Làm thế nào để tạo các điểm phân bố đồng đều trên bề mặt của khối cầu 3-d?

Tôi đang tự hỏi làm thế nào để tạo các điểm phân bố đồng đều trên bề mặt của khối cầu 3-d? Ngoài ra sau khi tạo các điểm đó, cách tốt nhất để hình dung và kiểm tra xem chúng có thực sự đồng nhất trên bề mặt $x^2+y^2+z^2=1$ không?

Một phương pháp tiêu chuẩn là tạo ra ba quy tắc chuẩn và xây dựng một vectơ đơn vị từ chúng. Đó là, khi và λ 2 = X 2 1 + X 2 2 + X 2 3 , sau đó ( X 1 / λ , X 2 / λ , X 3 / λ ) được phân bố đều trên Hình cầu. Phương pháp này cũng hoạt động tốt cho các quả cầu d -chiều, quá.$X_i \sim N(0,1)$$\lambda^2 = X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$$(X_1/\lambda, X_2/\lambda, X_3/\lambda)$$d$

Trong 3D, bạn có thể sử dụng lấy mẫu từ chối: vẽ từ phân phối [ - 1 , 1 ] thống nhất cho đến khi độ dài của ( X 1 , X 2 , X 3 ) nhỏ hơn hoặc bằng 1, sau đó - giống như với phương pháp trước - bình thường hóa vectơ thành đơn vị chiều dài. Số lượng thử nghiệm dự kiến ​​cho mỗi điểm hình cầu bằng 2 3 / ( 4 π / 3 ) = 1,91. Ở các chiều cao hơn, số lượng thử nghiệm dự kiến ​​sẽ rất lớn, điều này nhanh chóng trở nên không thể thực hiện được.$X_i$$[-1,1]$$(X_1, X_2, X_3)$$2^3/(4 \pi / 3)$

Có nhiều cách để kiểm tra tính đồng nhất . Một cách gọn gàng, mặc dù hơi chuyên sâu về mặt tính toán, là với chức năng K của Ripley . Số lượng dự kiến của các điểm trong phạm vi (3D Euclide) khoảng cách của bất kỳ vị trí nào trên phạm vi tỷ lệ với diện tích của hình cầu trong khoảng cách ρ , bằng pi ρ 2 . Bằng cách tính toán tất cả các khoảng cách điểm, bạn có thể so sánh dữ liệu với lý tưởng này.$\rho$$\rho$$\pi\rho^2$

Các nguyên tắc chung của việc xây dựng đồ họa thống kê cho thấy một cách tốt để so sánh là vẽ các phần dư ổn định phương sai so với i = 1 , 2 , Lỗi , n ( n - 1 ) / 2 = m nơi d [ i ] là i thứ nhỏ nhất của khoảng cách lẫn nhau và e i = 2 $e_i(d_{[i]} - e_i)$$i = 1, 2, \ldots, n(n-1)/2=m$$d_{[i]}$$i^\text{th}$ . Cốt truyện nên gần bằng không. (Cách tiếp cận này là độc đáo.)$e_i = 2\sqrt{i/m}$

Dưới đây là hình ảnh của 100 hình vẽ độc lập từ phân bố hình cầu đồng nhất thu được bằng phương pháp đầu tiên:

Dưới đây là sơ đồ chẩn đoán khoảng cách:

Thang đo y cho thấy các giá trị này gần bằng không.

Dưới đây là sự tích lũy của 100 lô như vậy để gợi ý độ lệch kích thước nào thực sự có thể là các chỉ số đáng kể về tính không đồng nhất:

(Những mảnh đất này trông rất giống những cây cầu Brown ... có thể có một số khám phá lý thuyết thú vị ẩn giấu ở đây.)

Cuối cùng, đây là sơ đồ chẩn đoán cho một bộ gồm 100 điểm ngẫu nhiên thống nhất cộng thêm 41 điểm khác được phân phối đồng đều ở bán cầu trên:

Liên quan đến phân bố đồng đều, nó cho thấy sự giảm đáng kể về khoảng cách điểm trung bình ra một phạm vi của một bán cầu. Điều đó tự nó là vô nghĩa, nhưng thông tin hữu ích ở đây là một cái gì đó không đồng nhất trên quy mô của một bán cầu. Trong thực tế, âm mưu này dễ dàng phát hiện ra rằng một bán cầu có mật độ khác với mật độ khác. (Một bài kiểm tra chi bình phương đơn giản hơn sẽ thực hiện điều này với nhiều sức mạnh hơn nếu bạn biết trước bán cầu nào để kiểm tra trong số vô số những điều có thể.)

