Phân phối lấy mẫu bán kính phân phối chuẩn 2D

Sự phân bố bình thường hai biến với trung bình $\mu$ và phương sai ma trận $\Sigma$ có thể viết lại trong tọa độ cực với bán kính và góc . Câu hỏi của tôi là: Phân phối lấy mẫu của , nghĩa là khoảng cách từ một điểm đến trung tâm ước tính được đưa ra ma trận hiệp phương sai mẫu gì? $r$ $\theta$ $\hat{r}$ $x$ $\bar{x}$ $S$

Bối cảnh: Khoảng cách thực từ một điểm đến trung bình theo phân phối Hoyt . Với giá trị riêng của và , tham số hình dạng của nó là và tham số tỷ lệ của nó là . Hàm phân phối tích lũy được biết là sự khác biệt đối xứng giữa hai hàm Q Marcum. $r$ $x$ $\mu$ $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ $\Sigma$ $\lambda_{1} > \lambda_{2}$ $q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$ $\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$

Mô phỏng cho thấy rằng việc cắm các ước tính và cho và vào cdf thực sự hoạt động đối với các mẫu lớn, nhưng không phải cho các mẫu nhỏ. Sơ đồ sau đây cho thấy kết quả từ 200 lần $\bar{x}$ $S$ $\mu$ $\Sigma$

mô phỏng 20 vectơ thông thường 2D cho mỗi kết hợp của ( -axis), (hàng) và lượng tử (cột) đã cho $q$ $x$ $\omega$
đối với mỗi mẫu, tính toán lượng tử đã cho của bán kính quan sát đến $\hat{r}$ $\bar{x}$
cho mỗi mẫu, tính quantile từ Hoyt lý thuyết (2D bình thường) lũy, và từ lũy Rayleigh lý thuyết sau khi cắm vào dự toán mẫu và . $\bar{x}$ $S$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Khi tiếp cận 1 (phân phối trở thành hình tròn), các lượng tử Hoyt ước tính tiếp cận với các lượng tử Rayleigh ước tính không bị ảnh hưởng bởi . Khi phát triển, sự khác biệt giữa các lượng tử theo kinh nghiệm và các lượng tử ước tính tăng lên, đáng chú ý là ở phần đuôi của phân phối. $q$ $q$ $\omega$

— caracal
nguồn

Câu hỏi là gì?

— Giăng

@ John Tôi nhấn mạnh câu hỏi: "Phân phối lấy mẫu của [radius] , nghĩa là khoảng cách từ một điểm đến tâm ước tính được đưa ra ma trận đối lưu mẫu gì?"

r

$r$

x

$x$

\bar{x}

$\bar{x}$

S

$S$

— caracal

Tại sao

như trái ngược với

\hat{r}

$\hat{r}$

\hat{r^{2}}

$\hat{r^2}$

— Một số

@MathEE

đơn giản chỉ vì các tài liệu tôi biết là có liên quan với sự phân bố của (true)

, không (true)

. Lưu ý rằng điều này không giống với tình huống với khoảng cách Mahalanobis được thảo luận trong câu hỏi này . Tất nhiên, kết quả cho sự phân bố của

sẽ là rất đáng hoan nghênh.

\hat{r}

$\hat{r}$

r

$r$

r^{2}

$r^{2}$

{\hat{r}}^{2}

$\hat{r}^{2}$

— caracal

Như bạn đã đề cập trong bài đăng của mình, chúng tôi biết phân phối ước tính của nếu chúng tôi được đưa ra vì vậy chúng tôi biết phân phối ước tính của thật . $\widehat{r_{true}}$ $\mu$ $\widehat{r^2_{true}}$ $r^2$

Chúng tôi muốn tìm phân phối của trong đóđược biểu thị dưới dạng vectơ cột.

\hat{r^{2}} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (x_{i} - \bar{x})

$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$

x_{i}

$x_i$

Bây giờ chúng ta thực hiện các mẹo tiêu chuẩn

trong đóphát sinh từ phương trình

\begin{array}{rcl} \hat{r_{t r u e}^{2}} & = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{T} (x_{i} - μ) \\ = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x} + \bar{x} - μ)^{T} (x_{i} - \bar{x} + \bar{x} - μ) \\ = & [\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (x_{i} - \bar{x})] + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) (1) \\ = & \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$

(1)

$(1)$

và chuyển vị của nó.

