Tại sao thử nghiệm F trong các mô hình tuyến tính Gaussian mạnh nhất?

Đối với mô hình tuyến tính Gaussian trong đó được giả sử nằm trong một số không gian vectơ và có phân phối chuẩn chuẩn trên , thống kê của -test cho trong đó là không gian vectơ, là hàm tăng một đối một của thống kê sai lệch : Làm thế nào chúng ta có thể biết rằng thống kê này cung cấp thử nghiệm mạnh mẽ nhất cho H_0$Y=\mu+\sigma G$$\mu$$W$$G$$\mathbb{R}^n$$F$$H_0\colon\{\mu \in U\}$$U \subset W$H

$$f=\phi\left( 2\log \frac{\sup_{\mu \in W, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)}{\sup_{\mu \in U, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)} \right).$$ $H_0$(có thể sau khi loại bỏ các trường hợp cụ thể bất thường)? Điều này không xuất phát từ định lý Neyman-Pearson bởi vì định lý này khẳng định rằng phép thử tỷ lệ khả năng là mạnh nhất đối với các giả thuyết điểm $H_0\colon\{\mu=\mu_0, \sigma=\sigma_0\}$ và $H_1\colon\{\mu=\mu_1,\sigma=\sigma_1\}$ .

Tôi đã theo dõi câu hỏi này một thời gian, hy vọng rằng ai đó có cái nhìn sâu sắc hơn về lý thuyết kiểm tra cổ điển có thể giải thích tại sao -test không mạnh nhất nói chung giống như @cardinal viết trong một bình luận. Theo quan niệm dân gian, các thử nghiệm mạnh mẽ nhất chỉ có thể thực sự được xây dựng cho các giả thuyết một chiều về các tham số đơn biến, nhưng một nhận xét như vậy không thực sự trả lời câu hỏi.$F$$-$

Ví dụ 5.5 trong Thống kê lý thuyết của Cox và Hinkley cho thấy -test là một thử nghiệm tương tự mạnh mẽ nhất cho một phương tiện đơn biến với phương sai không xác định. Với một tham chiếu đến các kỹ thuật trong Phân tích phương sai của Scheffé, ví dụ tương tự cho rằng test của một giả thuyết về một tham số trong trường hợp đa biến vẫn là một phép thử tương tự mạnh nhất với các tham số còn lại và các tham số là phương sai. Khi hệ số của là 1, -test tương đương với -test.$t$$t$$U$$F$$t$

Ví dụ 5.20, vẫn ở Cox và Hinkley, xem xét ANOVA một chiều. Nó lập luận rằng trong trường hợp có ít nhất ba nhóm, không có thử nghiệm tương tự mạnh nhất về giả thuyết rằng không có sự khác biệt giữa các nhóm. Điều này cung cấp cho các thành phần cho thấy rằng -test không mạnh nhất, vì đối với các lựa chọn thay thế cụ thể, có các tests mạnh hơn . Các -test là, tuy nhiên, thống nhất mạnh mẽ nhất bất biến thử nghiệm.$F$$t$$F$

Vậy thì tương tự và bất biến có nghĩa là gì? Một chuỗi các vùng quan trọng lồng nhau cho các phép thử kích thước được gọi là tương tự nếu xác suất loại bỏ theo giả thuyết là (cho tất cả các lựa chọn có thể có của các tham số phiền toái). Phép thử là bất biến nếu các vùng tới hạn là bất biến dưới một nhóm biến đổi. Đối với ANOVA một chiều, nhóm là một nhóm các phép biến đổi trực giao. Tôi khuyên bạn nên đọc Chương 5 trong Cox và Hinkley để biết thêm chi tiết. Xem thêm Phần 2.10 trong cuốn sách của Scheffé về các thuộc tính tối ưu của -test.$\alpha \in [0,1]$$\alpha$$F$