Xác suất mà một biến ngẫu nhiên liên tục giả định một điểm cố định

11

Tôi đang ở trong một lớp thống kê giới thiệu trong đó hàm mật độ xác suất cho các biến ngẫu nhiên liên tục được xác định là . Tôi hiểu rằng tích phân của nhưng tôi không thể khắc phục điều này bằng trực giác của mình về một biến ngẫu nhiên liên tục. Nói X là biến ngẫu nhiên bằng số phút tính từ thời điểm t mà tàu đến. Làm thế nào để tôi tính xác suất tàu đến đúng 5 phút kể từ bây giờ? Làm thế nào xác suất này có thể bằng không? Có phải là không thể? Điều gì nếu tàu không đến đúng 5 phút từ bây giờ, làm thế nào nó có thể xảy ra nếu nó có khả 0? $P\left\{X\in B\right\}=\int_B f\left(x\right)dx$ $\int\limits_a^af(x)dx=0$

Cảm ơn.

— geofflittle
nguồn

2

Đứng một số trong những câu hỏi này trên đầu của họ là hữu ích. Ví dụ , nếu trực giác của bạn nói mọi lúc có thể phải có xác suất dương hoàn toàn, thì - bởi vì có một tập hợp không thể đếm được của thời gian có thể trong bất kỳ khoảng thời gian nào - trực giác của bạn ngụ ý tổng xác suất là vô hạn. Rõ ràng là trực giác là sai. Một điều phải từ bỏ là ý tưởng rằng xác suất bằng không ngụ ý một điều không thể: điều đó không đúng. Tương tự, một xác suất của một người không ngụ ý một sự chắc chắn.

— whuber

@whuber Đó là những gì tôi không thể khắc phục. Nếu xác suất của một sự kiện diễn ra là 0, thì nó sẽ không bao giờ xảy ra. Ví dụ: nếu tôi có một khuôn mặt sáu mặt tiêu chuẩn, xác suất tôi sẽ lăn bất kỳ số nào là 0 và do đó sẽ không bao giờ xảy ra. Hơn nữa, làm thế nào một sự kiện với xác suất 1 không thể là một sự chắc chắn trong thí nghiệm tiếp theo? Bạn có thể cung cấp một ví dụ?

Z ∖ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

$\mathcal{Z}\setminus\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

— geofflittle

1

Giả sử bạn nhìn thấy một vòng tròn trong đó một hợp âm được hiển thị và nó dường như là một đường kính, khiến bạn tự hỏi "cơ hội mà một hợp âm được chọn ngẫu nhiên sẽ không có đường kính là gì?" Khi hợp âm thu được bằng cách chọn một cặp điểm đồng nhất và độc lập dọc theo chu vi, câu trả lời là , nhưng sự kiện này đã không xảy ra. Điều đó cung cấp bằng chứng (khá mạnh!) Rằng hợp âm không phải là kết quả của quá trình ngẫu nhiên mà bạn đặt ra. Một bài học dành cho các thí nghiệm suy nghĩ như vậy là trực giác dựa trên không gian xác suất hữu hạn không phải lúc nào cũng khái quát.

1

$1$

— whuber

8

Bạn có thể rơi vào cái bẫy liên quan đến 'năm phút kể từ bây giờ' khi kéo dài một khoảng thời gian hữu hạn (sẽ có xác suất khác không).

"Năm phút kể từ bây giờ" theo nghĩa biến liên tục là thực sự tức thời.

Hãy tưởng tượng rằng sự xuất hiện của chuyến tàu tiếp theo được phân phối đồng đều trong khoảng thời gian từ 8:00 đến 8:15. Tưởng tượng sâu hơn, chúng tôi xác định sự xuất hiện của một chuyến tàu là xảy ra ngay khi mặt trước của tàu đi qua một điểm cụ thể trên ga (có lẽ là điểm giữa của sân ga nếu không có mốc nào tốt hơn). Hãy xem xét chuỗi xác suất sau đây:

a) xác suất một chuyến tàu đến trong khoảng thời gian từ 8:05 đến 8:10

b) xác suất một chuyến tàu đến trong khoảng thời gian từ 8:05 đến 8:06

c) xác suất một chuyến tàu đến trong khoảng thời gian từ 8:05:00 đến 8:05:01

d) xác suất một chuyến tàu đến trong khoảng thời gian từ 8:05:00 đến 8: 05: 00.01 (tức là trong khoảng một phần trăm giây

e) xác suất một chuyến tàu đến trong khoảng từ 8:05 đến một phần tỷ giây sau

f) xác suất một chuyến tàu đến trong khoảng 8:05 và một phần tư giây sau đó

... và như thế

Xác suất mà nó đến chính xác vào lúc 8:05 là giá trị giới hạn của một chuỗi các xác suất như thế. Xác suất nhỏ hơn mọi . $\epsilon>0$

