So sánh phương sai của các quan sát được ghép nối

16

Tôi có quan sát được ghép nối ( , ) được rút ra từ một phân phối chưa biết phổ biến, có các khoảnh khắc thứ nhất và thứ hai hữu hạn, và đối xứng quanh giá trị trung bình. $N$ $X_i$ $Y_i$

Đặt độ lệch chuẩn của (vô điều kiện trên ) và tương tự cho Y. Tôi muốn kiểm tra giả thuyết $\sigma_X$ $X$ $Y$ $\sigma_Y$

$H_0$ : $\sigma_X = \sigma_Y$

$H_1$ : $\sigma_X \neq \sigma_Y$

Có ai biết về một bài kiểm tra như vậy? Tôi có thể giả định trong phân tích đầu tiên rằng phân phối là bình thường, mặc dù trường hợp chung là thú vị hơn. Tôi đang tìm kiếm một giải pháp dạng đóng. Bootstrap luôn là giải pháp cuối cùng.

— vui vẻ
nguồn

3

Tôi không chắc tại sao thông tin mà các quan sát được ghép lại lại quan trọng đối với giả thuyết đang được thử nghiệm; bạn có thể giải thích?

— russellpierce

1

@drknexus điều đó rất quan trọng vì sự phụ thuộc làm cho việc hiệu chỉnh kiểm tra Fisher trở nên khó khăn.

— cướp girard

4

Bạn có thể sử dụng thực tế là phân phối của phương sai mẫu là phân phối vuông chi tập trung ở phương sai thực. Theo giả thuyết khống của bạn, thống kê kiểm tra của bạn sẽ là sự khác biệt của hai phương sai ngẫu nhiên bình phương chi tập trung tại cùng một phương sai thực sự chưa biết. Tôi không biết liệu sự khác biệt của hai biến thiên ngẫu nhiên chi bình phương có phải là một phân phối có thể xác định được hay không nhưng những điều trên có thể giúp bạn ở một mức độ nào đó.

3

@svadali thông thường hơn là sử dụng tỷ lệ ở đây vì phân phối tỷ lệ chi bình phương được lập bảng (F của Fisher). Tuy nhiên, phần có vấn đề của câu hỏi (tức là sự phụ thuộc giữa và ) vẫn còn đó bất cứ điều gì bạn sử dụng. Không đơn giản để xây dựng một bài kiểm tra với hai ô vuông phụ thuộc ... Tôi đã cố gắng đưa ra câu trả lời với một giải pháp về điểm đó (xem bên dưới).

X

$X$

Y

$Y$

— cướp girard

7

Nếu bạn muốn đi xuống tuyến đường không tham số, bạn luôn có thể thử kiểm tra xếp hạng bình phương.

Đối với trường hợp chưa ghép nối, các giả định cho thử nghiệm này (được lấy từ đây ) là:

Cả hai mẫu là mẫu ngẫu nhiên từ các quần thể tương ứng của họ.
Ngoài sự độc lập trong mỗi mẫu còn có sự độc lập lẫn nhau giữa hai mẫu.
Thang đo ít nhất là khoảng thời gian.

Những ghi chú bài giảng mô tả trường hợp không ghép đôi một cách chi tiết.

Đối với trường hợp ghép đôi, bạn sẽ phải thay đổi thủ tục này một chút. Giữa chừng trang này sẽ cho bạn một ý tưởng về nơi bắt đầu.

— csgillespie
nguồn

6

Cách tiếp cận ngây thơ nhất mà tôi có thể nghĩ đến là hồi quy vs là , sau đó thực hiện một -test trên giả thuyết . Xem thử nghiệm t cho độ dốc hồi quy . $Y_i$ $X_i$ $Y_i \sim \hat{m}X_i + \hat{b}$ $t$ $m = 1$

Một cách tiếp cận ít ngây thơ hơn là thử nghiệm Morgan-Pitman. Đặt sau đó thực hiện kiểm tra hệ số tương quan Pearson của so với . (Người ta có thể thực hiện việc này một cách đơn giản bằng cách sử dụng biến đổi Fisher RZ , cung cấp khoảng tin cậy xung quanh hệ số Pearson mẫu hoặc thông qua bootstrap.) $U_i = X_i - Y_i, V_i = X_i + Y_i,$ $U_i$ $V_i$

Nếu bạn đang sử dụng R và không muốn tự mình viết mã mọi thứ, tôi sẽ sử dụng bootdpcitừ gói Thống kê Robust của Wilcox, WRS. (xem trang của Wilcox .)

