Công cụ ước lượng không thiên vị cho nhỏ hơn của hai biến ngẫu nhiên

13

Giả sử $X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \sigma^2_x)$ và $Y \sim \mathcal{N}(\mu_y, \sigma^2_y)$

$z = \min(\mu_x, \mu_y)$ $z$

Công cụ ước tính đơn giản của $\min(\bar{x}, \bar{y})$ trong đó $\bar{x}$ và $\bar{y}$ là phương tiện mẫu của $X$ và $Y$ , ví dụ, là sai lệch (mặc dù nhất quán). Nó có xu hướng cởi quần áo $z$ .

Tôi không thể nghĩ ra một công cụ ước tính không thiên vị cho $z$ . Có ai tồn tại?

Cảm ơn vì bất kì sự giúp đỡ.

random-variable unbiased-estimator minimum

— pazam
nguồn

8

Đây chỉ là một vài ý kiến không phải là một câu trả lời (không có đủ điểm đại diện).

(1). Có một công thức rõ ràng cho độ lệch của công cụ ước tính đơn giản $min(\bar{x},\bar{y})$ tại đây:

Clark, CE 1961, Mar-April. Số lớn nhất của một tập hợp các biến ngẫu nhiên. Nghiên cứu hoạt động 9 (2): 145 Hàng162.

Không chắc cách này giúp

(2). Đây chỉ là trực giác, nhưng tôi nghĩ một người ước tính như vậy không tồn tại. Nếu có một công cụ ước tính như vậy, thì nó cũng không được thiên vị khi . Do đó, bất kỳ 'hạ cấp' nào làm cho công cụ ước tính ít hơn nói trung bình có trọng số của hai mẫu có nghĩa là làm cho công cụ ước tính bị sai lệch trong trường hợp này. $\mu_x=\mu_y=\mu$

— Hoặc Zuk
nguồn

1

có thể hình dung, bất kỳ sự điều chỉnh nào cũng có thể có nghĩa là không cho trường hợp này.

— Đức Hồng Y

Tuy nhiên, chỉ để làm rõ, tôi không khẳng định tôi tin rằng có một công cụ ước tính không thiên vị. Trong thực tế, tôi đồng ý có khả năng là không .

— Đức Hồng Y

1

Có đồng ý - đây chỉ là trực giác. Bài viết sau đây đưa ra các điều kiện cho sự tồn tại của công cụ ước lượng không thiên vị cho hàm của một hàm gaussian đơn biến - có thể được mở rộng thành đa biến: stat.ncsu.edu/l Library / mimeo.archive / ISMS_1988_1929.pdf

— Hoặc Zuk

Biết được sự thiên vị có thể giúp ích, bạn có thể sửa cho nó để có được một công cụ ước tính không thiên vị. Tôi thực sự đã đi theo con đường này, nhưng tính toán sự thiên vị chính xác đòi hỏi bạn phải có

và

- điều mà chúng ta không có. Vì vậy, tự nhiên tôi đã cố gắng sử dụng mẫu có nghĩa thay vì để xem những gì xảy ra. Nó không xuất hiện để giúp đỡ. Trong các mô phỏng, công cụ ước tính đã hiệu chỉnh cũng thể hiện sai lệch. Tôi đang nghiêng về một công cụ ước tính không thiên vị không tồn tại, nhưng tôi không đưa ra được bằng chứng tốt cho nó.

u_{x}

$u_x$

u_{y}

$u_y$

— pazam

5

Bạn đúng rằng một công cụ ước tính không thiên vị không tồn tại. Vấn đề là các tham số của lãi suất không phải là một chức năng trơn tru của phân phối dữ liệu cơ bản do không differentiability tại . $\mu_x=\mu_y$

Bằng chứng là như sau. Đặt là một công cụ ước lượng không thiên vị. Khi đó . Phía bên trái có thể phân biệt ở mọi nơi đối với và $T(X,Y)$ $E_{\mu_x,\mu_y}[T(X,Y)]=\min\{\mu_x,\mu_y\}$ $\mu_x$ $\mu_y$ (phân biệt dưới dấu tích phân). Tuy nhiên, phía bên tay phải không khác biệt ở $\mu_x=\mu_y$ , dẫn đến mâu thuẫn.

Hirano và Porter có một bằng chứng chung trong một bài báo Kinh tế lượng sắp tới (xem Dự luật 1 của họ). Đây là phiên bản giấy làm việc:

http://www.u.arizona.edu/~hirano/ con / hp4_2011_11_03.pdf

— người dùng8817
nguồn

Rất đẹp! Cảm ơn bạn đã theo dõi câu hỏi này.

— whuber

1

Có một công cụ ước tính cho mức tối thiểu (hoặc tối đa) của một tập hợp các số được đưa ra một mẫu. Xem Laurens de Haan, "Ước tính mức tối thiểu của hàm sử dụng số liệu thống kê đơn hàng", JASM, 76 (374), tháng 6 năm 1981, 467-469.

— Jan Galkowski
nguồn

Thật không may, tôi không nghĩ rằng bài báo mà bạn trích dẫn giải quyết vấn đề này. Bài viết đề cập đến khi bạn có một tập hợp các biến không ngẫu nhiên A và tìm phần tử nhỏ nhất trong A thông qua lấy mẫu. Trong bối cảnh của vấn đề này, mỗi phần tử trong A sẽ là một biến ngẫu nhiên và trong đó nằm ở phần khởi động. Bạn cần phải tìm một ước lượng không thiên vị của giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên nhỏ nhất trong A.

— pazam

0

Tôi khá chắc chắn rằng một công cụ ước tính không thiên vị không tồn tại. Nhưng các công cụ ước tính không thiên vị không tồn tại với hầu hết số lượng và không thiên vị không phải là một tài sản đặc biệt mong muốn ở nơi đầu tiên. Tại sao bạn muốn một cái ở đây?

Y

$Y$

Y

$Y$