tổng các biến ngẫu nhiên không bình phương Chi-vuông

21

Tôi cần phải tìm sự phân bố của các biến ngẫu nhiên

Y = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$ nơi và tất cả các s là độc lập. Tôi biết rằng trước tiên có thể tìm sản phẩm của tất cả các hàm tạo thời điểm cho s, sau đó chuyển đổi trở lại để có được phân phối củaTuy nhiên, tôi tự hỏi liệu có một dạng chung cho như trường hợp Gaussian hay không: chúng ta biết tổng Gaussian độc lập vẫn là một Gaussian, và do đó chúng ta chỉ cần biết trung bình tổng và phương sai tổng.

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

Y

$Y$

Y

$Y$

Còn tất cả thì sao? Điều kiện này sẽ làm cho một giải pháp chung? $\sigma^2_i=\sigma^2$

— cạm bẫy
nguồn

1

Nhìn vào đoạn đầu tiên dưới đây , ghi rõ điều kiện cuối cùng mang lại một quy mô noncentral chi-square (chia thông qua bởi

(yếu tố quy mô bạn đưa ra phía trước) và làm

trong

). Dạng tổng quát hơn bạn bắt đầu với trông giống như một sự kết hợp tuyến tính hoặc thu nhỏ trọng trung bình, với hệ số

chứ không phải là một khoản tiền đồng bằng của hình vuông có quy mô ... và tôi tin rằng sẽ không thường có sự phân bố theo yêu cầu.

σ^{2}

$\sigma^2$

σ_{i} = 1

$\sigma_i=1$

\sum_{i = 1}^{k} (X_{i} / σ_{i})^{2}

$\sum_{i=1}^k (X_i/\sigma_i)^2$

σ_{i}^{2}

$\sigma^2_i$

— Glen_b -Reinstate Monica

Tùy thuộc vào những gì bạn cần nó, trong các trường hợp cụ thể, bạn có thể thực hiện phép tích chập số hoặc mô phỏng.

— Glen_b -Reinstate Monica

Điều này được khái quát bằng phân phối 'tổng trọng số của bình phương log thành sức mạnh'. Gói R của tôi sadistscung cấp các hàm 'dpqr' gần đúng cho

; cf github.com/shabbychef/sadists

Y

$Y$

— shabbychef

17

Như Glen_b đã lưu ý trong các bình luận, nếu các phương sai hoàn toàn giống nhau, bạn sẽ kết thúc với một bình phương chi bình phương tỷ lệ.

Nếu không, có một khái niệm về một phân phối chi-squared tổng quát , tức là cho và cố định. Trong trường hợp này, bạn có trường hợp đặc biệt của đường chéo ( ), và . $x^T A x$ $x \sim N(\mu, \Sigma)$ $A$ $\Sigma$ $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ $A = I$

Đã có một số công việc về tính toán mọi thứ với bản phân phối này:

Imhof (1961) và Davies (1980) đảo ngược số lượng chức năng đặc trưng.
Sheil và O'Muircheartaigh (1977) viết phân phối dưới dạng tổng vô hạn của các biến chi bình phương trung tâm.
Kuonen (1999) đưa ra một xấp xỉ điểm yên ngựa cho pdf / cdf.
Liu, Tang và Zhang (2009) ước tính nó với một phân phối chi bình phương phi tập trung dựa trên kết hợp tích lũy.

Bạn cũng có thể viết nó như là một sự kết hợp tuyến tính của độc lập noncentral chi-squared biến , trong trường hợp này: $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$

Castaño-Martínez và López-Blázquez (2005) đưa ra bản mở rộng Laguerre cho pdf / cdf.

Bausch (2013) đưa ra thuật toán tính toán hiệu quả hơn cho sự kết hợp tuyến tính của bình phương chi bình phương; công việc của anh ta có thể mở rộng cho các bình phương phi tập trung, và bạn có thể tìm thấy một số gợi ý thú vị trong phần công việc liên quan.

— Dougal
nguồn

2

Một so sánh các phương pháp gần đúng được tìm thấy trong Duchesne et al. 2010. Thống kê tính toán và phân tích dữ liệu, 54, 858 Hay862. Các tác giả duy trì gói CompQuadForm với các triển khai.

— caracal

-10

Đây sẽ là Chi-Square của n bậc tự do.

— Ahmed
nguồn

6

Tôi tin rằng bạn đã bỏ qua rằng

có thể là khác không. Các ý kiến cho câu hỏi cũng như câu trả lời hiện có là thông tin.

μ_{i}

$\mu_i$

— whuber