Vấn đề tính toán phân phối chung và biên của hai phân phối thống nhất

8

Giả sử chúng ta có biến ngẫu nhiên $X_1$ phân phối là $U[0,1]$ và $X_2$ phân phối là $U[0,X_1]$ , trong đó $U[a,b]$ có nghĩa là phân phối đồng đều trong khoảng $[a,b]$ .

Tôi đã có thể tính toán pdf chung của và pdf cận biên của . $(X_1,X_2)$ $X_1$

p (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{x_{1}}, for 0 \leq x_{1} \leq 1, 0 \leq x_{2} \leq x_{1},

$p(x_1,x_2) = \frac{1}{x_1}, \text{ for }\quad 0\le x_1\le 1, \quad 0\le x_2 \le x_1,$

p (x_{1}) = 1, for 0 \leq x_{1} \leq 1.

$p(x_1)= 1, \text{ for } \quad 0\le x_1\le 1.$

Tuy nhiên, trong khi tính toán pdf cận biên của tôi gặp phải vấn đề giới hạn. Kết quả của tích phân qua biên của là và các giới hạn là từ 0 đến 1. Vì không được xác định cho , tôi gặp khó khăn. $X_2$ $X_2$ $\log(X_1)$ $\log(X_1)$ $X_1=0$

Tôi có sai ở đâu không? Cảm ơn.

pdf marginal joint-distribution

— Andre Silva
nguồn

Bạn có bao giờ có nghĩa là X2 được phân phối là U [0, X1] không?

— SheldonCooper

SheldonCopper: Điều đó đúng. Tôi sẽ thay đổi nó.

1

Các giới hạn cho biên của

không từ 0 đến 1 trừ khi

.

X_{2}

$X_2$

X_{2} = 0

$X_2 = 0$

— whuber

Cảm ơn ai. Bạn nói đúng. Vì vậy, chúng ta phải thay thế các giới hạn cho mật độ biên của X2 là X1 = X2 thành X1 = 1.

3

Trong tích phân "cận biên", giới hạn dưới của không phải là mà là (vì điều kiện ). $x_1$ $0$ $x_2$ $0<x_2<x_1$

Vì vậy, tích phân phải là:

p (x_{2}) = \int p (x_{1}, x_{2}) d x_{1} = \int \frac{I (0 \leq x_{2} \leq x_{1} \leq 1)}{x_{1}} d x_{1} = \int_{x_{2}}^{1} \frac{d x_{1}}{x_{1}} = l o g (\frac{1}{x_{2}})

$p(x_2)=\int p(x_1,x_2) dx_1=\int \frac{I(0\leq x_2\leq x_1\leq 1)}{x_1} dx_1=\int_{x_2}^{1} \frac{dx_1}{x_1}=log\big(\frac{1}{x_2}\big)$

Bạn đã vấp ngã, điều tôi nghĩ là một trong những phần khó nhất của tích phân thống kê - xác định giới hạn của tích hợp.

LƯU Ý: Điều này phù hợp với câu trả lời của Henry, của tôi là PDF và của anh ấy là CDF. Phân biệt câu trả lời của anh ấy cho bạn của tôi, điều đó cho thấy cả hai chúng tôi đều đúng.

— xác suất
nguồn

Vâng, tôi đã tìm ra nó trước khi bạn đưa ra câu trả lời :) ... Cảm ơn.

là những gì tôi tìm thấy

\log (1 / x_{2}) = - \log (x_{2})

$\log (1/x_2) = - \log (x_2)$

— Henry

1

Bạn không nên có trong phân phối biên cho $X_1$ $X_2$

Tôi mong chờ bạn để có được và do đó phát sinh cho một mật độ biên của . $P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$ $-\log(x_2)$

Điều này xuất phát từ nếu , và $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = 1$ $x_1 \le x_2$ nếunên không thể thiếu là $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = \frac{x_2}{x_1}$ $x_2 \le x_1$

P (X_{2} \leq x_{2}) = \int_{x_{1} = 0}^{x_{2}} d x_{1} + \int_{x_{1} = x_{2}}^{1} \frac{x_{2}}{x_{1}} d x_{1}

$P(X_2 \le x_2) = \int_{x_1=0}^{x_2} dx_1 + \int_{x_1=x_2}^{1} \frac{x_2}{x_1} dx_1$

= {[x_{1}]}_{x_{1} = 0}^{x_{1} = x_{2}} + {[x_{2} \log (x_{1})]}_{x_{1} = x_{2}}^{x_{1} = 1}

$= \left[ x_1 \right]_{x_1=0}^{x_1=x_2} + \left[x_2 \log(x_1)\right]_{x_1=x_2}^{x_1=1}$

= x_{2} - 0 + x_{2} \log (1) - x_{2} \log (x_{2})

$= x_2 - 0 +x_2 \log(1) - x_2 \log(x_2)$

= x_{2} (1 - \log (x_{2}))

$= x_2 (1-\log(x_2))$

— Henry
nguồn

Henry: log (X1) là sau khi tích hợp (nhưng trước khi thay thế giới hạn) cho biên của X2. P (X2) của bạn sai. Tôi tin rằng bạn đang tích hợp nhật ký (X1) mà tôi đã nói sau khi tích hợp.

@Harpreet: thử nghiệm bằng R, rõ ràng với tôi rằng

P (X_{2} \leq x_{2}) = x_{2} (1 - \log (x_{2}))

$P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$

0 < x_{2} < 1

$0 < x_2 < 1$

P (X_{2})

$P(X_2)$

P (X2) = int (1 / X1).

l n (X_{1})

$ln(X_1)$

X_{1} \leq 1

$X_1 \le 1$

\ln (x_{1}) \leq 0

$\ln(x_1) \le 0$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$