Để tạo biểu đồ này, tôi đã tạo các mẫu ngẫu nhiên có kích thước khác nhau từ một phân phối bình thường với mean = 0 và sd = 1. Khoảng tin cậy sau đó được tính bằng cách sử dụng các mức cắt alpha từ 0,001 đến 0,999 (dòng màu đỏ) với hàm t.test (), khả năng hồ sơ được tính bằng mã bên dưới mà tôi tìm thấy trong các ghi chú bài giảng được đặt trên dòng (tôi có thể ' Không tìm thấy liên kết tại thời điểm Chỉnh sửa: Tìm thấy nó ), điều này được hiển thị bằng các dòng màu xanh. Các đường màu xanh lá cây hiển thị mật độ chuẩn hóa bằng hàm mật độ R () và dữ liệu được hiển thị bằng các ô vuông ở cuối mỗi biểu đồ. Bên phải là một biểu đồ sâu bướm của khoảng tin cậy 95% (màu đỏ) và 1/20 của khoảng khả năng tối đa (màu xanh).

Mã R được sử dụng cho khả năng hồ sơ:

  #mn=mean(dat)
  muVals <- seq(low,high, length = 1000)
  likVals <- sapply(muVals,
                    function(mu){
                      (sum((dat - mu)^2) /
                         sum((dat - mn)^2)) ^ (-n/2)
                    }
  )

Câu hỏi cụ thể của tôi là liệu có mối quan hệ đã biết giữa hai loại khoảng này hay không và tại sao khoảng tin cậy có vẻ bảo thủ hơn cho tất cả các trường hợp ngoại trừ khi n = 3. Nhận xét / câu trả lời về việc liệu các tính toán của tôi có hợp lệ không (và cách tốt hơn để làm điều này) và mối quan hệ chung giữa hai loại khoảng này cũng được mong muốn.

Mã R:

samp.size=c(3,4,5,10,20,1000)
cnt2<-1
ints=matrix(nrow=length(samp.size),ncol=4)
layout(matrix(c(1,2,7,3,4,7,5,6,7),nrow=3,ncol=3, byrow=T))
par(mar=c(5.1,4.1,4.1,4.1))
for(j in samp.size){


  #set.seed(200)
  dat<-rnorm(j,0,1)
  vals<-seq(.001,.999, by=.001)
  cis<-matrix(nrow=length(vals),ncol=3)
  cnt<-1
  for(ci in vals){
    x<-t.test(dat,conf.level=ci)$conf.int[1:2]
    cis[cnt,]<-cbind(ci,x[1],x[2])
    cnt<-cnt+1
  }


  mn=mean(dat)
  n=length(dat)
  high<-max(c(dat,cis[970,3]), na.rm=T)
  low<-min(c(dat,cis[970,2]), na.rm=T)
  #high<-max(abs(c(dat,cis[970,2],cis[970,3])), na.rm=T)
  #low<--high


  muVals <- seq(low,high, length = 1000)
  likVals <- sapply(muVals,
                    function(mu){
                      (sum((dat - mu)^2) /
                         sum((dat - mn)^2)) ^ (-n/2)
                    }
  )


  plot(muVals, likVals, type = "l", lwd=3, col="Blue", xlim=c(low,high),
       ylim=c(-.1,1), ylab="Likelihood/Alpha", xlab="Values",
       main=c(paste("n=",n), 
              "True Mean=0 True sd=1", 
              paste("Sample Mean=", round(mn,2), "Sample sd=", round(sd(dat),2)))
  )
  axis(side=4,at=seq(0,1,length=6),
       labels=round(seq(0,max(density(dat)$y),length=6),2))
  mtext(4, text="Density", line=2.2,cex=.8)

  lines(density(dat)$x,density(dat)$y/max(density(dat)$y), lwd=2, col="Green")
  lines(range(muVals[likVals>1/20]), c(1/20,1/20), col="Blue", lwd=4)
  lines(cis[,2],1-cis[,1], lwd=3, col="Red")
  lines(cis[,3],1-cis[,1], lwd=3, col="Red")
  lines(cis[which(round(cis[,1],3)==.95),2:3],rep(.05,2), 
        lty=3, lwd=4, col="Red")
  abline(v=mn, lty=2, lwd=2)
  #abline(h=.05, lty=3, lwd=4, col="Red")
  abline(h=0, lty=1, lwd=3)
  abline(v=0, lty=3, lwd=1)

