Xác suất mà một phân phối bình thường với phương sai vô hạn có giá trị lớn hơn giá trị trung bình của nó là gì?

Tôi đã hỏi một cái gì đó tương tự như thế này trong cuộc phỏng vấn ngày hôm nay.

Người phỏng vấn muốn biết xác suất mà một lựa chọn nhiều tiền sẽ kết thúc bằng tiền khi biến động có xu hướng vô cùng.

Tôi đã nói 0% bởi vì các phân phối bình thường dưới mô hình Black-Scholes và giả thuyết đi bộ ngẫu nhiên sẽ có phương sai vô hạn. Và vì vậy tôi đã tìm ra xác suất của tất cả các giá trị sẽ bằng không.

Người phỏng vấn của tôi cho biết câu trả lời đúng là 50% vì phân phối bình thường vẫn sẽ đối xứng và gần như thống nhất. Vì vậy, khi bạn tích hợp từ trung bình đến + vô cùng, bạn nhận được 50%.

Tôi vẫn không bị thuyết phục với lý luận của mình.

Ai đúng?

Cả hai hình thức lý luận đều nghiêm ngặt về mặt toán học - không có phân phối bình thường nào với phương sai vô hạn, cũng không có phân phối giới hạn khi phương sai tăng lên lớn - vì vậy hãy cẩn thận một chút.

Trong mô hình Black-Scholes, giá nhật ký của tài sản cơ sở được giả định là đang trải qua một bước đi ngẫu nhiên. Vấn đề tương đương với việc hỏi "khả năng giá trị (nhật ký) của tài sản tại ngày hết hạn sẽ vượt quá giá trị (nhật ký) hiện tại của nó là bao nhiêu?" Để tăng độ biến động không giới hạn tương đương với việc để ngày hết hạn tăng không giới hạn. Như vậy, câu trả lời sẽ giống như hỏi "giới hạn là gì, như , rằng giá trị của một bước đi ngẫu nhiên vào thời điểm t là lớn hơn giá trị của nó vào thời điểm 0 ?" Bằng cách đối xứng (trao đổi tăng và giảm), và lưu ý rằng trong mô hình liên tục, cơ hội kiếm được tiền là 0 ) những xác suất đó bằng 1 $t \to \infty$$t$$0$$0$ đối với bất kỳ t > 0 , từ đâu giới hạn của họ thực sự tồn tại và bằng 1 / 2 .$1/2$$t \gt 0$$1/2$

$X_1, X_2,\ldots, X_n$$\mu$$\sigma_n$

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)$$\sigma_n\to \infty$

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)=\frac{1}{2}$$\sigma_n$

Theo trực giác, thay vì hình thành phân phối chuẩn phương sai vô hạn, bạn nên tưởng tượng phân phối phương sai hữu hạn và làm việc với các giới hạn của nó.

Bạn nên thực hiện phân tích của mình dựa trên phân phối bình thường nhật ký, không phải phân phối bình thường. Bạn phỏng vấn là sai khi anh ta nói rằng sự phân phối là đối xứng. Nó sẽ không bao giờ, bất kể phương sai. Bạn cũng cần phân biệt giữa biến động và những gì bạn đang gọi là phương sai vô hạn. Ví dụ, giá cổ phiếu không có giới hạn trên, do đó, nó có "phương sai vô hạn".