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

Tôi hiểu điều này, nhưng, giả sử tàu đến, nó đến vào một thời điểm nào đó. Tại sao giới hạn này vẫn không thể hội tụ đến một số xác suất?

— geofflittle

Nếu bạn hiểu nó, như bạn nói, bạn có thể tính xác suất theo cách được chỉ định. Hãy để tôi làm cho nó dễ dàng hơn: Hãy tưởng tượng để thuận tiện cho việc tính toán rằng thời gian chính xác mà một chuyến tàu "đến" (tuy nhiên chúng tôi xác định nó, miễn là nó thực sự liên tục) tại một thời điểm phân phối đồng đều trên khoảng (0,1) (bất cứ lúc nào là một đơn vị thời gian thuận tiện). Xác suất mà tàu đến trước thời gian , đối với một số trong khoảng đó là bao nhiêu? Xác suất mà nó đến sau thời gian gì? Xác suất mà nó đến giữa và bao nhiêu? ... (ctd)

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x + d x

$x+dx$

— Glen_b -Reinstate Monica

(ctd) ... Để nói nó đến lúc 'cho một biến liên tục, có nghĩa là "những gì là giới hạn của khả năng mà cuối cùng như . Vì vậy, giới hạn đó là gì? Làm việc nó ra! Đó là xác suất mà nó hội tụ. Tính năng này liên quan mật thiết đến những gì làm cho pdf liên tục liên tục.

x

$x$

d x \to 0 ?

$dx\to 0?$

— Glen_b -Reinstate Monica

Lưu ý thêm rằng nếu giới hạn cuối cùng là bất cứ thứ gì ngoài 0, thì ba xác suất của bạn (trước , sau và "tại" ) sẽ không thêm vào 1.

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— Glen_b -Reinstate Monica

5

Điều gì sẽ xảy ra nếu tàu đến đúng 5 phút kể từ bây giờ, làm thế nào nó có thể xảy ra nếu nó có xác suất 0?

Một tuyên bố xác suất không phải là một tuyên bố về khả năng / tính khả thi của một sự kiện. Nó chỉ phản ánh nỗ lực của chúng tôi để định lượng sự không chắc chắn của chúng tôi về nó xảy ra. Vì vậy, khi một hiện tượng liên tục (hoặc được mô hình hóa thành một), thì các công cụ và trạng thái kiến thức hiện tại của chúng tôi không cho phép chúng tôi đưa ra tuyên bố xác suất về việc nó có giá trị cụ thể . Chúng tôi chỉ có thể đưa ra tuyên bố như vậy liên quan đến một phạm vicủa các giá trị. Tất nhiên, mẹo thông thường ở đây là phân biệt sự hỗ trợ, xem xét các khoảng "nhỏ" của các giá trị thay vì các giá trị đơn lẻ. Do các biến ngẫu nhiên liên tục mang lại lợi ích và tính linh hoạt lớn so với các biến ngẫu nhiên rời rạc, đây được coi là một mức giá khá nhỏ để trả, có lẽ nhỏ như các khoảng thời gian chúng ta buộc phải xem xét.

— Alecos Papadopoulos
nguồn

Những tuyên bố này là khó hiểu, có lẽ bởi vì chúng có thể được giải thích theo nhiều cách khác nhau. Ở một số nơi bạn dường như phủ nhận tính hợp lệ của việc sử dụng phân phối liên tục cho các hiện tượng mô hình - và phân biệt rõ ràng giữa hiện tượng và mô hình - và ở những nơi khác bạn dường như bỏ hoàn toàn sự khác biệt đó. Tôi đọc nó, điều mà tôi nghi ngờ không có ý định, là bạn cho rằng thực tế toán học rằng đối với bất kỳ RV liên tục nào trong thực tế luôn luôn sai, nhưng điều đó có vẻ như bạn đang phủ nhận khả năng ứng dụng của lý thuyết xác suất!