  boxplot(dat,at=-.1,add=T, horizontal=T, boxwex=.1, col="Green")
  stripchart(dat,at=-.1,add=T, pch=16, cex=1.1)

  legend("topleft", legend=c("Likelihood"," Confidence Interval", "Sample Density"),
         col=c("Blue","Red", "Green"), lwd=3,bty="n")

  ints[cnt2,]<-cbind(range(muVals[likVals>1/20])[1],range(muVals[likVals>1/20])[2],
                     cis[which(round(cis[,1],3)==.95),2],cis[which(round(cis[,1],3)==.95),3])
  cnt2<-cnt2+1
}
par(mar=c(5.1,4.1,4.1,2.1))


plot(0,0, type="n", ylim=c(1,nrow(ints)+.5), xlim=c(min(ints),max(ints)), 
     yaxt="n", ylab="Sample Size", xlab="Values")
for(i in 1:nrow(ints)){
  segments(ints[i,1],i+.2,ints[i,2],i+.2, lwd=3, col="Blue")
  segments(ints[i,3],i+.3,ints[i,4],i+.3, lwd=3, col="Red")
}
axis(side=2, at=seq(1.25,nrow(ints)+.25,by=1), samp.size)

Tôi sẽ không đưa ra một câu trả lời hoàn chỉnh (tôi có một thời gian khó khăn để cố gắng hiểu chính xác những gì bạn đang làm), nhưng tôi sẽ cố gắng làm rõ cách khả năng hồ sơ được xây dựng. Tôi có thể hoàn thành câu trả lời của tôi sau.

Khả năng đầy đủ cho một mẫu bình thường kích thước là L ( μ , σ 2 ) = ( σ 2 ) - n / 2 exp ( - Σ i ( x i - μ ) 2 / 2 σ 2 )$n$

$$L(\mu, \sigma^2) = \left( \sigma^2 \right)^{-n/2} \exp\left( - \sum_i (x_i-\mu)^2/2\sigma^2 \right).$$

$\mu$$\sigma^2$$\mu$

$$L_P(\mu) = L\left(\mu, \widehat{\sigma^2}(\mu) \right)$$ $\widehat{\sigma^2}(\mu)$$\mu$ $$\widehat{\sigma^2}(\mu) = \text{argmax}_{\sigma^2} L(\mu, \sigma^2).$$

$$\widehat{\sigma^2}(\mu) = {1\over n} \sum_k (x_k - \mu)^2.$$

$$L_P(\mu) = \left( {1\over n} \sum_k (x_k - \mu)^2 \right)^{-n/2} \exp( -n/2 ).$$

$\exp(-n/2)$

> data(sleep)
> difference <- sleep$extra[11:20]-sleep$extra[1:10]
> Lp <- function(mu, x) {n <- length(x); mean( (x-mu)**2 )**(-n/2) }
> mu <- seq(0,3, length=501)
> plot(mu, sapply(mu, Lp, x = difference), type="l")

Liên kết với khả năng tôi sẽ cố gắng làm nổi bật liên kết với khả năng với biểu đồ sau.

Đầu tiên xác định khả năng:

L <- function(mu,s2,x) {n <- length(x); s2**(-n/2)*exp( -sum((x-mu)**2)/2/s2 )}

Sau đó thực hiện một đường viền:

sigma <- seq(0.5,4, length=501)
mu <- seq(0,3, length=501)

z <- matrix( nrow=length(mu), ncol=length(sigma))
for(i in 1:length(mu))
  for(j in 1:length(sigma))
    z[i,j] <- L(mu[i], sigma[j], difference)

# shorter version
# z <- outer(mu, sigma, Vectorize(function(a,b) L(a,b,difference)))

contour(mu, sigma, z, levels=c(1e-10,1e-6,2e-5,1e-4,2e-4,4e-4,6e-4,8e-4,1e-3,1.2e-3,1.4e-3))

$\widehat{\sigma^2}(\mu)$

hats2mu <- sapply(mu, function(mu0) mean( (difference-mu0)**2 ))
lines(mu, hats2mu, col="red", lwd=2)

Các giá trị của khả năng hồ sơ là các giá trị được lấy theo khả năng dọc theo parabola đỏ.