Đây là một số mã R khá đơn giản

n     <- 100000                  # large enough for meaningful tests
z     <- 2*runif(n) - 1          # uniform on [-1, 1]
theta <- 2*pi*runif(n) - pi      # uniform on [-pi, pi]
x     <- sin(theta)*sqrt(1-z^2)  # based on angle
y     <- cos(theta)*sqrt(1-z^2)     

Rất đơn giản để thấy từ việc xây dựng rằng và vì vậy nhưng nếu cần phải thử nghiệm thì$x^2+y^2 = 1- z^2$$x^2+y^2+z^2=1$

mean(x^2+y^2+z^2)  # should be 1
var(x^2+y^2+z^2)   # should be 0

và dễ dàng kiểm tra rằng mỗi và được phân phối đồng đều trên ( rõ ràng là ) với$x$$y$$[-1,1]$$z$

plot.ecdf(x)  # should be uniform on [-1, 1]
plot.ecdf(y)
plot.ecdf(z)

Rõ ràng, với giá trị , và được phân bố đồng đều xung quanh một vòng tròn bán kính và điều này có thể được kiểm tra bằng cách xem xét sự phân bố của arctangent theo tỷ lệ của chúng. Nhưng vì có cùng phân phối biên như và như , nên một tuyên bố tương tự là đúng đối với bất kỳ cặp nào và điều này cũng có thể được kiểm tra. $z$$x$$y$$\sqrt{1-z^2}$$z$$x$$y$

plot.ecdf(atan2(x,y)) # should be uniform on [-pi, pi]
plot.ecdf(atan2(y,z))
plot.ecdf(atan2(z,x))

Nếu vẫn không thuyết phục, các bước tiếp theo sẽ là xem xét một số phép quay 3 chiều tùy ý hoặc có bao nhiêu điểm rơi trong một góc vững chắc nhất định, nhưng điều đó bắt đầu phức tạp hơn, và tôi nghĩ là không cần thiết.

Nếu bạn muốn lấy mẫu các điểm phân bố đồng đều trên quả cầu 3D (nghĩa là bề mặt của quả bóng 3D), hãy sử dụng từ chối đơn giản hoặc phương pháp của Marsaglia (Ann. Math. Statist., 43 (1972), trang 645 646). Đối với kích thước thấp, tỷ lệ loại bỏ khá thấp.

Nếu bạn muốn tạo các điểm ngẫu nhiên từ các quả cầu và bóng có chiều cao hơn, thì nó phụ thuộc vào mục đích và quy mô của mô phỏng. Nếu bạn không muốn thực hiện các mô phỏng lớn, hãy sử dụng phương pháp của Muller (Commun. ACM, 2 (1959), trang 19 Quay20) hoặc phiên bản "bóng" của nó (xem bài viết của Harman & Lacko đã trích dẫn ở trên). Đó là:

để có được một mẫu phân bố đồng đều trên một hình cầu n (bề mặt) 1) tạo X từ phân phối chuẩn 2 chiều 2) chia mỗi thành phần của X theo chỉ tiêu Euclide của X

để có được một mẫu được phân phối đồng đều trên một quả bóng n (bên trong) 1) tạo X từ (n + 2) phân phối chuẩn 2 chiều tiêu chuẩn 2) chia mỗi thành phần của X theo chỉ tiêu Euclide của X và chỉ lấy n thành phần đầu tiên

Nếu bạn muốn thực hiện các mô phỏng lớn, thì bạn nên điều tra các phương pháp chuyên biệt hơn. Theo yêu cầu, tôi có thể gửi cho bạn bài viết của Harman và Lacko về các phương pháp phân phối có điều kiện, cung cấp sự phân loại và khái quát hóa của một số thuật toán được đề cập trong cuộc thảo luận này. Liên hệ có sẵn tại trang web của tôi (http://www.iam.fmph.uniba.sk/ospm/Lacko)

Nếu bạn muốn kiểm tra xem các điểm yout có thực sự đồng đều trên bề mặt hoặc bên trong quả bóng hay không, hãy nhìn vào các lề (tất cả đều giống nhau, vì tính bất biến xoay, chỉ tiêu bình phương của mẫu được chiếu là phân phối beta).

Tôi đã gặp một vấn đề tương tự (n-sphere) trong thời gian làm Tiến sĩ và một trong những mẫu 'từ chối' của các chuyên gia địa phương từ một khối n! Điều này, tất nhiên, sẽ có thời đại của vũ trụ khi tôi đang nhìn vào thứ tự của những kẻ ngu ngốc.

