Phân phối có tên không?

Tôi đã chạy qua mật độ này vào ngày khác. Có ai đã đặt tên này?

$f(x) = \log(1 + x^{-2}) / 2\pi$

Mật độ là vô hạn tại nguồn gốc và nó cũng có đuôi béo. Tôi thấy nó được sử dụng như một bản phân phối trước trong bối cảnh mà nhiều quan sát được dự kiến là nhỏ, mặc dù cũng có giá trị lớn.

distributions probability

— John D. Cook
nguồn

Vì tò mò, bạn đã có một trích dẫn cho nguồn mà bạn thấy điều này ban đầu chưa?

— JMS

JMS: "Công cụ ước tính móng ngựa cho tín hiệu thưa thớt" của Carvalho, Arlingtonon và Scott. Tôi đã xem nó như một bản in lại, nhưng nó có thể đã được xuất bản trên Biometrika. Họ không sử dụng chính xác điều này trước, nhưng mật độ ở trên là gần đúng với trường hợp đặc biệt trước đó.

— John D. Cook

Nó đã được xuất bản: dx.doi.org/10.1093/biomet/asq017 .

— fabian

Trường hợp đặc biệt nào bạn gần đúng? Tôi đã đọc nó, nhưng thực sự không thể liên hệ biểu thức của bạn với các biểu thức được đưa ra trong bài báo ...?

— fabian

@fabians: Trường hợp tôi có trong đầu là sigma ^ 2 = tau ^ 2 = 1 trong Định lý 1. Nó nói mật độ móng ngựa được giới hạn ở trên và dưới bởi bội số của log (1 + c / x ^ 2). Vì vậy, có thể phân phối mà tôi đã đề cập ở trên là sự đơn giản hóa mật độ móng ngựa hơn là một xấp xỉ.

— John D. Cook

Câu trả lời:

Thật vậy, ngay cả khoảnh khắc đầu tiên không tồn tại. CDF của phân phối này được đưa ra bởi

F (x) = 1 / 2 + (\arctan (x) - x \log (\sin (\arctan (x)))) / π

$F(x) = 1/2 + \left(\arctan(x) - x \log(\sin(\arctan(x)))\right)/\pi$

với và, theo đối xứng, cho . Cả điều này lẫn bất kỳ sự biến đổi rõ ràng nào đều trông quen thuộc với tôi. . Tất nhiên, arctangent là CDF của bản phân phối Cauchy (Student ), trưng bày CDF này như một phiên bản nhiễu loạn (đáng kể) của bản phân phối Cauchy, được hiển thị dưới dạng dấu gạch ngang màu đỏ.) $x \ge 0$ $F(x) = 1 - F(|x|)$ $x \lt 0$ $t_1$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

— whuber
nguồn

@whuber, lưu ý rằng , liên quan đến hình thức của cdf gần hơn với pdf . Một điều thú vị nữa là pdf này không có triệu chứng bằng một nửa pdf của một Cauchy tiêu chuẩn. Vì vậy, lý do chính cho việc sử dụng nó dường như phải là vì hành vi của nó vào khoảng 0.

- 2 \log (\sin (a r c t a n (x))) = \log (1 + x^{- 2})

$-2\log(\sin(\mathrm{arctan}(x))) = \log(1+x^{-2})$

— hồng y

@whuber, mặc dù tôi nghĩ rằng tôi thấy bạn đến từ đâu liên quan đến tuyên bố của bạn về các cdf có hình thức đóng (gợi ý: Louiville), tôi sẽ đề nghị thận trọng với nhận xét đó. Bản thân bản phân phối Cauchy là một "mẫu phản" trong khía cạnh đó.

— Đức hồng y

@cardinal Tôi không hiểu ý kiến của bạn về phân phối Cauchy. Tôi chỉ sử dụng hình thức của CDF như một phương pháp phỏng đoán để thu hẹp các tìm kiếm và làm mục tiêu cho các tìm kiếm. CDF thuận tiện hơn một chút so với PDF vì dễ dàng thấy nó sẽ thay đổi như thế nào khi biến được biến đổi. Và vâng, mối quan hệ bạn lưu ý là rõ ràng, nhưng tôi đã chọn viết CDF theo hình thức này vì sự hiện diện của arctangent trong thuật ngữ khác (gợi ý thay thế x = tan (u)).

— whuber

@whuber, có lẽ tôi sẽ tốt hơn nên yêu cầu làm rõ hơn là giả định. Quan điểm của bạn về nhận xét của bạn rằng một hình thức đóng cdf hạn chế nghiêm trọng các khả năng là gì?

— Đức hồng y

@cardinal Tôi đang thực hiện một tìm kiếm rộng theo nghĩa là tìm phân phối có tên (hoặc được nghiên cứu trước đây) và biểu hiện lại tương đối đơn giản (chẳng hạn như lũy thừa hoặc logarit, v.v.) sao cho có cdf iff có pdf . Nếu một phân phối đã được nghiên cứu trước đó, thì rất có thể CDF của nó đã được lấy và nếu nó có thể được viết ở dạng kín, thì hình thức đó cũng đã được xuất bản. Do đó, chúng ta chỉ cần tìm các dạng hàm trông giống với . Biết cái nào không?

G

$G$

y

$y$

y (X)

$y(X)$

G

$G$

X

$X$

f

$f$

G

$G$

u - \tan (u) \log (\sin (u))

$u - \tan(u)\log(\sin(u))$

u = u (x)

$u = u(x)$

— ai

Có lẽ không.

Tôi không thể tìm thấy nó trong danh sách phân phối khá rộng này:

Leemis và McQuestion 2008 Mối quan hệ phân phối đơn biến. Thống kê người Mỹ 62 (1) 45:53

— Abe
nguồn