Các ví dụ đơn giản về và không tương quan

Bất kỳ sinh viên chăm chỉ nào cũng là một ví dụ cho "tất cả các sinh viên lười biếng".

Một số mẫu đơn giản để "nếu các biến ngẫu nhiên và không tương thích thì chúng độc lập" là gì?$X$$Y$

Đặt .$X\sim U(-1,1)$

Đặt .$Y=X^2$

Các biến là không tương quan nhưng phụ thuộc.

Ngoài ra, hãy xem xét phân phối bivariate rời rạc bao gồm xác suất tại 3 điểm (-1,1), (0, -1), (1,1) với xác suất lần lượt là 1/4, 1/2, 1/4. Sau đó, các biến là không tương quan nhưng phụ thuộc.

Xem xét đồng phục dữ liệu bivariate trong một viên kim cương (một hình vuông xoay 45 độ). Các biến sẽ không tương quan nhưng phụ thuộc.

Đó là về những trường hợp đơn giản nhất mà tôi có thể nghĩ ra.

Tôi nghĩ rằng bản chất của một số mẫu đơn giản có thể được nhìn thấy bằng cách bắt đầu với một biến ngẫu nhiên liên tục tập trung vào số không, tức là . Giả sử pdf của là chẵn và được xác định trên một khoảng của biểu mẫu , trong đó . Bây giờ giả sử cho một số hàm . Bây giờ chúng ta đặt câu hỏi: đối với loại hàm nào chúng ta có thể có ?E [ X ] = 0 X ( - a , a ) a > 0 Y = f ( X ) f f ( X ) C o v ( X , f ( X ) ) = $X$$E[X]=0$$X$$(-a,a)$$a>0$$Y=f(X)$$f$$f(X)$$Cov(X,f(X))=0$

Chúng ta biết rằng . Giả định của chúng tôi rằng dẫn chúng tôi thẳng đến . Biểu thị pdf của thông qua , chúng ta cóE [ X ] = 0 C o v ( X , f ( X ) ) = E [ X f ( X ) ] X p $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$$E[X]=0$$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$$X$$p(\cdot)$

$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$ .

Chúng tôi muốn và một cách để đạt được điều này là đảm bảo là hàm chẵn, hàm ý là một hàm lẻ. Sau đó, nó theo sau , và do đó .f ( x ) x f ( x ) p ( x ) ∫ a - a x f ( x ) p ( x ) d x = 0 C o v ( X , f ( X ) ) = $Cov(X,f(X))=0$$f(x)$$xf(x)p(x)$$\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$$Cov(X,f(X))=0$

Bằng cách này, chúng ta có thể thấy rằng sự phân bố chính xác của là không quan trọng như dọc như pdf là đối xứng xung quanh một số điểm và bất kỳ chức năng thậm chí sẽ làm cho việc xác định .f ( ⋅ ) $X$$f(\cdot)$$Y$

Hy vọng rằng, điều này có thể giúp sinh viên thấy được cách mọi người tìm ra các loại phản mẫu này.

Hãy là người mẫu mực (tức là sinh viên chăm chỉ)! Với câu nói đó:

Tôi đã cố gắng nghĩ về một ví dụ trong thế giới thực và đây là lần đầu tiên tôi nghĩ đến. Đây sẽ không phải là trường hợp đơn giản nhất về mặt toán học (nhưng nếu bạn hiểu ví dụ này, bạn sẽ có thể tìm thấy một ví dụ đơn giản hơn với bình và quả bóng hoặc một cái gì đó).

Theo một số nghiên cứu, chỉ số IQ trung bình của nam và nữ là như nhau, nhưng phương sai của IQ nam lớn hơn phương sai của IQ nữ. Để cụ thể, giả sử rằng IQ nam theo và IQ nữ theo với . Một nửa dân số là nam và một nửa dân số là nữ.N ( 100 , α σ 2 ) α < $N(100, \sigma^2)$$N(100, \alpha \sigma^2)$$\alpha<1$

Giả sử rằng nghiên cứu này là chính xác:

Sự tương quan của giới tính và IQ là gì?

Giới tính và IQ có độc lập không?

Chúng ta có thể định nghĩa một biến ngẫu nhiên rời rạc vớiP ( X = - 1 ) = P ( X = 0 ) = P ( X = 1 ) = $X\in\{-1,0,1\}$$\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

và sau đó xác định$Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

Có thể dễ dàng xác minh rằng và không tương quan nhưng không độc lập.$X$$Y$

Hãy thử điều này (mã R):

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

Đây là từ phương trình của đường tròn$x^2+y^2-r^2=0$

$Y$ không tương quan với , nhưng nó phụ thuộc chức năng (xác định). $x$

Trường hợp chung duy nhất khi thiếu tương quan hàm ý sự độc lập là khi phân phối chung của X và Y là Gaussian.

Một câu trả lời có hai câu: trường hợp rõ ràng nhất về sự phụ thuộc thống kê không tương quan là một hàm phi tuyến tính của RV, giả sử Y = X ^ n. Hai RV rõ ràng phụ thuộc nhưng không tương quan, bởi vì tương quan là mối quan hệ tuyến tính.