Kỳ vọng về số lượng tổng các biến ngẫu nhiên IID (bảng tính của Đại học Cambridge)

Tôi đang chuẩn bị cho một cuộc phỏng vấn đòi hỏi kiến ​​thức tốt về xác suất cơ bản (ít nhất là để vượt qua chính cuộc phỏng vấn). Tôi đang làm việc thông qua bảng dưới đây từ những ngày sinh viên của tôi như là sửa đổi. Điều này chủ yếu khá đơn giản, nhưng tôi hoàn toàn bối rối trong câu hỏi 12.

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá cao.

Chỉnh sửa: câu hỏi là:

Giả sử là các biến ngẫu nhiên dương được phân phối độc lập với và . Đặt . rằng khi và khi .$X_1, X_2, ...$$\mathbb{E}(X_1) = \mu < \infty$$\mathbb{E}(X_1^{-1}) < \infty$$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$$m<=n$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = 1 + (m-n)\mu\mathbb{E}(S_n^{-1}))$$m>=n$

Trong thực tế, trong quá trình gõ lên, tôi đã giải quyết phần thứ hai.

Với ,$m>=n$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}(X_1+ . . . +X_m)/\mathbb{E}(X_1+ . . . +X_n)$

$=\mathbb{E}(1 + (X_{n+1} + ... + X_m)/(X_1 + ... + X_n))$

và tử số và mẫu số của tỷ lệ trên rõ ràng là độc lập, vì vậy:

$= 1 + \mathbb{E}(X_{n+1} + ... + X_m)\mathbb{E}(S_n^{-1})$

và chúng tôi có được kết quả mong muốn.

Tôi vẫn bị mắc kẹt trong phần đầu tiên mặc dù.

Phát hiện để thêm bản sao giống hệt của là rất thông minh! Nhưng một số người trong chúng ta không thông minh lắm, vì vậy thật tuyệt khi có thể "hoãn" Ý tưởng lớn đến một giai đoạn mà rõ ràng hơn phải làm gì. Không biết bắt đầu từ đâu, dường như có một số manh mối mà tính đối xứng có thể thực sự quan trọng (bổ sung là đối xứng và chúng tôi có một số tóm tắt, và các biến iid có cùng kỳ vọng để có thể chúng được hoán đổi xung quanh hoặc đổi tên theo cách hữu ích). Trong thực tế, phần "khó" của câu hỏi này là làm thế nào để đối phó với sự phân chia, hoạt động không đối xứng. Làm thế nào chúng ta có thể khai thác tính đối xứng của tổng? Từ tuyến tính của kỳ vọng, chúng ta có:S m / S $n$$S_m/S_n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_m}{X_1 + ... + X_n}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_m}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Nhưng sau đó trên cơ sở đối xứng, cho rằng là iid và , tất cả các điều khoản ở phía bên tay phải là như nhau! Tại sao? Chuyển nhãn của và cho . Hai thuật ngữ ở vị trí chuyển đổi mẫu số nhưng sau khi sắp xếp lại nó vẫn tính tổng thành , trong khi tử số thay đổi từ sang . Vậy . Hãy viết cho và vì có thuật ngữ như vậy nên chúng tôi có .$X_i$$m \le n$$X_i$$X_j$$i, j \le n$$S_n$$X_i$$X_j$$\mathbb{E}(X_i/S_n) = \mathbb{E}(X_j/S_n)$$\mathbb{E}(X_i/S_n)=k$$1 \le i \le n$$m$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = mk$

Có vẻ như sẽ tạo ra kết quả chính xác. Nhưng làm thế nào để chứng minh điều đó? Chúng tôi biết$k=1/n$

$k=\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right)=\mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right)=...=\mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Chỉ đến giai đoạn này, tôi mới nhận ra tôi nên thêm những thứ này lại với nhau, để có được

$nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$ $\implies nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{X_1 + .... + X_n}\right) = \mathbb{E}(1) = 1$

Điều hay ho về phương pháp này là nó giữ được sự thống nhất của hai phần của câu hỏi. Lý do đối xứng bị phá vỡ, yêu cầu điều chỉnh khi , là các thuật ngữ ở phía bên phải sau khi áp dụng tuyến tính kỳ vọng sẽ có hai loại, tùy thuộc vào việc trong tử số có nằm trong tổng của mẫu số hay không. (Như trước đây, tôi có thể chuyển đổi nhãn của và nếu cả hai đều xuất hiện trong mẫu số vì điều này chỉ sắp xếp lại tổng hoặc nếu không làm như vậy rõ ràng sẽ không thay đổi tổng, nhưng nếu một và một thì không trong số các thuật ngữ trong mẫu số thay đổi và nó không còn là tổng của .) Đối với chúng tôi có$m>n$$X_i$$X_i$$X_j$$S_n$$S_n$$i \le n$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=k$ và với chúng ta có , nói. Vì chúng ta có của các điều khoản trước và của các điều khoản sau,$i>n$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=r$$n$$m-n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = nk + (m-n)r = 1 + (m-n)r$

Sau đó, việc tìm là đơn giản bằng cách sử dụng tính độc lập của và cho :$r$$S_n^{-1}$$X_i$$i>n$$r=\mathbb{E}(X_i S_n^{-1})=\mathbb{E}(X_i) \mathbb{E}(S_n^{-1})=\mu \mathbb{E}(S_n^{-1})$

Vì vậy, cùng một "mẹo" hoạt động cho cả hai phần, nó chỉ liên quan đến việc xử lý hai trường hợp nếu . Tôi nghi ngờ đây là lý do tại sao hai phần của câu hỏi đã được đưa ra theo thứ tự này.$m>n$

Cảm ơn whuber cho gợi ý cho phần đầu tiên.

Xem xét cho trường hợp$nS_m/S_n$$m<=n$

Chúng tôi có$\mathbb{E}(nS_m/S_n) = \mathbb{E}((nX_1 + . . . + nX_m)/(X_1 + . . . + X_n))$

$= \mathbb{E}(nX_1/X_1 + . . . + X_n) + . . . + \mathbb{E}(nX_m/X_1 + . . . + X_n)$

và bởi thuộc tính iid, điều này tương đương với:

$m\mathbb{E}((X_1+ . .+ X_n)/(X_1+ . . . + X_n)) = m$

Do đó chom < = $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$$m<=n$