Đảo ngược Biến đổi Fourier cho phân phối Fisher

Hàm đặc trưng của phân phối Fisher là: trong đó là hàm siêu bội hợp lưu . Tôi đang cố gắng giải quyết biến đổi Fourier ngược của -convolution để phục hồi mật độ của một biến , đó là: với mục đích nhận phân phối tổng của $\mathcal{F}(1,\alpha)$

C (t) = = \frac{Γ (\frac{α + 1}{2}) Bạn (\frac{1}{2}, 1 - \frac{α}{2}, - tôi t α)}{Γ (\frac{α}{2})}

$C(t)=\frac{\Gamma \left(\frac{\alpha +1}{2}\right) U\left(\frac{1}{2},1-\frac{\alpha }{2},-i t \alpha \right)}{\Gamma \left(\frac{\alpha }{2}\right)}$

U

$U$

F_{t, x}^{- 1}

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1}$

n

$n$

x

$x$

F_{t, x}^{- 1} (C (t)^{n})

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1} \left(C(t)^n\right)$

n

$n$ Biến ngẫu nhiên phân phối Fisher. Tôi tự hỏi nếu ai đó có bất kỳ ý tưởng vì nó dường như rất khó để giải quyết. Tôi đã thử các giá trị của

α = 3

$\alpha=3$ và

n = 2

$n=2$ nhưng không có kết quả. Lưu ý: với

n = 2

$n=2$ bằng tích chập, tôi lấy pdf trung bình (không tính tổng):

\frac{3 (12 (x^{2} + 3) (5 x^{2} - 3) x^{2} + 9 (20 x^{4} + 27 x^{2} + 9) đăng nhập (\frac{4 x^{2}}{3} + 1) + 2 \sqrt{3} (x^{2} + 15) (4 x^{2} + 3) x^{3} \tan^{- 1} (\frac{2 x}{\sqrt{3}}))}{π^{2} x^{3} {(x^{2} + 3)}^{3} (4 x^{2} + 3)}

$\frac{3 \left(12 \left(x^2+3\right) \left(5 x^2-3\right) x^2+9 \left(20 x^4+27 x^2+9\right) \log \left(\frac{4 x^2}{3}+1\right)+2 \sqrt{3} \left(x^2+15\right) \left(4 x^2+3\right) x^3 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{\sqrt{3}}\right)\right)}{\pi ^2 x^3 \left(x^2+3\right)^3 \left(4 x^2+3\right)}$ ,

Trong đó $x$ là trung bình của 2 biến. Tôi biết nó khó sử dụng nhưng rất thích có được một ý tưởng về sự gần đúng của phân phối lưu vực.

— Nero
nguồn

câu hỏi này còn sống không?

— Brethlosze

Vâng, nó vẫn mở.

— Nero

Tôi giả sử bạn đang ở dưới một số gói tượng trưng phải không?

— Brethlosze

(?) Liên quan: mathoverflow.net/questions/184367/... jstor.org/stable/2287787?seq=1#page_scan_tab_contents sciencedirect.com/science/article/pii/016771529190098C

— Kjetil b Halvorsen

Không có mật độ dạng đóng cho một tổ hợp thống kê F, do đó, cố gắng đảo ngược hàm đặc trưng về mặt phân tích không có khả năng dẫn đến bất cứ điều gì hữu ích.

Trong thống kê toán học, việc mở rộng Edgeworth nghiêng (còn được gọi là xấp xỉ yên ngựa) là một kỹ thuật nổi tiếng và thường được sử dụng để xấp xỉ một hàm mật độ cho hàm đặc trưng. Giá trị gần đúng yên xe thường là chính xác đáng kể. Ole Barndorff-Nielsen và David Cox đã viết một cuốn sách giáo khoa giải thích kỹ thuật toán học này.

Có nhiều cách khác để tiếp cận vấn đề mà không cần sử dụng chức năng đặc trưng. Người ta sẽ mong đợi phân phối tích chập giống như phân phối F có hình dạng. Người ta có thể thử một xấp xỉ như cho -convolution, sau đó chọn và để làm cho hai khoảnh khắc đầu tiên của phân phối chính xác. Điều này dễ dàng đưa ra giá trị trung bình và phương sai đã biết của phân phối F. $aF(n,k)$ $n$ $a$ $k$

Nếu lớn, thì tích chập hội tụ thành phân phối hình vuông trên bậc tự do. Điều này tương đương với việc lựa chọn $\alpha$ $n$ $a=n$ và trong phép tính gần đúng ở trên, cho thấy phép tính gần đúng đơn giản là chính xác cho lớn . $k=\infty$ $\alpha$

— Gordon Smyth
nguồn