Đối với phân phối nào không tương quan ngụ ý độc lập?

Một lời nhắc nhở được tôn trọng theo thời gian trong thống kê là "sự không tương quan không bao hàm sự độc lập". Thông thường, lời nhắc này được bổ sung với tuyên bố làm dịu tâm lý (và đúng về mặt khoa học) "khi, tuy nhiên, hai biến được phân phối bình thường , sau đó không tương quan có nghĩa là độc lập".

Tôi có thể tăng số lượng các trường hợp ngoại lệ hạnh phúc từ một lên hai: khi hai biến được Bernoulli phân phối , thì một lần nữa, sự không tương quan ngụ ý sự độc lập. Nếu và là hai rouououi rv's, , trong đó chúng ta có và tương tự cho , hiệp phương sai của chúng là $X$ $Y$ $X \sim B(q_x),\; Y \sim B(q_y)$ $P(X=1) = E(X) = q_x$ $Y$

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = \sum_{S_{X Y}} p (x, y) x y - q_{x} q_{y}

$\operatorname{Cov}(X,Y)= E(XY) - E(X)E(Y) = \sum_{S_{XY}}p(x,y)xy - q_xq_y$

= P (X = 1, Y = 1) - q_{x} q_{y} = P (X = 1 ∣ Y = 1) P (Y = 1) - q_{x} q_{y}

$= P(X=1,Y=1) - q_xq_y = P(X=1\mid Y=1)P(Y=1)-q_xq_y$

= (P (X = 1 ∣ Y = 1) - q_{x}) q_{y}

$= \Big(P(X=1\mid Y=1)-q_x\Big)q_y$

Đối với sự không tương quan, chúng tôi yêu cầu hiệp phương sai bằng 0

Cov (X, Y) = 0 \Rightarrow P (X = 1 ∣ Y = 1) = P (X = 1)

$\operatorname{Cov}(X,Y) = 0 \Rightarrow P(X=1\mid Y=1) = P(X=1)$

\Rightarrow P (X = 1, Y = 1) = P (X = 1) P (Y = 1)

$\Rightarrow P(X=1,Y=1) = P(X=1)P(Y=1)$

đó là điều kiện cũng cần thiết để các biến độc lập.

Vì vậy, câu hỏi của tôi là: Bạn có biết bất kỳ phân phối nào khác (liên tục hoặc rời rạc) mà sự không tương quan ngụ ý độc lập không?

Ý nghĩa: Giả sử hai biến ngẫu nhiên có phân phối biên thuộc cùng một phân phối (có thể có các giá trị khác nhau cho các tham số phân phối có liên quan), nhưng giả sử có cùng hỗ trợ, ví dụ: hai số mũ, hai tam giác, v.v ... Có phải tất cả các giải pháp cho phương trình sao cho chúng cũng ngụ ý tính độc lập, nhờ vào hình thức / tính chất của các hàm phân phối có liên quan? Đây là trường hợp với các lề Bình thường (cũng được cho rằng chúng có phân phối chuẩn bivariate), cũng như với các lề Bernoulli - có trường hợp nào khác không? $X,Y$ $\operatorname{Cov}(X,Y) = 0$

Động lực ở đây là thường dễ dàng hơn để kiểm tra xem hiệp phương sai có bằng không, so với kiểm tra xem tính độc lập có được giữ hay không. Vì vậy, nếu, được phân phối theo lý thuyết, bằng cách kiểm tra hiệp phương sai, bạn cũng đang kiểm tra tính độc lập (như trường hợp của Bernoulli hoặc trường hợp bình thường), thì đây sẽ là một điều hữu ích cần biết.
Nếu chúng tôi được cung cấp hai mẫu từ hai rv có biên bình thường, chúng tôi biết rằng nếu chúng tôi có thể kết luận thống kê từ các mẫu rằng hiệp phương sai của chúng bằng 0, chúng tôi cũng có thể nói rằng chúng độc lập (nhưng chỉ vì chúng có biên bình thường). Sẽ rất hữu ích khi biết liệu chúng ta có thể kết luận tương tự như vậy trong trường hợp hai rv có các biên thuộc về một số phân phối khác hay không.

— Alecos Papadopoulos
nguồn

Về mặt logic, không có câu hỏi nào ở đây: lấy bất kỳ cặp biến độc lập nào làm phân phối. Cho dù chúng có tương quan hay không, chúng độc lập bởi fiat ! Bạn thực sự cần phải chính xác hơn về ý nghĩa của "phân phối" và loại câu trả lời nào bạn sẽ thấy hữu ích.

— whuber

@whuber Tôi không hiểu bình luận của bạn. Tôi bắt đầu bằng sự không tương quan và hỏi "nếu tôi có thể chứng minh rằng họ không tương quan khi điều này ngụ ý rằng họ cũng độc lập"? Vì hai kết quả được nêu trong câu hỏi phụ thuộc vào rv có phân phối cụ thể (bình thường hoặc Bernoulli), tôi hỏi "có phân phối nào được biết đến khác không, nếu hai biến theo sau, kết quả này có giữ được không"?