— shabbychef
nguồn

4

Nếu bạn có thể giả sử tính chuẩn của bivariate, thì bạn có thể phát triển một phép thử tỷ lệ khả năng so sánh hai cấu trúc ma trận hiệp phương sai có thể. Các ước tính khả năng tối đa không bị ràng buộc (H_a) đã được biết đến - chỉ có ma trận hiệp phương sai mẫu, các ước tính ràng buộc (H_0) có thể được lấy bằng cách viết ra khả năng (và có thể sẽ là một loại ước tính "gộp").

Nếu bạn không muốn rút ra các công thức, bạn có thể sử dụng SAS hoặc R để phù hợp với mô hình đo lặp lại với các cấu trúc hiệp phương sai đối xứng và không cấu trúc và so sánh khả năng.

— Aniko
nguồn

3

Khó khăn rõ ràng là do và bị ăn mòn (tôi giả sử là gaussian chung, như Aniko) và bạn không thể tạo ra sự khác biệt (như trong câu trả lời của @ svadali) hoặc tỷ lệ (như trong Standard Fisher-Snedecor "Thử nghiệm F") bởi vì những thứ đó sẽ phụ thuộc vào phân phối và vì bạn không biết sự phụ thuộc này là gì, điều đó gây khó khăn cho việc phân phối theo . $X$ $Y$ $(X,Y)$ $\chi^2$ $H_0$

Câu trả lời của tôi dựa vào phương trình (1) dưới đây. Bởi vì sự khác biệt về phương sai có thể được xác định bằng sự khác biệt về giá trị bản địa và sự khác biệt về góc quay, phép kiểm tra đẳng thức có thể bị từ chối thành hai phép thử. Tôi cho thấy rằng có thể sử dụng Thử nghiệm Fisher-Snedecor cùng với thử nghiệm trên độ dốc như thử nghiệm được đề xuất bởi @shabbychef vì tính chất đơn giản của vectơ 2D.

Fisher-Snedecor Test: Nếu cho IID biến ngẫu nhiên Gaussian với phương sai không thiên vị thực nghiệm và phương sai đúng , sau đó chúng ta có thể kiểm tra nếu bằng cách sử dụng thực tế là, dưới sự null, $i=1,2$ $(Z^i_{1},\dots,Z^i_{n_i} )$ $\hat{\lambda}^2_i$ $\lambda^2_i$ $\lambda_1=\lambda_2$

Nó sử dụng thực tế là

R = \frac{{\hat{λ}}_{X}^{2}}{{\hat{λ}}_{Y}^{2}}

$R=\frac{\hat{\lambda}_X^2}{\hat{\lambda}_Y^2}$

F (n_{1} - 1, n_{2} - 1)

$F(n_1-1,n_2-1)$

R (θ) = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}]

$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}$

λ_{1}, λ_{2} > 0

$\lambda_1,\lambda_2>0$

ϵ_{1}

$\epsilon_1$

ϵ_{2}

$\epsilon_2$

N (0, λ_{i}^{2})

$\mathcal{N}(0,\lambda_i^2)$

[\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}] = R (θ) [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = R(\theta)\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \end{bmatrix}$

V a r (X) - V a r (Y) = (λ_{1}^{2} - λ_{2}^{2}) (\cos^{2} θ - \sin^{2} θ) [1]

$Var(X)-Var(Y)=(\lambda_1^2-\lambda_2^2)(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta) \;\; [1]$

$Var(X)=Var(Y)$ $\lambda_1^2=\lambda_2^2$ $\theta=\pi/4 \; mod \; [\pi/2]$

$\lambda_1^2=\lambda_2^2$ $\theta=\pi/4 [mod \; \pi/2]$ $|\beta_1|=1$ $Y=\beta_1 X+\sigma\epsilon$ $Y$ $X$

$\left ( \lambda_1^2=\lambda_2^2 \text{ or }\theta=\pi/4 [mod \; \pi/2]\right )$ $\alpha$ $\lambda_1^2=\lambda_2^2$ $\alpha/3$ $|\beta_1|=1$ $\alpha/3$

— cướp girard
nguồn