Pr (X = a) = 0

$\Pr(X=a)=0$

X

$X$

— whuber

2

Xin chào @whuber. Liên quan đến sự khác biệt giữa mô hình và hiện tượng, bản đồ trái đất không phải là trái đất, nhưng nó có thể giúp bạn đi lang thang trên trái đất. Đây là cách tôi nghĩ về các người mẫu, khi tôi không coi họ là đối tượng của niềm vui trí tuệ thuần túy (mà họ cũng vậy). Đối với vấn đề "không có xác suất", đó là một sự không hoàn hảo - sau tất cả, sẽ không tuyệt vời khi có tất cả các lợi ích của tính liên tục và có thể đưa ra tuyên bố xác suất về một giá trị không? Nhưng tất nhiên là không hoàn hảo không thể khiến một cái gì đó không thể áp dụng được, và như tôi viết, sự không hoàn hảo này đã được chứng minh là rất ít quan trọng.

— Alecos Papadopoulos

Bạn mặc nhiên cho rằng xác suất là một thứ khách quan "ngoài kia" trong sự tương tự ánh xạ của bạn, nhưng thực tế không phải vậy. Xác suất có một ý nghĩa chỉ trong một mô hình. Tôi thấy không có "sự không hoàn hảo" nào trong các tiên đề của xác suất và thực sự, người ta có thể đưa ra những tuyên bố chính xác, nhất quán về xác suất của các giá trị đơn lẻ: thường thì chúng bằng không.

— whuber

2

@whuber Không tôi không cho rằng điều đó và tôi không hiểu bạn đã thấy điều đó ở đâu trong những gì tôi đã viết. Tôi đã nói "bản đồ không phải là trái đất", có nghĩa là "những gì trong mô hình không tồn tại trong thực tế", vậy làm thế nào bạn có thể suy ra điều đó hoàn toàn ngược lại? "Sự không hoàn hảo" không đề cập đến các tiên đề của xác suất, nhưng về những công cụ mà các tiên đề này đưa chúng ta đến, và làm thế nào hiệu quả những công cụ này có thể được sử dụng để mô hình hóa, nghiên cứu và hiểu thế giới thực. Và rõ ràng là tôi tin rằng xác suất là một công cụ hiệu quả.

— Alecos Papadopoulos

4

Để cung cấp cho bạn một số trực giác cho những điều trên, hãy thử thí nghiệm (suy nghĩ) sau đây:

Vẽ một đường thẳng thực bằng 0 bằng thước kẻ. Bây giờ hãy phóng phi tiêu thật mạnh và để nó rơi từ trên xuống một cách ngẫu nhiên trên đường thẳng (giả sử bạn sẽ luôn luôn chạm đường và chỉ có vấn đề định vị bên cạnh vì lợi ích của cuộc tranh luận).

Tuy nhiên, nhiều lần bạn để phi tiêu rơi ngẫu nhiên trên đường thẳng, bạn sẽ không bao giờ đạt điểm 0. Tại sao? Hãy nghĩ điểm 0 là gì, nghĩ chiều rộng của nó là bao nhiêu. Và sau khi bạn nhận ra rằng chiều rộng của nó là 0, bạn có nghĩ mình có thể đánh nó không?

Bạn sẽ có thể đạt điểm 1, hoặc -2? Hoặc bất kỳ điểm nào khác bạn chọn trên dòng cho vấn đề đó?

Để quay trở lại toán học, đây là sự khác biệt giữa thế giới vật lý và một khái niệm toán học như số thực (được biểu thị bằng dòng thực trong ví dụ của tôi). Lý thuyết xác suất có định nghĩa xác suất khá phức tạp hơn một chút so với bạn sẽ thấy trong bài giảng của mình. Để định lượng xác suất của các sự kiện và bất kỳ sự kết hợp nào của kết quả của chúng, bạn cần một thước đo xác suất. Cả thước đo Borel và thước đo Lebesgue đều được xác định cho một khoảng [a, b] trên dòng thực là: từ định nghĩa này, bạn có thể thấy điều gì xảy ra với xác suất nếu bạn giảm khoảng đến một số (đặt a = b).

μ ([a, b]) = b - a

$\mu([a,b])=b-a$

Điểm mấu chốt là dựa trên định nghĩa hiện tại của chúng tôi về lý thuyết xác suất (bắt nguồn từ Kolmogorov), thực tế là một sự kiện có 0 xác suất không có nghĩa là nó không thể xảy ra.

