Việc tính toán xác suất bảo hiểm thực tế có phải là điều giống như tính toán một khoảng thời gian đáng tin cậy hay không?

9

Tôi đã đọc một cuốn sách giáo khoa thống kê cấp. Trong chương về ước tính khả năng tối đa của tỷ lệ thành công trong dữ liệu với phân phối nhị thức, nó đã đưa ra một công thức để tính khoảng tin cậy và sau đó được đề cập một cách vô tư

Xem xét xác suất bao phủ thực tế của nó, nghĩa là xác suất mà phương thức tạo ra một khoảng thời gian nắm bắt giá trị tham số thực. Giá trị này có thể thấp hơn một chút so với giá trị danh nghĩa.

Và tiếp tục với một gợi ý để xây dựng một "khoảng tin cậy" thay thế, có lẽ chứa xác suất bảo hiểm thực tế.

Tôi đã phải đối mặt với ý tưởng về xác suất bảo hiểm danh nghĩa và thực tế lần đầu tiên. Tìm hiểu những câu hỏi cũ ở đây, tôi nghĩ rằng tôi đã hiểu về nó: có hai khái niệm khác nhau mà chúng ta gọi là xác suất, đầu tiên là khả năng xảy ra là một sự kiện chưa xảy ra sẽ tạo ra kết quả nhất định và thứ hai là làm thế nào có thể xảy ra là dự đoán của một tác nhân quan sát cho kết quả của một sự kiện đã xảy ra là đúng. Dường như các khoảng tin cậy chỉ đo loại xác suất đầu tiên và một thứ gọi là "khoảng tin cậy" đo lường loại xác suất thứ hai. Tôi cuối cùng giả định rằng khoảng tin cậy là những khoảng tính toán "xác suất bảo hiểm danh nghĩa" và khoảng tin cậy là những khoảng bao gồm "xác suất bảo hiểm thực tế".

Nhưng có lẽ tôi đã hiểu sai về cuốn sách (nó không hoàn toàn rõ ràng về việc các phương pháp tính toán khác nhau mà nó đưa ra là cho khoảng tin cậy và khoảng tin cậy hay cho hai loại khoảng tin cậy khác nhau), hoặc các nguồn khác mà tôi đã sử dụng sự hiểu biết hiện tại của tôi. Đặc biệt là một bình luận mà tôi nhận được về một câu hỏi khác,

Khoảng tin cậy cho người thường xuyên, đáng tin cậy cho Bayes

làm tôi nghi ngờ kết luận của mình, vì cuốn sách không mô tả một phương pháp Bayes trong chương đó.

Vì vậy, xin vui lòng làm rõ nếu sự hiểu biết của tôi là chính xác, hoặc nếu tôi đã có một lỗi logic trên đường đi.

confidence-interval terminology coverage-probability

— rumtscho
nguồn

Xác suất bảo hiểm danh nghĩa là xác suất bảo hiểm "mục tiêu": xác suất chúng tôi cố gắng đạt được khi chúng tôi rút ra một phương pháp cung cấp khoảng tin cậy. Phạm vi bảo hiểm thực tế là bảo hiểm "thật". Một số người nói rằng khoảng tin cậy là chính xác khi phạm vi bảo hiểm thực tế bằng với phạm vi bảo hiểm danh nghĩa. Scotchi và Unwisdom đã đề cập rằng khoảng tin cậy không bao giờ chính xác cho dữ liệu rời rạc. Một ví dụ khác là khi chúng ta sử dụng khoảng tin cậy tiệm cận: nó chỉ chính xác khi . Tôi hoàn toàn hiểu ý tưởng của bạn bởi vì "thực tế" cũng là một từ đồng nghĩa của "hiện tại".

n \to \infty

$n \to \infty$

— Stéphane Laurent

4

Nói chung, xác suất bảo hiểm thực tế sẽ không bao giờ bằng xác suất danh nghĩa khi bạn đang làm việc với một phân phối rời rạc.

Khoảng tin cậy được định nghĩa là một hàm của dữ liệu. Nếu bạn đang làm việc với phân phối nhị thức, chỉ có nhiều kết quả có thể có ( chính xác là ), do đó, chỉ có nhiều khoảng tin cậy có thể có. Vì tham số là liên tục, nên rất dễ thấy rằng xác suất bao phủ (là hàm của ) không thể làm tốt hơn khoảng 95% (hoặc bất cứ điều gì). $n+1$ $p$ $p$

Nhìn chung, các phương pháp dựa trên CLT sẽ có xác suất bao phủ dưới giá trị danh nghĩa, nhưng các phương pháp khác thực sự có thể bảo thủ hơn.

— Vô đạo đức
nguồn

1

⟨ Ω, F, P ⟩

$\langle\Omega,\mathcal{F},P\rangle$

θ

$\theta$

1 - α

$1-\alpha$

L \leq U : Ω \to R

$L\leq U:\Omega\to\mathbb{R}$

Phía bên trái của biểu thức này là

(lưu ý rằng điều này phụ thuộc vào θ) và RHS làmức độ tin cậy danh nghĩa. Nếu mức tối đa (trên

) của LHS bằng với RHS thì quy trình này làchính xác.

P [{ω \in Ω | [L (ω), U (ω)] ∋ θ}] \approx 1 - α .

