Tôi biết rằng đại số tuyến tính và phân tích (đặc biệt là lý thuyết đo lường) là quan trọng. Có hữu ích để tham gia các khóa học sau đại học trong phân tích thực tế và phức tạp? Tôi có nên tham gia các khóa học về đại số trừu tượng ngoài các khóa học giới thiệu, ví dụ, đại số giao hoán và hình học đại số?
Câu trả lời:
Theo tôi, một số lựa chọn để điều tra ở cấp độ sau đại học có thể là: phân tích chức năng (khung tự nhiên cho các công thức thống kê), quy trình ngẫu nhiên, kiểm soát ngẫu nhiên (phân tích tuần tự là dừng tối ưu), nhiều loại PDE khác nhau (nhiều vấn đề xác suất được hình thành như PDE parabol và phi tuyến). Khá nhiều trong số này yêu cầu phân tích thực sự ở cấp độ đại học. Nếu bạn quan tâm đến công cụ lý thuyết, thì việc đo lường lý thuyết cũng khá quan trọng như là điều kiện tiên quyết để xử lý đầy đủ các chủ đề này. Phân tích phức tạp sẽ có một số sử dụng, nhưng ít hơn so với ở trên; có các kết nối với xác suất (nghĩa là các hàm điều hòa), nhưng rất có thể nó không xứng đáng
Đại số giao hoán và hình học đại số sẽ không hữu ích lắm (một kết nối tôi có thể nghĩ đến là thống kê đại số, không được dạy rộng rãi). Những chủ đề này cũng sẽ rất khó khăn nếu không có nền tảng vững chắc về toán học.
Nhận phân tích thực sự, nhưng không phải theo cách tôi thấy mọi người làm điều đó. Khi chúng tôi phỏng vấn sinh viên toán, họ dường như không nắm vững các công cụ phân tích thực, những điều đơn giản như lấy tích phân nằm ngoài tầm với của hầu hết chúng. Tôi vẫn không hiểu tại sao. Vì vậy, lời khuyên của tôi: chú ý đến các ứng dụng đầu tiên và quan trọng nhất.
Cũng có được khóa học ODE và PDE, và phân tích chức năng và hình học vi phân. Đại số tuyến tính và tenxơ, tất nhiên, quá. Tất cả tập trung vào các ứng dụng.
Liên quan đến đại số giao hoán và hình học đại số, các chủ đề ít được đề cập trong các câu trả lời khác, ấn tượng của tôi là miễn là bạn tránh được thống kê đại số, bạn có thể hoàn toàn không có chúng. Tuy nhiên, việc tránh các số liệu thống kê đại số có thể sẽ ngày càng khó khăn hơn vì nó có rất nhiều ứng dụng và giao thoa với học máy / thống kê, rất nổi bật trong nghiên cứu ngày nay, cũng như các ứng dụng trong các lĩnh vực khác. Đại số giao hoán và hình học đại số là những môn bạn muốn tìm hiểu cụ thể nhất về thống kê đại số, xem ví dụ câu trả lời cho câu hỏi này: Hình học đại số cho thống kê
Ngược lại, tất cả các trường con của thống kê sử dụng phân tích. (Mặc dù không có nhiều phân tích phức tạp, mặc dù điều đó có thể hữu ích để hiểu các chức năng đặc trưng, một điểm dường như chưa được nêu ra.) Tôi nghĩ rằng lý thuyết đo lường trình độ đại học có lẽ là đủ, vì tôi đã gặp các nhà thống kê chuyên nghiệp (ví dụ như các giáo sư tại các bộ phận hàng đầu), những người coi thường lý thuyết đo lường, nhưng nếu bạn thực sự muốn hiểu lý thuyết đo lường, một khóa học cấp độ sau đại học về phân tích thực sự là một trợ giúp tuyệt vời. Lý thuyết đo lường đại học có xu hướng tập trung hoàn toàn vào thước đo Lebesgue trên đường thẳng thực, có nhiều đặc tính tốt đẹp mà các biện pháp chung có thể không nhất thiết phải có, và hơn nữa là một biện pháp vô hạn. Ngược lại, một khóa học phân tích thực tế cấp độ sau đại học sẽ có xu hướng nhấn mạnh hơn vào các biện pháp trừu tượng, điều này làm cho các biện pháp xác suất nói chung dễ hiểu hơn và cũng làm cho mối quan hệ rõ ràng hơn giữa các biện pháp xác suất liên tục và rời rạc - nói cách khác, lần đầu tiên bạn sẽ có thể thấy cả hai đối tượng đến với nhau trong một khuôn khổ. Tương tự như vậy, người ta có thể chứng minh định lý mở rộng Kolmogorov trong một khóa học như vậy. Và một sự hiểu biết về các biện pháp trừu tượng thực sự không thể thiếu đối với một sự hiểu biết khắt khe về các quá trình ngẫu nhiên trong thời gian liên tục. Nó thậm chí còn hữu ích để hiểu các quá trình ngẫu nhiên trong thời gian riêng biệt, mặc dù ít quan trọng hơn trong trường hợp liên tục. bạn sẽ có thể thấy cả hai đối tượng đến với nhau trong một khuôn khổ lần đầu tiên. Tương tự như vậy, người ta có thể chứng minh định lý mở rộng Kolmogorov trong một khóa học như vậy. Và một sự hiểu biết về các biện pháp trừu tượng thực sự không thể thiếu đối với một sự hiểu biết khắt khe về các quá trình ngẫu nhiên trong thời gian liên tục. Nó thậm chí còn hữu ích để hiểu các quá trình ngẫu nhiên trong thời gian riêng biệt, mặc dù ít quan trọng hơn trong trường hợp liên tục. bạn sẽ có thể thấy cả hai đối tượng đến với nhau trong một khuôn khổ lần đầu tiên. Tương tự như vậy, người ta có thể chứng minh định lý mở rộng Kolmogorov trong một khóa học như vậy. Và một sự hiểu biết về các biện pháp trừu tượng thực sự không thể thiếu đối với một sự hiểu biết khắt khe về các quá trình ngẫu nhiên trong thời gian liên tục. Nó thậm chí còn hữu ích để hiểu các quá trình ngẫu nhiên trong thời gian riêng biệt, mặc dù ít quan trọng hơn trong trường hợp liên tục.