Hình học đại số cho thống kê

Tôi đã nghe nói về việc sử dụng Hình học Đại số trong Thống kê và Học máy. Tôi muốn cố gắng tìm hiểu một chút về chủ đề này. Tôi không biết gần như bất cứ điều gì về Hình học đại số, nhưng tôi có nền tảng về toán học và tôi biết về lý thuyết nhóm cơ bản, các trường vòng và một số đại số giao hoán. Câu hỏi của tôi là:

1. Các khái niệm hình học Algebriac là gì tôi nên học được kết nối với các ứng dụng trong Chỉ số / ML (Tôi cho rằng chỉ một phần của những gì thường được dạy trong các khóa học và sách hình học đại số là hữu ích).

2. Bạn có thể giới thiệu một số sách / giấy giới thiệu cho một người có nền tảng của tôi không? Tôi không có nghĩa là sách giáo khoa tiêu chuẩn cho AG nhưng một cái gì đó tập trung vào các khái niệm được sử dụng trong các ứng dụng.

Dưới đây là danh sách các tài liệu tham khảo tiêu chuẩn:

• Drton, Sturmfels và Sullivant, Các bài giảng về Thống kê Đại số
• Pachter, Sturmfels, Đại số thống kê cho sinh học tính toán
• Pistone, Riccomagno, Wynn, Đại số thống kê: Đại số giao hoán tính toán trong thống kê
• Sullivant, thống kê đại số
• Zwiernik, Thống kê bán nguyệt và mô hình cây tiềm ẩn
• Riccomagno, Lịch sử ngắn về thống kê đại số

Dưới đây là danh sách các tài liệu tham khảo liên quan, không trực tiếp giải quyết các số liệu thống kê đại số, mặc dù cung cấp nền tảng về phương pháp được sử dụng cho chủ đề:

• Lauritzen, Mô hình đồ họa
• Lauritzen, Đại số trừu tượng bê tông
• Pearl, Nhân quả: Mô hình, Lý luận và Suy luận
• Cox, Little, O'Shea, lý tưởng, giống và thuật toán: Giới thiệu về hình học đại số tính toán và đại số giao hoán
• Garrity, Belshoff, Boos, et al, Đại số hình học: Cách tiếp cận giải quyết vấn đề
• Sturmfels, giải hệ phương trình đa thức
• Uhler, Hình học của ước tính khả năng tối đa trong các mô hình đồ họa

Trang web của các khóa học về chủ đề, quá khứ và hiện tại:

• Khóa học của giáo sư Sturmfels tại Berkeley
• Khóa học tại TU Berlin
• Hội thảo tại Đại học Freie, Berlin
• Hội nghị tại Đại học Genève
• Hội thảo thống kê đại số Berkeley

Những danh sách này gần như chắc chắn không có nghĩa là toàn diện.

• Sumio Watanabe, Đại số hình học và lý thuyết học thống kê , Nhà xuất bản Đại học Cambridge, Cambridge, UK, 2009.

Chắc chắn sẽ có ảnh hưởng, cuốn sách này đặt nền móng cho việc sử dụng hình học đại số trong lý thuyết học thống kê. Nhiều mô hình thống kê và máy học được sử dụng rộng rãi áp dụng cho khoa học thông tin có một không gian tham số duy nhất: mô hình hỗn hợp, mạng thần kinh, HMM, mạng Bayes và ngữ pháp không ngữ cảnh ngẫu nhiên là những ví dụ chính. Hình học đại số và lý thuyết số ít cung cấp các công cụ cần thiết để nghiên cứu các mô hình không trơn tru như vậy. Bốn công thức chính được thiết lập:

1. hàm khả năng ghi nhật ký có thể được cung cấp một dạng tiêu chuẩn chung sử dụng độ phân giải của các điểm kỳ dị, thậm chí được áp dụng cho các mô hình phức tạp hơn;

2. hành vi tiệm cận của khả năng cận biên hoặc 'bằng chứng' được dựa trên lý thuyết hàm zeta;

3. các phương pháp mới được rút ra để ước tính các lỗi tổng quát hóa trong các ước tính Bayes và Gibbs từ các lỗi huấn luyện;

4. các lỗi tổng quát hóa của khả năng tối đa và một phương pháp posteriori được làm rõ bằng lý thuyết quá trình thực nghiệm trên các giống đại số.