$P\big[\left\{\omega\in\Omega\vert [L(\omega),U(\omega)]\ni\theta\right\}\big]\approx 1-\alpha.$

coverage probability

$\textit{coverage probability}$

Ω

$\Omega$

— Unwisdom

8

$\pi$ $\pi=\pi_1$ $\pi=\pi_2$ $\pi$

$x$ $n$ $\pi$

\begin{array}{ccc} x & π_{U} & Pr (X = x | π = 0.7) & I (π_{U} \leq 0.7) \\ 0 & 0.3930378 & 0.000729 & 0 \\ 1 & 0.5818034 & 0.010206 & 0 \\ 2 & 0.7286616 & 0.059535 & 1 \\ 3 & 0.8468389 & 0.185220 & 1 \\ 4 & 0.9371501 & 0.324135 & 1 \\ 5 & 0.9914876 & 0.302526 & 1 \\ 6 & 1.0000000 & 0.117649 & 1 \end{array}

$\begin{array}{c,c,c} x & \pi_\mathrm{U} & \Pr(X= x | \pi=0.7) & I(\pi_\mathrm{U}\leq 0.7)\\ 0 & 0.3930378 & 0.000729 & 0\\ 1 & 0.5818034 & 0.010206 & 0\\ 2 & 0.7286616 & 0.059535 & 1\\ 3 & 0.8468389 & 0.185220 & 1\\ 4 & 0.9371501 & 0.324135 & 1\\ 5 & 0.9914876 & 0.302526 & 1\\ 6 & 1.0000000 & 0.117649 & 1\\ \end{array}$

x

$x$

95 %

$95\%$

π_{U} = π : [Pr (X > x | π) = 0.95]

$\pi_\mathrm{U} =\pi: [\Pr(X>x | \pi)=0.95]$

π = 0.7

$\pi=0.7$

x

$x$ theo giả định này; phần thứ tư cho thấy trường hợp nào khoảng tin cậy được tính bao gồm giá trị tham số thực, đánh dấu chúng bằng . Nếu bạn cộng các xác suất cho các trường hợp trong đó khoảng tin cậy sẽ bao gồm giá trị thực bạn có được bảo hiểm thực tế, . Đối với các giá trị thực khác nhau của , phạm vi bảo hiểm thực tế sẽ khác nhau:

1

$1$

0.989065

$0.989065$

π

$\pi$

bảo hiểm

Phạm vi bảo hiểm danh nghĩa chỉ đạt được khi các giá trị tham số thực trùng khớp với giới hạn trên có thể đạt được.

[Tôi vừa đọc lại câu hỏi của bạn & nhận thấy rằng tác giả nói rằng thực tế có thể ít hơn xác suất bảo hiểm danh nghĩa. Vì vậy, tôi cho rằng họ đang nói về một phương pháp gần đúng để tính khoảng tin cậy, mặc dù những gì tôi đã nói ở trên vẫn còn. Biểu đồ có thể đề xuất báo cáo mức độ tin cậy trung bình khoảng nhưng trung bình trên giá trị của một tham số chưa biết?] $98\%$

Chính xác theo nghĩa là phạm vi bảo hiểm thực tế không bao giờ nhỏ hơn phạm vi bảo hiểm danh nghĩa cho bất kỳ giá trị nào của , và bằng với một số giá trị của ý nghĩa của - @ Unwisdom, không phải của @ Stephane. $\pi$ $\pi$

Tất nhiên các khoảng với giới hạn trên & dưới thường được sử dụng phổ biến hơn; nhưng phức tạp hơn một chút để giải thích, và chỉ có một khoảng chính xác để xem xét chỉ với một giới hạn trên. (Xem Blaker (2000), "Đường cong niềm tin và cải thiện khoảng tin cậy chính xác cho các phân phối rời rạc", Tạp chí Thống kê Canada , 28 , 4 và các tài liệu tham khảo.)

— Scortchi - Tái lập Monica
nguồn

Cảm ơn vì đã trả lời. Bây giờ tôi đã biết xác suất bảo hiểm thực tế là gì, bạn có đoán được tại sao người dùng trong câu hỏi này được gửi đến các câu hỏi giải thích sự khác biệt giữa khoảng tin cậy và độ tin cậy không? Đây là nơi tôi có ý tưởng rằng thăm dò bảo hiểm thực tế / danh nghĩa. nhị nguyên có liên quan. stats.stackexchange.com/questions/63922/ hy

— rumtscho

Có lẽ bởi vì OP chỉ đưa ra một liên kết đến nơi mà anh ta đã thấy các thuật ngữ "danh nghĩa" & "thực tế" (chứ không phải là tóm tắt hoặc trích dẫn từ nó trong câu hỏi như bạn đã làm), và sau đó dành phần còn lại của câu hỏi của anh ta để giải thích sai về họ sử dụng trong bối cảnh đó.

— Scortchi - Phục hồi Monica

1

Tôi nghĩ rằng sự khác biệt thực sự là về việc sử dụng các xấp xỉ được thực hiện khi tính toán khoảng tin cậy. Ví dụ: nếu chúng ta sử dụng CI khá chuẩn của

estimate \pm 1.96 \times estimated standard error

$\text{estimate}\pm 1.96 \times \text {estimated standard error}$

Chúng tôi có thể gọi đây là "khoảng tin cậy 95%". Tuy nhiên, có phải thường là một số xấp xỉ được thực hiện ở đây. Nếu chúng ta không thực hiện các xấp xỉ, thì chúng ta có thể tính toán phạm vi bảo hiểm thực tế. Một tình huống điển hình là theo ước tính lỗi tiêu chuẩn. Sau đó, các khoảng quá hẹp để nắm bắt giá trị thực với xác suất 95%. Họ chỉ có thể nắm bắt giá trị thực với xác suất 85%. Xác suất "độ bao phủ thực tế" có thể được tính bằng cách sử dụng mô phỏng monte carlo của một số loại (ví dụ: tạo bộ dữ liệu mẫu bằng cách sử dụng giá trị thực được chọn, sau đó tính 95% CI cho mỗi loại và thấy rằng thực sự chứa giá trị thực). $1000$ $850$

— xác suất
nguồn