\frac{1}{N} Σ_{Tôi = = 1}^{N} (x_{Tôi} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = = (\bar{x} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = = 0

$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$

Lưu ý rằng là dấu vết của ma trận hiệp phương sai mẫuvàchỉ phụ thuộc duy nhất vào mẫu giá trị trung bình. Do đó, chúng tôi đã viết $\widehat{r^2}$ $S$ $(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$ $\overline{x}$

\hat{r_{t r bạn e}^{2}} = = \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$ là tổng của hai biến ngẫu nhiên độc lập. Chúng ta biết rằng các bản phân phối của

và

và vì vậy chúng tôi đang thực hiện thông qua các trick tiêu chuẩn sử dụng chức năng mà đặc trưng là nhân giống.

\hat{r_{t r u e}^{2}}

$\widehat{r^2_{true}}$

(\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$

Chỉnh sửa để thêm:

là Hoyt vì vậy nó có pdf $||x_i-\mu||$

f (ρ) = = \frac{1 + q^{2}}{q ω} ρ e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ^{2}} {Tôi}_{Ôi} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ^{2})

$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$

I_{0}

$I_0$

0^{t h}

$0^{th}$

$||x_i-\mu||^2$

f (ρ) = = \frac{1}{2} \frac{1 + q^{2}}{q ω} e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ} {Tôi}_{0} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ) .

$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$

$a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$ $b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$ $c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$

$||x_i-\mu||^2$

{\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(S - b)^{2} - {một}^{2}}} & (S - b) > một \\ 0 & khác \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$

$\widehat{r^2_{true}}$

{\begin{cases} \frac{c^{N}}{((S / N - b)^{2} - {một}^{2})^{N / 2}} & (S / N - b) > một \\ 0 & khác \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

| | \bar{x} - μ | |^{2}

$||\overline{x} - \mu||^2$

{\begin{cases} \frac{N c}{\sqrt{(S - N b)^{2} - (N một)^{2}}} = = \frac{c}{\sqrt{(S / N - b)^{2} - {một}^{2}}} & (S / N - b) > một \\ 0 & khác \end{cases}

$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$

$\widehat{r^2}$

{\begin{cases} \frac{c^{N - 1}}{((S / N - b)^{2} - {một}^{2})^{(N - 1) / 2}} & (S / N - b) > một \\ 0 & khác . \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$

$\widehat{r^2}$

g (ρ) = = \frac{\sqrt{π} N c^{N - 1}}{Γ (\frac{N - 1}{2})} {(\frac{2 Tôi một}{N ρ})}^{(2 - N) / 2} e^{b N ρ} J_{N / 2 - 1} (Tôi một N ρ) .

$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$

— Một số
nguồn

Cảm ơn bạn! Tôi sẽ phải tìm hiểu chi tiết trước khi chấp nhận.

— caracal

\hat{r_{true}^{2}} \sim Hoyt

$\widehat{r^{2}_{\text{true}}} \sim \text{Hoyt}$

| | \bar{x} - μ | |^{2} \sim N (0, \frac{1}{N} Σ)

$||\bar{x}-\mu||^{2} \sim \mathcal{N}(0, \frac{1}{N}\Sigma)$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

Σ

$\Sigma$

t

$t$

Tôi đã chỉnh sửa câu trả lời của mình cho câu trả lời đầy đủ. Xin vui lòng cho tôi biết nếu bạn đồng ý.

— Một số

Σ

$\Sigma$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^2}$

S

$S$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} S^{- 1} (x_{i} - \bar{x})

$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T S^{-1}(x_i-\overline{x})$

1

$1$

| | x_{i} - μ | |^{2}

$||x_{i}-\mu||^{2}$

r^{2}

$r^{2}$

Γ (q, \frac{ω}{q})

$\Gamma(q, \frac{\omega}{q})$

Γ

$\Gamma$