$\hat\mu$

$\widehat{\sigma^2}(\mu)$

Bạn cũng có thể sử dụng khả năng hồ sơ để xây dựng các bài kiểm tra điểm, ví dụ.

$\chi^2_k$

$0.147$$95\%$

Đây là những kết quả cổ điển và do đó tôi chỉ đơn giản sẽ cung cấp một số tài liệu tham khảo về điều này:

http://www.jstor.org/ sóng / 2347496

http://www.stata-journal.com/sjpdf.html?articlenum=st0132

http://www.unc.edu/cifts/2010fall/ecol/563/001/docs/lectures/lecture11.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/Likabilities-ratio_test

http://en.wikipedia.org/wiki/Likabilities_feft#Profile_likabilities

Mã R sau đây cho thấy, ngay cả đối với các mẫu nhỏ, các khoảng thu được với cả hai cách tiếp cận đều tương tự nhau (tôi đang sử dụng lại ví dụ Elvis):

Lưu ý rằng bạn phải sử dụng khả năng hồ sơ chuẩn hóa.

data(sleep)
x <- sleep$extra[11:20]-sleep$extra[1:10]
n <- length(x)
Rp <- function(mu) {mean( (x-mean(x))^2 )^(n/2)/mean( (x-mu)^2 )^(n/2) }
Rp(mean(x))

mu <- seq(0,3, length=501)
plot(mu, sapply(mu, Rp), type="l")


Rpt<- function(mu) Rp(mu)-0.147 # Just an instrumental function

# Likelihood-confidence interval of 95% level

c(uniroot(Rpt,c(0.5,1.5))$root,uniroot(Rpt,c(1.51,3))$root)

# t confidence interval

t.test(x,conf.level=0.95)$conf.int

Nếu chúng ta sử dụng cỡ mẫu lớn hơn, khoảng tin cậy thậm chí còn gần hơn:

set.seed(123)
x <- rnorm(100)
n <- length(x)
Rp <- function(mu) {mean( (x-mean(x))^2 )^(n/2)/mean( (x-mu)^2 )^(n/2) }
Rp(mean(x))

mu <- seq(-0.5,0.5, length=501)
plot(mu, sapply(mu, Rp), type="l")


Rpt<- function(mu) Rp(mu)-0.147 # Just an instrumental function

# Likelihood-confidence interval of 95% level

c(uniroot(Rpt,c(-0.4,0))$root,uniroot(Rpt,c(0,0.4))$root)

# t confidence interval

t.test(x,conf.level=0.95)$conf.int

MỘT ĐIỂM QUAN TRỌNG:

Lưu ý rằng đối với các mẫu cụ thể, các loại khoảng tin cậy khác nhau có thể khác nhau về độ dài hoặc vị trí của chúng, điều thực sự quan trọng là phạm vi bảo hiểm của chúng. Về lâu dài, tất cả chúng nên cung cấp cùng một phạm vi bảo hiểm, độc lập với mức độ khác nhau của chúng đối với các mẫu cụ thể.

$\chi^2$$normalized$

1. Khả năng đăng nhập hồ sơ là xấp xỉ bậc hai
2. Tồn tại một biến đổi tham số làm cho khả năng đăng nhập hồ sơ xấp xỉ bậc hai.

Phương trình bậc hai rất quan trọng vì nó xác định phân phối chuẩn trong quy mô log. Càng nhiều bậc hai, phép tính gần đúng và kết quả của các TCTD càng tốt. Sự lựa chọn của bạn về mức cắt 1/20 cho các khoảng khả năng tương đương với hơn 95% CI trong giới hạn tiệm cận, vì vậy tại sao các khoảng màu xanh thường dài hơn các khoảng màu đỏ.

Bây giờ, có một vấn đề khác với khả năng hồ sơ cần được chú ý. Nếu bạn có nhiều biến số mà bạn đang định hình, thì nếu số lượng điểm dữ liệu trên mỗi thứ nguyên thấp, khả năng hồ sơ có thể rất sai lệch và lạc quan. Các khả năng hồ sơ cận biên, có điều kiện và sửa đổi sau đó được sử dụng để làm giảm sự thiên vị này.

Vì vậy, câu trả lời cho câu hỏi của bạn là CÓ ... kết nối là sự bình thường tiệm cận của hầu hết các ước tính khả năng tối đa, như được biểu hiện trong phân phối chi bình phương của tỷ lệ khả năng.