Thuật toán tôi đã sử dụng rất đơn giản và được xuất bản trong:

WP Petersen và A. Bernasconic Lấy mẫu thống nhất từ ​​một hình cầu n: Phương pháp đẳng hướng Báo cáo kỹ thuật, TR-97-06, Trung tâm tính toán khoa học Thụy Sĩ

Tôi cũng có tài liệu này trong thư mục mà tôi chưa xem. Bạn có thể thấy nó hữu ích.

Harman, R. & Lacko, V. Trên các thuật toán phân tách để lấy mẫu thống nhất từ spheres và -balls Tạp chí Phân tích đa biến, 2010$n$$n$

Tôi đã có vấn đề này trước đây, và đây là một giải pháp thay thế mà tôi tìm thấy,

Đối với bản phân phối, công thức tôi thấy hoạt động tốt là sử dụng tọa độ cực (tôi thực sự sử dụng một biến thể của tọa độ poler đã phát triển), sau đó chuyển đổi sang tọa độ Cartesian.

Bán kính dĩ nhiên là bán kính của hình cầu mà bạn đang vẽ. Sau đó, bạn có giá trị thứ hai cho góc trên mặt phẳng, tiếp theo là giá trị thứ ba là góc trên hoặc dưới mặt phẳng đó.

Để có được phân phối hợp lý, giả sử rằng U là số ngẫu nhiên phân bố đồng đều, r là bán kính, a là tọa độ cực thứ hai và b là tọa độ cực thứ ba,

a = U * 360 b = U + U-1 sau đó chuyển đổi sang cartesian qua x = r * sin (b) sin (a) z = r sin (b) cos (a) y = r sin (b)

Gần đây tôi đã tìm thấy những điều sau đây về mặt toán học tốt hơn, a = 2 (pi) * U b = cos ^ -1 (2U-1)

Không khác nhiều so với công thức ban đầu của tôi, mặc dù của tôi là độ so với radian.

Phiên bản gần đây được cho là có thể được sử dụng cho các siêu thị, mặc dù không có đề cập nào được thực hiện về cách đạt được nó.

Mặc dù tôi kiểm tra tính đồng nhất một cách trực quan bằng phương pháp tạo bản đồ khá rẻ cho Homewworld 2 và sau đó "chơi" các bản đồ đó. Trên thực tế, vì các bản đồ được tạo bằng các tập lệnh lua, bạn có thể xây dựng công thức của mình ngay trên bản đồ và do đó kiểm tra nhiều lần lấy mẫu mà không bao giờ rời khỏi trò chơi. Có lẽ không khoa học, nhưng là một phương pháp tốt để nhìn thấy kết quả.

Đây là mã giả:

1. $v \sim MultiVariateGaussian(\mu,\sigma I)$
2. $v = \frac{v}{ \| v \| }$

Trong pytorch:

v = MultivariateNormal(torch.zeros(10000), torch.eye(10000))
v = v/v.norm(2)

Tôi không hiểu rõ điều này đủ nhưng tôi đã được người nói rằng:

v = torch.normal(torch.zeros(10000), torch.eye(10000))
v = v/v.norm(2)

cũng đúng, tức là lấy mẫu từ một thông thường đơn biến cho mỗi tọa độ.

Dự đoán tốt nhất của tôi là trước tiên sẽ tạo ra một tập hợp các điểm phân bố đồng đều trong không gian 2 chiều và sau đó chiếu các điểm đó lên bề mặt của một hình cầu bằng cách sử dụng một số phép chiếu.

Bạn có thể sẽ phải trộn và kết hợp cách bạn tạo các điểm với cách bạn ánh xạ chúng. Về mặt phát triển điểm 2D, tôi nghĩ rằng các chuỗi chênh lệch thấp được xáo trộn sẽ là một nơi tốt để bắt đầu (nghĩa là chuỗi Sobol bị xáo trộn) vì nó thường tạo ra các điểm không bị "vón cục lại với nhau". Tôi không chắc chắn về việc sử dụng loại ánh xạ nào, nhưng Woflram đã bật lên phép chiếu Gnonom ... vì vậy có lẽ nó có thể hoạt động?

MATLAB có một triển khai tốt các chuỗi sai lệch thấp mà bạn có thể tạo bằng cách sử dụng q = sobolset(2)và xáo trộn bằng cách sử dụng q = scramble(q). Ngoài ra còn có một hộp công cụ ánh xạ trong MATLAB với một loạt các hàm chiếu khác nhau mà bạn có thể sử dụng trong trường hợp bạn không muốn tự viết mã bản đồ và đồ họa.