Tại sao ( bị kiểm duyệt)

Trong một vấn đề đặt ra, tôi đã chứng minh "bổ đề" này, kết quả không trực quan với tôi. là một phân phối chuẩn thông thường trong một mô hình bị kiểm duyệt. $Z$

Chính thức, và . Sau đó, Vì vậy, có một số loại kết nối giữa công thức kỳ vọng trên một miền bị cắt cụt và mật độ tại điểm cắt . Bất cứ ai có thể giải thích trực giác đằng sau này? $Z^* \sim Norm(0, \sigma^2)$ $Z = max(Z^*, c)$

\begin{aligned} E [Z | Z > c] & = \int_{c}^{\infty} z_{i} ϕ (z_{i}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{c}^{\infty} z_{i} \exp (\frac{- 1}{2} z_{i}^{2}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (\frac{- 1}{2} c^{2}) (Integration by substitution) \\ = ϕ (c) \end{aligned}

$\begin{align} E[Z|Z>c] &= \int_c^\infty z_i \phi({z_i})\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_c^\infty z_i \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}z_i^2\bigg)\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}c^2\bigg) \quad\quad\quad\quad\text{ (Integration by substitution)}\\ &= \phi(c) \end{align}$

(c)

$(c)$

normal-distribution pdf intuition

— Heisenberg
nguồn

Điều đó chỉ ra rằng cách đó là hệ quả của thực tế là thuật ngữ là phủ định của đạo hàm của số hạng trong số mũ; đó là một trong nhiều kết quả gọn gàng cho tiêu chuẩn thông thường nhưng nó không nhất thiết phải có trực giác đằng sau nó. Mặt khác, điều đó sẽ không làm tôi ngạc nhiên chút nào nếu một trong những người thông minh ở đây có thể đưa ra một loại trực giác nào đó cho nó.

z

$z$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b Điều bạn đang nói là trong đó là PDF của bất kỳ phân phối liên tục

\int_{c}^{\infty} (- \frac{d}{d z} \log (f (z))) f (z) d z = - \int_{c}^{\infty} f^{'} (z) d z = f (c)

$\int_c^\infty \left(-\frac{d}{dz}\log(f(z))\right) f(z) dz = -\int_c^\infty f^\prime(z)dz = f(c)$

f

$f$

F .

$F.$

— whuber

@whuber Đó chắc chắn là trường hợp đó, và đáng để nhấn mạnh kết quả đó, vì nó liên quan trực tiếp đến kết quả trong câu hỏi, nhưng thực sự trong nhận xét của tôi, tôi đã đề cập cụ thể đến trường hợp thuật ngữ đầu tiên trong số đó là (vì thuật ngữ này " công thức kỳ vọng "là trong câu hỏi, tôi lấy nó là về , đặc trưng cho bình thường.

z

$z$

E (Z | Z > c)

$E(Z|Z>c)$

— Glen_b -Reinstate Monica

(ít nhất là đến hằng số nhân rõ ràng, về kỳ vọng có điều kiện đó). Tuy nhiên, cho cụ thể có lẽ đáng để thảo luận trong câu trả lời.

E (g (Z) | Z > c)

$E(g(Z)|Z>c)$

g = - \frac{d}{d z} l o g f

$g=-\frac{d}{dz}log f$

— Glen_b -Reinstate Monica

Chỉnh sửa mới nhất của bạn yêu cầu một bằng chứng (hoặc giải thích trực quan) về một tuyên bố không chính xác. Các điều kiện mật độ lạnh trên là và giá trị mong đợi có điều kiện là do đó và không phải những gì bạn có trong tiêu đề sửa đổi của mình.

Z \sim N (0, 1)

$Z \sim N(0,1)$

Z > c

$Z > c$

\frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} 1_{{z : z > c}}

$\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\mathbf 1_{\{z\colon z > c\}}$

E [Z ∣ Z > c] = \int_{c}^{\infty} z \frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} d z = \frac{1}{1 - Φ (c)} \int_{c}^{\infty} z ϕ (z) d z

$E[Z\mid Z > c] = \int_c^{\infty}z\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\,\mathrm dz = \frac{1}{1-\Phi(c)}\int_c^{\infty}z\phi(z)\,\mathrm dz$

— Dilip Sarwate

Định lý cơ bản của Giải tích sẽ làm việc với bạn như một trực giác?

Đặt biểu thị hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn thông thường. Khi đó, đạo hàm là . Định lý cơ bản của Tính toán sau đó cho chúng ta rằng trong đó tích phân thứ hai thu được khi thay thế và sử dụng thực tế là và người thứ ba khi lưu ý rằng . Hoặc, viết tích phân thứ hai dưới dạng tích phân từ đến $\phi(x)$ $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\phi(x) = -x\phi(x)$

ϕ (x) = \int_{- \infty}^{x} - t ϕ (t) d t = \int_{- x}^{\infty} u ϕ (u) d u = \int_{x}^{\infty} u ϕ (u) d u

$\phi(x) = \int_{-\infty}^x -t\phi(t)\,\mathrm dt = \int_{-x}^\infty u\phi(u)\,\mathrm du = \int_x^\infty u\phi(u)\,\mathrm du$

u = - t

$u = -t$

ϕ (- u) = ϕ (u)

$\phi(-u) = \phi(u)$

ϕ (- x) = ϕ (x)

$\phi(-x) = \phi(x)$

- x

$-x$

+ x

$+x$ cộng với tích phân từ đến và lưu ý rằng việc tích hợp một hàm lẻ từ đến dẫn đến .

+ x

$+x$

\infty

$\infty$

- x

$-x$

+ x

$+x$

0

$0$

— Dilip Sarwate
nguồn