Chúng ta có thể làm cho bản phân phối Irwin-Hall tổng quát hơn không?

Tôi cần tìm một lớp phân phối kurtosis đối xứng thấp, bao gồm phân bố đồng nhất, tam giác và phân bố Gaussian bình thường. Sự phân bố Irwin-Hall (tổng thống nhất tiêu chuẩn) cung cấp đặc điểm này, nhưng không được điều trị đơn đặt hàng không số nguyên . Tuy nhiên, nếu bạn ví dụ đơn giản là tổng hợp độc lập, ví dụ 2 đồng phục tiêu chuẩn và một phần ba với phạm vi nhỏ hơn như bạn thực sự sẽ có được một phiên bản mở rộng hơn và trơn tru hơn của Irwin-Hall cho bất kỳ tùy ý nào thứ tự (như trong trường hợp này). Tuy nhiên, tôi tự hỏi nếu có thể tìm thấy một công thức đóng thực tế cho CDF? $N$ $[0,1]$ $[0,0.25]$ $N=2.25$

— người dùng32038
nguồn

"Mở rộng một cách mượt mà" đặt ra một số câu hỏi hóc búa. Trong chuỗi tại stats.stackexchange.com/questions/41467 , người đăng nhận thấy rằng độ mượt của phân phối Irwin-Hall thay đổi đột ngột từ một giá trị (tích phân) của sang giá trị tiếp theo. Điều này đã gợi ý rằng chúng ta không nên mong đợi có bất kỳ dạng đóng "đẹp" nào về mặt toán học được tham số hóa bằng các giá trị thực của . Hơn nữa, không có công thức khép kín như vậy ngay cả đối với bản phân phối Irwin-Hall.

n

$n$

n

$n$

— whuber

Xin chào, tôi đã thực hiện các thí nghiệm lấy mẫu chi tiết và tìm đến biểu đồ phân phối Irwin-Hall tổng quát như vậy. Thật vậy, giới thiệu N không nguyên giúp tránh các bước nhảy trong hành vi! Ngoài ra, ví dụ như kurtosis tăng trơn tru với giá trị thực N. Nếu điều này không phải là trường hợp thì nó thực sự không tốt. Tôi nghĩ rằng có thể mở rộng công thức tính tổng của Irwin-Hall cho CDF theo một cách nào đó.

— dùng32038

Tổng kết không phải là một "công thức đóng" theo nghĩa thông thường của từ này vì số lượng thuật ngữ tăng mà không bị ràng buộc khi thay đổi. Đây là một sự khác biệt quan trọng, bởi vì các công thức đóng thực sự tồn tại: hàm đặc trưng của phân phối Irwin-Hall, tồn tại không tách rời và do đó, Fourier Transform nghịch đảo của nó trả lời câu hỏi của bạn - đó là, nếu bạn cho rằng đó là một công thức thực tế khép kín !

n

$n$

{((\exp (i t) - 1) / (i t))}^{n},

$\left((\exp(it) - 1)/(it)\right)^n,$

n

$n$

— whuber

Xin chào! Tôi cần một triển khai phù hợp, ví dụ như trong Pascal. Đối với N vừa phải (như 20), công thức CDF nổi tiếng của Irwin-Hall hoàn toàn không có vấn đề gì, nhưng tôi không muốn dành quá nhiều thời gian tính toán, ví dụ như để tích hợp, biến đổi Fourier (nghịch đảo) hoặc bất cứ điều gì. Tất nhiên, cách tiếp cận biến đổi Fourier là thanh lịch, nhưng không chính xác lắm, bởi vì tôi rất quan tâm đến CDF (x) cho "lớn" x, vì vậy khu vực đuôi là vấn đề đối với tôi!

— dùng32038

Xin chào, bạn có thể phác thảo chi tiết hơn về cách bạn chuyển từ Fourier của PDF sang CDF đơn giản không? (mặc dù tôi thường tin rằng phương pháp này có vấn đề dao động ở đuôi, ví dụ như đưa ra PDF âm nếu chúng ta cố gắng đánh giá tích phân ...).

— dùng32038

Chà, đây thực sự không phải là một câu trả lời đầy đủ, sẽ quay lại sau để hoàn thành ...

Cuốn sách Mô phỏng ngẫu nhiên của Brian Ripley có công thức pdf kín như bài tập 3.1 trang 92 và được đưa ra dưới đây: Một triển khai R của điều này là dưới đây:

f (x) = \sum_{r = 0}^{⌊ x ⌋} (- 1)^{r} (\binom{n}{r}) (x - r)^{(n - 1)} / (n - 1)!

$f(x) = \sum_{r=0}^{\lfloor x \rfloor} (-1)^r \binom{n}{r} (x-r)^{(n-1)}/ (n-1)!$

makeIH  <-  function(n) Vectorize( function(x) {
                            if (x < 0) return(0.0)
                            if (x > n) return(0.0)
                            X  <-  floor(x)
                            r <- seq(from=0,  to=X)
                            s <-  (-1)^r * choose(n, r)*(x-r)^(n-1)/factorial(n-1)
                            sum(s)
                            } )

được sử dụng theo cách này:

fun3  <-  makeIH(3)
 plot(fun3,from=0,to=3,n=1001)
 abline(v=1, col="red")
 abline(v=2, col="red")

và đưa ra âm mưu này:

Có thể thấy sự không đồng đều ở các giá trị nguyên , ít nhất là với thị lực tốt .... $x=1, x=2$

(Tôi sẽ quay lại để hoàn thành việc này sau)

— kjetil b halvorsen
nguồn

+1 Tôi sẽ quan tâm xem việc hoàn thành việc này là gì, nếu bạn có thời gian. ... Ở một bên, trong khi tôi biết rằng ở đây không có sự mượt mà (theo nghĩa là có sự không liên tục trong đạo hàm thứ hai) Tôi không thể nói rằng tôi thực sự cảm nhận nó là không trơn tru (mắt tôi có xu hướng nói "Không kinks, nó trông trơn tru"). Tôi cho rằng nếu tôi đang đi tàu lượn siêu tốc dọc theo đường cong đó, tôi chắc chắn sẽ cảm thấy sự thay đổi.

— Glen_b -Reinstate Monica

Cho đến lúc hết thời gian ... sau này

— kjetil b halvorsen

Quá thấy sự thiếu mượt mà có lẽ chúng ta sẽ cần chọn các điểm vẽ để bao gồm các số nguyên ...

— kjetil b halvorsen