Đối với một biến ngẫu nhiên liên tục, tại sao

Sách giáo khoa của tôi đặt điều này trong một sidebox với tiêu đề "Ghi chú" và không giải thích tại sao. Bạn có thể cho tôi biết tại sao tuyên bố này giữ?

$P(a < Z < b) = P(a \leq Z < b) = P(a < Z \leq b) = P(a \leq Z \leq b)$

probability mathematical-statistics continuous-data

— Người
nguồn

Người ta gần như có thể coi những khẳng định này là định nghĩa của "liên tục". Vậy thì, định nghĩa của bạn về một biến ngẫu nhiên liên tục là gì?

— whuber

Đối với một biến ngẫu nhiên liên tục,

P (Z = a)

$P(Z=a)$ và

P (Z = b)

$P(Z=b)$ gì?

— Glen_b -Reinstate Monica

Các bài viết trên Wikipedia về phân bố xác suất làm một công việc khá tốt trong việc giải thích này. Cuối cùng, nó gọi thực tế là CDF là liên tục, do đó xác suất của bất kỳ điểm nào phải bằng không.

— whuber

Câu trả lời:

Không có gì chính thức để thêm vào điều này, nhưng một sự tương tự thực sự giúp tôi hiểu điều này đến từ một văn bản tính toán. Hãy tưởng tượng bạn có một ống sắt có chiều dài và trọng lượng nhất định. Và bạn muốn cắt nó thành hai mảnh. Nếu đường ống dài 1 m, bạn có thể muốn cắt nó xuống một nửa ở mức 0,5. Bây giờ hãy nghĩ về trọng lượng của ống như một số lần không đổi chiều dài của ống, (chúng tôi giả sử rằng tất cả các mặt cắt ngang có chiều dài bằng nhau có cùng trọng lượng).

Cắt một nửa ống ở mốc 0,5 m - bạn giảm bao nhiêu cân? Hãy nhớ rằng mặt cắt duy nhất bạn đang loại bỏ là dấu 0,5 m. Vậy chiều dài của mặt cắt này là bao nhiêu? Hãy xem xét rằng 0,49999999 ... không nằm ngoài nó và 0,5000000000 ... 1, hoặc bất kỳ điểm nào gần với, nhưng không bằng 0,5 - vì vậy độ dài của mặt cắt này về mặt kỹ thuật là bằng không. Điều đó có nghĩa là bạn không thực sự loại bỏ bất kỳ trọng lượng nào cả.

Điều này sẽ giải thích tại sao và về cơ bản giống nhau cho các biến liên tục - bao gồm hoặc loại trừ điểm cuối thực sự không thay đổi bất cứ điều gì - đối với bất kỳ điểm nào bạn chọn gần điểm cuối, vẫn có vô số điểm giữa chúng. $\leq$ $<$

Liệu điều này có ý nghĩa gì?

— ltronneberg
nguồn

Đầu tiên tôi sẽ đưa ra định nghĩa về một biến ngẫu nhiên (hoàn toàn) liên tục . $Z$

(Cần xác suất nâng cao, nhiều bạn bỏ qua nó!)

Đặt là không gian xác suất và đặt là một vectơ ngẫu nhiên. Xác suất trên được định nghĩa bởi , được gọi là sự phân bố của . Bây giờ nếu nơi là Lebesgue biện pháp trên , (tức là là hoàn toàn liên tục đối với với ) thì ta nói rằng là một (hoàn toàn) vector ngẫu nhiên liên tục. Bây giờ bằng cách sử dụng định lý Nikonym của Radon Gian $(\Omega,F, P)$ $Z:\Omega\rightarrow R^n$ $P_X$ $B(R^n)$ $P_Z(A)=P\{Z\in A\}$ $A \in B(R^n)$ $Z$ $P_Z\ll \mu,$ $\mu$ $R^n$ $P$ $\mu$ $Z$ , tồn tại hàm sao cho cho tất cả . Chúng tôi gọi hàm mật độ của . $f: R^n\to[0,+\infty]$ $P_Z(A)=\int_{A}fd_{\mu}$ $A \in B(R^n)$ $f$ $Z$

Bây giờ hãy xác định hàm phân phối tích lũy (CDF) của một biến ngẫu nhiên hoàn toàn liên tục là: $Z$

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) .

$F_Z(z)=P(Z\leq z).$

Trước khi tôi đưa ra một bằng chứng chính thức, chúng ta hãy lấy một ví dụ về một biến ngẫu nhiên liên tục được phân phối đồng đều, tức là có hàm mật độ xác suất là với và 0 nếu không. Bây giờ hãy thử tìm . Ta cóChúng ta có thể thu hẹp khoảng đó để có được xấp xỉ tốt hơn như sau:Như bạn có thể thấy, các xác suất này đang hội tụ về 0 khi chúng ta thu nhỏ độ dài của khoảng. Bây giờ hãy chứng minh điều đó một cách chính thức. Tôi muốn chứng minh rằng đối với bất kỳ biến ngẫu nhiên liên tục $f(z)=1$ $0\leq z \leq 1$ $P(z=0.5)$

P (z = 0.5) \sim P (0.4 < z \leq 0.6) = \int_{0.4}^{0.6} f (z) d_{z} = 0.2.

