Ví dụ về bất đẳng thức nghiêm ngặt von Neumann

Hãy $r(\pi, \delta)$ biểu thị rủi ro Bayes của một ước lượng $\delta$ đối với một trước với $\pi$ , chúng ta hãy $\Pi$ biểu thị tập hợp của tất cả các priors trên không gian tham số $\Theta$ , và để cho $\Delta$ biểu thị tập hợp của tất cả các quy tắc quyết định (có thể là ngẫu nhiên) .

Việc giải thích thống kê về bất đẳng thức minimax của John von Neumann nói rằng

$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) \leq \inf_{\delta\in\Delta}\sup_{\pi\in\Pi} r(\pi, \delta),$$

với sự bình đẳng nghiêm ngặt được đảm bảo cho một số và \ pi' khi \ Theta và$\delta'$$\pi'$$\Theta$$\Delta$ đều hữu hạn.

Ai đó có thể cung cấp một ví dụ cụ thể trong đó bất bình đẳng là nghiêm ngặt?

Một ví dụ về bất đẳng thức von Neumann nghiêm ngặt xảy ra khi hàm rủi ro thỏa mãn các điều kiện sau cho một số giá trị r 0 < r 1 (trong đó giá trị trước là "thấp" và giá trị sau là "cao"):$r$$r_0 < r_1$

$$\begin{matrix} \forall \pi \in \Pi, \exists \delta \in \Delta: & & r(\pi, \delta) = r_0, & & (1) \\[8pt] \forall \delta \in \Delta, \exists \pi \in \Pi: & & r(\pi, \delta) = r_1. & & (2) \end{matrix}$$

Điều kiện đầu tiên nói rằng không phụ thuộc vào trước, luôn có một quy tắc quyết định với rủi ro thấp , mang đến cho sup π ∈ pi inf δ ∈ delta r ( π , δ ) = r 0 . Điều kiện thứ hai nói rằng không phụ thuộc vào quy tắc quyết định luôn luôn có một số hiến trước nguy cơ cao r 1 , mang đến cho inf pi $r_0$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_0$$r_1$ .$\inf_{\pi\in\Pi} \sup_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_1$

Một cách khác để nêu rõ tình huống này là không có quy tắc quyết định (được chọn trước khi thấy trước) đảm bảo rủi ro thấp cho mọi ưu tiên (đôi khi sẽ có rủi ro cao), nhưng đối với mỗi trước, có một số quy tắc quyết định (được chọn sau khi thấy trước) đảm bảo rủi ro thấp. Nói cách khác, để áp đặt mức ràng buộc thấp đối với rủi ro, chúng ta cần điều chỉnh quy tắc quyết định của mình trước .

---

Ví dụ: Một ví dụ đơn giản về loại tình huống này xảy ra khi bạn có một cặp linh mục được phép và một cặp quy tắc quyết định cho phép delta 0 , δ 1 với một ma trận rủi ro như thế này:$\pi_0, \pi_1$$\delta_0, \delta_1$

$$\begin{array}{ll} r(\pi_0, \delta_0) = r_0 & & r(\pi_1, \delta_0) = r_1, \\[6pt] r(\pi_0, \delta_1) = r_1 & & r(\pi_1, \delta_1) = r_0. \\[6pt] \end{array}$$

Trong trường hợp này, không có quy tắc quyết định nào đảm bảo rủi ro thấp cho cả hai linh mục, nhưng đối với mỗi ưu tiên có một quy tắc quyết định có rủi ro thấp. Tình huống này thỏa mãn các điều kiện trên mang lại sự bất bình đẳng nghiêm ngặt trong bất đẳng thức von Neumann.