— Alecos Papadopoulos

Lấy bất kỳ hai biến độc lập và cho là phân phối của chúng. là một câu trả lời hợp lệ cho câu hỏi của bạn. Lưu ý rằng bạn đang yêu cầu chứng minh một điều kiện, theo định nghĩa là đúng bất cứ khi nào hậu quả là đúng, bất kể giá trị thật của tiền lệ có thể là gì. Do đó, theo các quy tắc cơ bản của logic, tất cả các phân phối của các biến độc lập là câu trả lời cho câu hỏi của bạn.

X, Y

$X,Y$

F

$F$

F

$F$

— whuber

@Whuber, bạn rõ ràng là đúng. Tôi đã thêm một số văn bản liên quan đến động lực cho câu hỏi này, mà tôi hy vọng làm rõ động lực của tôi là gì.

— Alecos Papadopoulos

Bạn bắt đầu với thông tin gì khi đưa ra quyết định này? Từ việc xây dựng ví dụ của bạn, có vẻ như bạn được cung cấp pdf cận biên cho từng biến và thông tin rằng mỗi cặp biến không tương quan. Sau đó, bạn quyết định nếu họ cũng độc lập. Nó thật sự đúng?

— xác suất

"Tuy nhiên, nếu hai biến được phân phối bình thường, thì sự không tương quan có nghĩa là sự độc lập" là một sai lầm rất phổ biến .

Đó chỉ áp dụng nếu họ đang cùng nhau phân phối bình thường.

Ví dụ tôi đã thấy thường xuyên nhất là và Rademacher độc lập (vì vậy nó là 1 hoặc -1 với xác suất 0,5 mỗi cái); thì cũng bình thường (không xem xét chức năng phân phối của nó), (vấn đề ở đây là hiển thị ví dụ như lặp lại kỳ vọng vào và lưu ý rằng là hoặc với xác suất 0,5 mỗi) và rõ ràng các biến phụ thuộc (ví dụ: nếu tôi biết thì hoặc , vì vậy thông tin về $X \sim N(0,1)$ $Y$ $Z=XY$ $\operatorname{Cov}(X,Z)=0$ $\mathbb{E}(XZ)=0$ $Y$ $XZ$ $X^2$ $-X^2$ $X>2$ $Z>2$ $Z<-2$ $X$ cung cấp cho tôi thông tin về ). $Z$

Cũng đáng ghi nhớ rằng các phân phối biên không xác định duy nhất phân phối chung. Lấy bất kỳ hai RVs và thực tế nào với các CDF cận biên và . Sau đó, với bất kỳ chức năng: $X$ $Y$ $F_X(x)$ $G_Y(y)$ $\alpha<1$

H_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) G_{Y} (y) (1 + α (1 - F_{X} (x)) (1 - F_{Y} (y)))

$H_{X,Y}(x,y)=F_X(x)G_Y(y)\left(1+\alpha\big(1-F_X(x)\big)\big(1-F_Y(y)\big)\right)$

sẽ là một CDF bivariate. (Để có được tỷ lệ cận biên từ hãy đưa giới hạn khi đi đến vô cùng, trong đó Ngược lại với ) Rõ ràng bằng cách chọn các giá trị khác nhau của bạn có thể có được các bản phân phối chung khác nhau! $F_X(x)$ $H_{X,Y}(x,y)$ $y$ $F_Y(y)=1$ $Y$ $\alpha$

— Cá bạc
nguồn

Thật. Tôi quên "khớp".

— Alecos Papadopoulos

@Alecos Vì các phân phối cận biên không xác định phân phối chung nói chung (chỉ cần chỉnh sửa câu trả lời của tôi để làm rõ điều này), điều này để lại câu hỏi của bạn ở đâu?

— Cá bạc

@Alecos Tôi nghĩ rằng tôi đã hiểu rõ hơn về chất của câu hỏi bây giờ: đưa ra hai phân phối cận biên, có một bộ vô hạn các phân phối chung có thể. Trong trường hợp nào áp đặt điều kiện hiệp phương sai bằng 0, chúng ta chỉ còn một trong những phân phối chung đó, viz là một trong đó các biến ngẫu nhiên là độc lập?

— Cá bạc

Nếu tôi dính vào trường hợp hai biến, với MGF và MGFs cận biên và , câu hỏi trở thành: khi nào ngụ ý rằng ?

M_{X, Y} (s, t)

$M_{X,Y}(s,t)$

M_{X} (s) = M_{X, Y} (s, 0)

$M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$

M_{Y} (t) = M_{X, Y} (0, t)

$M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$

\frac{\partial^{2}}{\partial s \partial t} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0} = \frac{\partial}{\partial s} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0} \cdot \frac{\partial}{\partial t} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0}

$\frac{\partial^2}{\partial s \partial t}M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0} = \frac{\partial}{\partial s} M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0} \cdot \frac{\partial}{\partial t} M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0}$

M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0) \cdot M_{X,Y}(0,t)$

— Cá bạc

@Silverman tôi sẽ kiểm tra các khái niệm về subindependence , en.wikipedia.org/wiki/Subindependence , để xem liệu vấn đề này có thể được hình thành trong điều kiện của chức năng tạo chốc lát.

— Alecos Papadopoulos