$P(z=0.5)\sim P(0.4< z\leq 0.6)=\int_{0.4}^{0.6}f(z)d_z=0.2.$

P (z = 0.5) \sim P (0.49 < z \leq 0.51) = \int_{0.49}^{0.51} f (z) d_{z} = 0.02,

$P(z=0.5)\sim P(0.49< z\leq 0.51)=\int_{0.49}^{0.51}f(z)d_z=0.02,$

P (z = 0.5) \sim P (0.499 < z \leq 0.501) = \int_{0.499}^{0.501} f (z) d_{z} = 0.002.

$P(z=0.5)\sim P(0.499< z\leq 0.501)=\int_{0.499}^{0.501}f(z)d_z=0.002.$

Z

$Z$ , chúng ta có: bằng cách sử dụng CDF. kể từ khi chức năng CDF, , là một chức năng "liên tục" cho liên tục biến ngẫu nhiên . Tương tự . Cuối cùng lưu ý rằngVậyBạn có thể sử dụng cùng một đối số cho các đẳng thức khác.

P (Z = a) = 0,

$P(Z=a)=0,$

P (Z = a) = lim_{ϵ \to 0} P (a - ϵ < Z \leq a + ϵ) = lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a + ϵ) - lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a - ϵ) = F_{Z} (a) - F_{Z} (a) = 0,

$P(Z=a)=\lim_{\epsilon\to 0}P(a-\epsilon< Z\leq a+\epsilon)=\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a+\epsilon)-\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a-\epsilon)\\=F_Z(a)-F_Z(a)=0,$

F

$F$

Z

$Z$

P (Z = b) = 0

$P(Z=b)=0$

P (A ⋃ B) = P (A) + P (B) - P (A ⋂ B) .

$P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B).$

P (a \leq Z < b) = P ({Z = a} ⋂ {a < Z < b}) = P (Z = a) + P (a < Z < b) = 0 + P (a < Z < b) = P (a < Z < b) .

$P(a\leq Z<b)=P\Big(\{Z=a\}\bigcap \{a<Z<b\}\Big)=P(Z=a)+P(a<Z<b)\\=0+P(a<Z<b)=P(a<Z<b).$

— Thống kê
nguồn

Có vẻ như đối số này sẽ áp dụng tốt như nhau cho bất kỳ phân phối rời rạc nào với một tập hợp vô hạn các giá trị có thể có, nhưng sau đó các kết luận rõ ràng là sai, vì vậy có vấn đề.

— whuber

Sẽ thật tuyệt nếu bạn có thể chỉ cho chúng tôi cách "kết luận rõ ràng là sai" ...

— Stat

Trong một phân phối rời rạc - thậm chí một (như một nhị phân Poisson hoặc âm tính) với sự hỗ trợ vô hạn đáng kể-- mọi giá trị đều có xác suất khác không, trong khi đối số của bạn ngụ ý tất cả đều có xác suất bằng không.

— whuber

Tôi đã thay đổi câu trả lời của tôi.

— Thống kê

Tôi không đồng ý với khẳng định của bạn rằng là một hàm liên tục phải cung cấp cho chúng tôi rằngKết quả mong muốn đòi trái liên tục của , trong đó tất nhiên nắm giữ kể từ là cả hai phải liên tục và trái liên tục liên tục biến ngẫu nhiên . Ngoài ra, bạn đang sử dụng thực tế là xác suất là hàm liên tục được đặt khi bạn tính và khẳng định rằng nó giống với .

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$

lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a - ϵ) = F_{Z} (a) .

$\lim_{\epsilon \to 0} F_Z(a-\epsilon) = F_Z(a).$

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$

Z

$Z$

lim_{ϵ \to 0} P (a - ϵ < Z \leq a + ϵ)

$\lim_{\epsilon\to 0}P(a-\epsilon < Z \leq a+\epsilon)$

P {lim_{ϵ \to 0} (a - ϵ < Z < a + ϵ)}

$P\{\lim_{\epsilon\to 0} (a-\epsilon<Z<a+\epsilon)\}$

— Dilip Sarwate

-1

Có lẽ một lời giải thích trực quan hơn là đối với một biến liên tục, sự đóng góp của các cạnh (ví dụ: hoặc ) cho xác suất tích lũy trong các khoảng xung quanh (hoặc bán xen kẽ) là nhỏ không đáng kể. $a$ $b$

— Itamar
nguồn