Giải thích về sự phân rã beveridge nelson

Ai đó có thể giải thích làm thế nào Phân tích đồ uống-hoạt động? Cho đến nay tất cả những gì tôi biết là nó ước tính chu kỳ xu hướng trong dữ liệu chuỗi thời gian không cố định.

Tôi đã xem nhiều bài báo và tôi vẫn bối rối về cách thức hoạt động của nó http://research.economics.unsw.edu.au/jmorley/bn.pdf

Sự phân hủy của Beveridge-Nelson là sự phân rã của quá trình . Quá trình này có một đơn vị gốc:$ARIMA(p,1,q)$

$$y_t=y_{t-1}+u_{t},$$

nhưng không phải là một quá trình nhiễu trắng, nó là một quá trình . Điều mà Beveridge và Nelson trong bài báo gốc của họ quan sát được là có thể phân tách quá trình này thành hai phần: A R M A ( p , q $u_t$$ARMA(p,q)$

$$y_t=\tau_t+\xi_t,$$

trong đó bây giờ là bước đi ngẫu nhiên "thuần túy", tức là , trong đó là một tiếng ồn trắng. Thuật ngữ là một quá trình đứng yên khác. Sự phân tách này là bản sắc đại số (các chi tiết bên dưới), nhưng nó có thể dẫn đến những diễn giải thú vị.$\tau_t$$\tau_t=\tau_{t-1}+\varepsilon_t$$\varepsilon_t$$\xi_t$

Các tuyên bố chính xác. Đặt , trong đó là một quá trình nhiễu trắng và . Sau đó$u_t=\sum_{j=0}^\infty \psi_{j}\varepsilon_{t-j}$$\varepsilon_t$$\sum j|\psi_j|<\infty$

$$u_1+...+u_t=\psi(1)(\varepsilon_1+...+\varepsilon_t)+\eta_t-\eta_0,$$

Ở đâu

$$\psi(1)=\sum_{j=0}^\infty\psi_j,\quad \eta_t=\sum_{j=0}^\infty\alpha_j\varepsilon_{t-j},\quad \alpha_j=-(\psi_{j+1}+\psi_{j+2}+...), \quad \sum|\alpha_j|<\infty.$$

Phân tách này có ứng dụng hay, ví dụ

$$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^Tu_{t}=\frac{1}{\sqrt{T}}\psi(1)\sum_{t=1}^T\varepsilon_t+\frac{1}{\sqrt{T}}(\eta_t-\eta_0)\to N(0,[\psi(1)\sigma]^2),$$

trong đó chúng ta áp dụng định lý giới hạn trung tâm cho thuật ngữ đầu tiên và quan sát rằng thuật ngữ thứ hai chuyển sang 0, do tính ổn định (trung bình là 0 và phương sai của thuật ngữ là 0, do T trong mẫu số).

Vì vậy, chúng tôi nhận được rằng hành vi giới hạn của quá trình ARIMA (p, 1, q) chỉ đơn giản giống như đối với quy trình ARIMA (0,1,0). Thực tế này được sử dụng rất nhiều trong văn học chuỗi thời gian. Ví dụ, kiểm tra gốc đơn vị Phillips và Perron dựa trên nó.