan có thể đạt được cho các biến ngẫu nhiên theo cấp số nhân

Phạm vi tương quan có thể đạt được của cặp biến ngẫu nhiên phân tán theo cấp số nhân và , trong đó là các thông số tỷ lệ?$X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$$X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$$\lambda_1, \lambda_2 > 0$

Đặt (resp. \ Rho _ {\ max} ) biểu thị giới hạn dưới (phía trên) của mối tương quan có thể đạt được giữa X_1 và X_2 . Giới hạn \ rho _ {\ min} và \ rho _ {\ max} đạt được khi X_1 và X_2 tương ứng là đối kháng và comonotonic (xem tại đây ).$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

Giới hạn dưới
Để xác định giới hạn dưới chúng tôi xây dựng một cặp biến số mũ đối xứng và tính toán tương quan của chúng.$\rho_{\min}$

Điều kiện cần và đủ được đề cập ở đây và biến đổi tích phân xác suất cung cấp một cách thuận tiện để xây dựng các biến ngẫu nhiên và sao cho chúng là phản đối. Hãy nhớ rằng hàm phân phối theo cấp số nhân là , vì vậy hàm lượng tử là .$X_1$$X_2$
$F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$$F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

Đặt là các biến ngẫu nhiên được phân phối đồng đều, sau đó cũng được phân phối đồng đều và các biến ngẫu nhiên có phân phối theo cấp số nhân với tỷ lệ và tương ứng. Ngoài ra, chúng là đối kháng kể từ và và các hàm và tương ứng tăng và giảm.$U\sim U(0, 1)$$1-U$

$$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$X_1 = h_1(U)$$X_2 = h_2(U)$$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

Bây giờ, hãy tính tương quan của và . Theo các thuộc tính của phân bố mũ, chúng ta có , , và . Ngoài ra, chúng tôi có trong đó$X_1$$X_2$${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$$ $f_U(u) \equiv 1$là hàm mật độ của phân bố đồng đều tiêu chuẩn. Để có sự bình đẳng cuối cùng, tôi đã dựa vào WolframAlpha .

Do đó, Lưu ý rằng giới hạn dưới không phụ thuộc vào tỷ lệ và và tương quan không bao giờ đạt , ngay cả khi cả hai lề đều bằng nhau (nghĩa là khi ).

$$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$-1$$\lambda_1 = \lambda_2$

Giới hạn trên
Để xác định giới hạn trên chúng tôi thực hiện theo một cách tiếp cận tương tự với một cặp biến số mũ lũy thừa. Bây giờ, hãy để và trong đó và , cả hai đều tăng chức năng. Vì vậy, các biến ngẫu nhiên này là comonotonic và cả hai hàm mũ được phân phối với tỷ lệ và .$\rho_{\max}$$X_1 = g_1(U)$$X_2 = g_2(U)$$g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$$\lambda_1$$\lambda_2$

Chúng tôi có và do đó, Tương tự như giới hạn dưới, giới hạn trên không phụ thuộc vào tỷ lệ và .

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$