Và theo như ví dụ của bạn với tàu, nếu bạn có một chiếc đồng hồ chính xác vô cùng, tàu của bạn sẽ không bao giờ đến đúng giờ.

— nghĩa là
nguồn

Bạn nói "bạn sẽ không bao giờ đạt điểm 0", nhưng bạn có thể nói gì về điểm mà tôi đạt được trong lần ném phi tiêu đầu tiên của mình? Gọi là điểm mà tôi đạt được. Trước khi ném phi tiêu của tôi, bạn sẽ nói "bạn sẽ không bao giờ đạt điểm ", nhưng tôi chỉ đánh nó. Giờ thì sao?

x

$x$

x

$x$

— geofflittle

Tôi nghĩ rằng bạn phải phân biệt giữa câu hỏi: xác suất mà tôi sẽ đạt được một số điểm là gì? Nếu chúng tôi đồng ý rằng bạn luôn ném phi tiêu và nó luôn bắn trúng đâu đó dọc theo đường đó, thì xác suất đó là 1. Ngoài ra, tôi không chỉ nói rằng bạn sẽ không trúng 0. Tôi đang nói rằng xác suất mà bạn đạt được BẤT K points điểm nào bạn chọn TRƯỚC KHI ném phi tiêu là 0. Trên thực tế, bạn có thể chọn bất kỳ tập hợp điểm hữu hạn nào và xác suất sẽ vẫn là 0.

— có nghĩa là

Về câu hỏi của bạn, tôi nhận được quan điểm của bạn, nhưng để hỏi về xác suất của các sự kiện sau khi chúng xảy ra là không nhạy cảm. Một tuyên bố như P (X = x) đề cập đến việc thực hiện tương lai của một biến ngẫu nhiên X. Vì vậy, SAU KHI bạn nhấn một số điểm, tôi sẽ không nói gì về nó. (mũ lớn được sử dụng chỉ để chỉ ra dòng thời gian, không phải để hét lên)

— có nghĩa là

1

Một phân phối xác suất phải có một khu vực thống nhất. Nếu số đo là liên tục thì sẽ có vô số giá trị mà nó có thể lấy (tức là số lượng giá trị vô hạn dọc theo trục x của phân phối). Cách duy nhất mà tổng diện tích phân phối xác suất có thể là hữu hạn là cho giá trị tại mỗi số lượng giá trị vô hạn là 0. Một chia cho vô cùng.

Trong 'đời thực', không thể có biện pháp nào lấy vô số giá trị (bởi một số lập luận triết học khác nhau không quan trọng ở đây) nên không cần giá trị nào có xác suất chính xác bằng không. Một lập luận thực tế hữu ích dựa trên độ chính xác hữu hạn của các phép đo trong thế giới thực. Nếu bạn sử dụng đồng hồ bấm giờ đo được một phần mười giây, tàu sẽ có một phần mười giây để đến 'chính xác' năm phút.

— Michael Lew
nguồn

2

Đoạn đầu tiên ở đây cung cấp một số trực giác mơ hồ, mặc dù các bước suy luận là không chính xác. Có rất nhiều phân phối thừa nhận vô số giá trị nhưng mỗi giá trị có xác suất dương hoàn toàn . Đoạn thứ hai có thể thu lợi từ việc viết lại nhấn mạnh rằng với mỗi giá trị đo được liên kết một khoảng (nhỏ) các giá trị có thể có của số lượng lãi suất cơ bản.

— Đức hồng y

Sự khác biệt giữa một giá trị dương hoàn toàn (của một giá trị hữu hạn chia cho vô cực?) Và 0 trong bối cảnh này là gì?

— Michael Lew

1

Quan điểm của tôi, có lẽ được thực hiện kém, là đối số trong đoạn đầu tiên dựa trên tiền đề sai lầm bởi vì biến ngẫu nhiên có thể có vô số giá trị, mỗi kết quả riêng lẻ phải có xác suất bằng không. Tất nhiên, điều này là không chính xác (Poisson, hình học, v.v.); Khái niệm "vô cực" không đủ mạnh ở đây, chúng tôi yêu cầu không thể đếm được .

