Công thức xác suất cho phân phối đa biến-bernoulli

13

Tôi cần một công thức cho xác suất của một sự kiện trong phân phối Bernoulli n-variate với xác suất cho một phần tử và cho các cặp phần tử . Tương tôi có thể cung cấp cho trung bình và hiệp phương sai của . $X\in\{0,1\}^n$ $P(X_i=1)=p_i$ $P(X_i=1 \wedge X_j=1)=p_{ij}$ $X$

Tôi đã học được rằng tồn tại nhiều phân phối có các thuộc tính giống như có nhiều phân phối có giá trị trung bình và hiệp phương sai cho trước. Tôi đang tìm kiếm một chính tắc trên , giống như Gaussian là một phân phối chính tắc cho và một giá trị trung bình và hiệp phương sai đã cho. $\{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n$ $R^n$

multivariate-analysis discrete-data

— mpiktas
nguồn

11

Biến ngẫu nhiên lấy các giá trị trong là biến ngẫu nhiên rời rạc. Phân phối của nó được mô tả đầy đủ bởi xác suất với . Xác suất và bạn đưa ra là tổng của cho các chỉ số nhất định . $\{0,1\}^n$ $p_{\mathbf{i}}=P(X=\mathbf{i})$ $\mathbf{i}\in\{0,1\}^n$ $p_{i}$ $p_{ij}$ $p_{\mathbf{i}}$ $\mathbf{i}$

Bây giờ có vẻ như bạn muốn mô tả bằng cách chỉ sử dụng và . Không thể mà không giả sử các thuộc tính nhất định trên . Để thấy rằng cố gắng để lấy được chức năng đặc trưng của . Nếu chúng ta lấy chúng ta sẽ nhận được $p_{\mathbf{i}}$ $p_i$ $p_{ij}$ $p_{\mathbf{i}}$ $X$ $n=3$

Không thể sắp xếp lại biểu thức này sao cho

\begin{aligned} E e^{i (t_{1} X_{1} + t_{2} X_{2} + t_{3} X_{3})} & = p_{000} + p_{100} e^{i t_{1}} + p_{010} e^{i t_{2}} + p_{001} e^{i t_{3}} \\ + p_{110} e^{i (t_{1} + t_{2})} + p_{101} e^{i (t_{1} + t_{3})} + p_{011} e^{i (t_{2} + t_{3})} + p_{111} e^{i (t_{1} + t_{2} + t_{3})} \end{aligned}

$\begin{align} Ee^{i(t_1X_1+t_2X_2+t_3X_3)}&=p_{000}+p_{100}e^{it_1}+p_{010}e^{it_2}+p_{001}e^{it_3}\\\\ &+p_{110}e^{i(t_1+t_2)}+p_{101}e^{i(t_1+t_3)}+p_{011}e^{i(t_2+t_3)}+p_{111}e^{i(t_1+t_2+t_3)} \end{align}$

p_{i}

$p_{\mathbf{i}}$ biến mất. Đối với biến ngẫu nhiên gaussian, hàm đặc trưng chỉ phụ thuộc vào các tham số trung bình và hiệp phương sai. Các hàm đặc trưng xác định duy nhất các phân phối, vì vậy đây là lý do tại sao Gaussian có thể được mô tả duy nhất bằng cách chỉ sử dụng giá trị trung bình và hiệp phương sai. Như chúng ta thấy đối với biến ngẫu nhiên

đây không phải là trường hợp.

X

$X$

— mpiktas
nguồn

10

Xem bài báo sau:

JL Teugels, Một số đại diện của Bernoulli và phân phối nhị thức , Tạp chí Phân tích Đa biến , tập. 32, không. 2, tháng 2 năm 1990, 256 Hàng268.

Đây là bản tóm tắt:

Các phiên bản đa biến nhưng được vector hóa cho Bernoulli và phân phối nhị thức được thiết lập bằng cách sử dụng khái niệm sản phẩm Kronecker từ phép tính ma trận. Phân phối Bernoulli đa biến đòi hỏi một mô hình được tham số hóa, cung cấp một sự thay thế cho mô hình log-linear truyền thống cho các biến nhị phân.

— Hamed
nguồn

2

Cảm ơn bạn đã chia sẻ điều đó, Hamed. Chào mừng đến với trang web của chúng tôi!

— whuber

1

Tôi không biết phân phối kết quả được gọi là gì, hoặc thậm chí nó có tên, nhưng nó gây ấn tượng với tôi cách thiết lập rõ ràng này là nghĩ về mô hình bạn sử dụng để mô hình hóa 2 × 2 × 2 × Bảng × × 2 sử dụng mô hình log-linear (hồi quy Poisson). Như bạn chỉ biết các tương tác bậc 1, nên sẽ tự nhiên cho rằng tất cả các tương tác bậc cao đều bằng không.

Sử dụng ký hiệu của người hỏi, điều này mang lại mô hình:

P (X_{1} = x_{1}, X_{2} = x_{2}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \prod_{i} [p_{i}^{x_{i}} (1 - p_{i})^{1 - x_{i}} \prod_{j < i} {(\frac{p_{i j}}{p_{i} p_{j}})}^{x_{i} x_{j}}]

$P(X_1=x_1, X_2=x_2,\ldots,X_n=x_n) = \prod_i \left[ p_i^{x_i}(1-p_i)^{1-x_i} \prod_{j<i} \left(\frac{p_{ij}}{p_i p_j}\right)^{x_i x_j} \right]$

— trên đỉnh
nguồn

p

$p$

i

$\mathbf{i}$

p_{i}

$p_i$

@whuber Khá đúng! Tôi gắn bó với mô hình mà tôi đã đặt ra trong đoạn đầu tiên, nhưng phương trình của tôi đã bị sai lệch theo nhiều cách ... Cho thấy tôi thực sự không sử dụng mô hình log-linear của các bảng dự phòng kể từ ThS của tôi, và tôi đã không có các ghi chú hoặc sách để bàn tay. Tôi tin rằng tôi đã sửa nó ngay bây giờ. Hãy cho tôi biết nếu bạn đồng ý! Apols cho sự chậm trễ. Một số ngày não của tôi không làm đại số.

— vào

1

p_{i} = 1 / n

$p_i=1/n$

p_{i j} = 0 \forall i \neq j

$p_{ij}=0 \forall i \ne j$

I

$I$

\in {1, . . ., n}

$\in\{1,...,n\}$

X_{I} = 1

$X_I=1$

X_{j} = 0 \forall j \neq I

$X_j=0 \forall j\ne I$