— Đức hồng y

0

Những người khác đã trả lời tại sao xác suất bằng không (nếu bạn ước tính thời gian là liên tục, điều đó thực sự không , nhưng dù sao thì ...) vì vậy tôi sẽ chỉ lặp lại ngắn gọn. Để trả lời câu hỏi cuối cùng mà OP đã hỏi --- "làm thế nào nó có thể xảy ra nếu nó có xác suất 0?" --- rất nhiều điều có thể xảy ra nếu chúng có xác suất bằng không. Tất cả một tập hợp xác suất bằng 0 có nghĩa là, trong không gian của những điều có thể xảy ra, tập hợp không chiếm không gian. Đó là tất cả. Nó không có ý nghĩa hơn thế này. $A$ $A$

Tôi viết thư này để hy vọng giải quyết một cái gì đó khác mà OP đã nói trong các bình luận:

Bạn nói "bạn sẽ không bao giờ đạt điểm 0", nhưng bạn có thể nói gì về điểm mà tôi đạt được trong lần ném phi tiêu đầu tiên của mình? Hãy là điểm mà tôi đạt được. Trước khi ném phi tiêu của tôi, bạn sẽ nói "bạn sẽ không bao giờ đạt được điểm", nhưng tôi đã đánh nó. Giờ thì sao?

Đây là một câu hỏi rất hay và một câu hỏi mà khi tôi bắt đầu tìm hiểu về xác suất, tôi đã vật lộn với. Đây là câu trả lời: nó không tương đương với câu hỏi mà bạn đã hỏi ban đầu! Những gì bạn đã làm là đưa thời gian vào phân tích, và điều đó có nghĩa là cấu trúc xác suất cơ bản thay đổi để trở nên phức tạp hơn nhiều. Đây là tất cả những gì bạn cần biết. Không gian xác suất bao gồm ba điều: không gian bên dưới , chẳng hạn như hoặc ; một tập hợp tất cả các kết quả có thể có trên không gian này, chẳng hạn như tập hợp tất cả các khoảng thời gian nửa mở trên và một số đo thỏa mãn $(\Omega, A, \mu)$ $\Omega$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}$ $\mu$ $\mu(\Omega) = 1$ . Vấn đề ban đầu của bạn tồn tại trong không gian trong đó là thước đo Lebesgue (điều này có nghĩa là ). Trong không gian này, xác suất bạn đạt được bất kỳ điểm là 0 vì các lý do đã thảo luận ở trên --- Tôi nghĩ rằng chúng ta đã làm rõ điều này. Nhưng bây giờ, khi bạn nói những điều như đoạn trích dẫn ở trên, bạn đang xác định một thứ gọi là lọc , chúng ta sẽ viết là . Một bộ lọc nói chung là một tập hợp các tập hợp con của thỏa mãn cho tất cả $([a,b], \text{all half open intervals on $[a,b]$}, \nu)$ $\nu$ $\nu( [c,d) ) = \frac{1}{d - c}$ $x \in [a,b]$ $\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}$ $A$ $\mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{F}_s$ $t < s$ . Trong trường hợp của bạn, chúng tôi có thể xác định lọc Bây giờ, trong tập hợp con mới này của không gian kết quả của bạn, hãy đoán xem --- bạn đã đúng! Bạn đã đánh trúng nó và, sau lần ném đầu tiên của bạn, xác suất bạn đạt được điểm đó khi bị giới hạn trong quá trình lọc là 1.

F_{t} = {x \in [a, b] : dart hit x at time t^{'} < t} .

$\mathcal{F}_t = \{x \in [a,b]: \text{dart hit $x$ at time $t' < t$} \}.$ $\mathcal{F}_1$

Bởi vì bạn đang sử dụng ngôn ngữ kỹ thuật, tốt nhất nên sử dụng các ý nghĩa tiêu chuẩn cho các thuật ngữ. Cụ thể, cái mà bạn gọi là "kết quả" thường được gọi là sự kiện (cơ bản) : kết quả là các yếu tố của Công thức của bạn cho biện pháp Lebesgue (bình thường hóa) là không chính xác: Tôi nghi ngờ bạn dự định Ở cấp độ cơ bản hơn, không rõ lý do tại sao bạn cần phải gọi máy móc của các quá trình ngẫu nhiên để thảo luận về một biến ngẫu nhiên mô hình hóa thời gian của một sự kiện duy nhất, và điều này rõ ràng không cung cấp bất kỳ cái nhìn sâu sắc nào.

Ω .

$\Omega.$

ν ([c, d]) = (d - c) / (b - a) .

$\nu([c,d])=(d-c)/(b-a).$

— whuber