Liệu hình học vi phân có liên quan gì đến thống kê?

Tôi đang làm chủ trong thống kê và tôi được khuyên nên học hình học vi phân. Tôi sẽ vui hơn khi nghe về các ứng dụng thống kê cho hình học vi phân vì điều này sẽ khiến tôi có động lực. Có ai tình cờ biết các ứng dụng cho hình học vi phân trong thống kê?

Hai cuốn sách kinh điển về chủ đề này, với các đánh giá, sau đó là hai tài liệu tham khảo khác:

• Hình học và thống kê khác biệt , MK Murray, JW Rice

  Kể từ khi Rao được giới thiệu vào năm 1945 về số liệu thông tin của Fisher về một họ phân phối xác suất, đã có sự quan tâm của các nhà thống kê trong việc áp dụng hình học vi phân vào thống kê. Sự quan tâm này đã tăng lên nhanh chóng trong vài thập kỷ qua với công việc của một số lượng lớn các nhà nghiên cứu. Cho đến nay, một trở ngại cho việc truyền bá những ý tưởng này vào cộng đồng thống kê rộng hơn là thiếu một văn bản phù hợp giới thiệu cách tiếp cận tự do phối hợp hiện đại với hình học vi phân theo cách mà các nhà thống kê có thể tiếp cận. Cuốn sách này nhằm lấp đầy khoảng trống này. Các tác giả mang đến cho cuốn sách kinh nghiệm nghiên cứu sâu rộng về hình học vi phân và ứng dụng của nó để thống kê. Cuốn sách bắt đầu với việc nghiên cứu các đa tạp đơn giản nhất - không gian affine và sự liên quan của chúng với các gia đình hàm mũ và chuyển sang lý thuyết chung, số liệu thông tin Fisher, kết nối Amari và tiệm cận. Nó đạt đến đỉnh cao trong lý thuyết về các gói vectơ, bó nguyên lý và máy bay phản lực và ứng dụng của chúng vào lý thuyết dây - một chủ đề hiện nay là tiên tiến trong nghiên cứu về thống kê và hình học vi phân.

• Phương pháp hình học thông tin , S.-I. Amari, H. Nagaoka

  Hình học thông tin cung cấp cho các ngành khoa học toán học với một khung phân tích mới. Nó đã xuất hiện từ việc điều tra cấu trúc hình học vi phân tự nhiên trên các đa tạp phân phối xác suất, bao gồm một số liệu Riemannian được xác định bởi thông tin Fisher và một họ các kết nối affine được gọi là các kết nối . Tính hai mặt giữa kết nối α và ( - α $\alpha$$\alpha$$(-\alpha)$-Kết nối cùng với số liệu đóng một vai trò thiết yếu trong hình học này. Loại đối ngẫu này, xuất hiện từ đa dạng của phân phối xác suất, có mặt khắp nơi, xuất hiện trong một loạt các vấn đề có thể không liên quan rõ ràng đến lý thuyết xác suất. Thông qua tính đối ngẫu, có thể phân tích các vấn đề cơ bản khác nhau trong một quan điểm thống nhất. Nửa đầu của cuốn sách này được dành cho phần giới thiệu toàn diện về nền tảng toán học của hình học thông tin, bao gồm sơ bộ từ hình học vi phân, hình học của đa tạp hoặc phân phối xác suất và lý thuyết chung về kết nối affine kép. Nửa sau của văn bản cung cấp tổng quan về nhiều lĩnh vực ứng dụng, chẳng hạn như thống kê, hệ thống tuyến tính, lý thuyết thông tin, cơ học lượng tử, phân tích lồi, mạng lưới thần kinh, và hình học vi phân affine. Cuốn sách có thể phục vụ như một văn bản phù hợp cho một khóa học chủ đề cho sinh viên đại học và sinh viên cao học.

• Hình học vi phân trong suy luận thống kê , S.-I. Amari, OE Barndorff-Nielsen, RE Kass, SL Lauritzen và CR Rao, IMS Bài giảng Ghi chú Monogr. Ser. Tập 10, 1987, 240 tr.

• Vai trò của hình học khác biệt trong lý thuyết thống kê , OE Barndorff-Nielsen, DR Cox và N. Reid, Đánh giá thống kê quốc tế / Revue Internationale de Statistique, Vol. 54, số 1 (tháng 4 năm 1986), trang 83-96

Hình học Riemannian được sử dụng trong nghiên cứu các trường ngẫu nhiên (khái quát hóa các quá trình ngẫu nhiên), trong đó quá trình không phải đứng yên. Tài liệu tham khảo tôi đang nghiên cứu được đưa ra dưới đây với hai đánh giá. Có các ứng dụng trong hải dương học, vật lý thiên văn và hình ảnh não.

Trường ngẫu nhiên và Hình học , Adler, RJ, Taylor, Jonathan E.

http://www.springer.com/us/book/9780387481128#therversion=9781441923691

Nhận xét:

$f$$\Bbb{P}\{\sup_{t\in M}f(t)\ge u\}$$M$là các đa tạp phân tầng Riemannian, và cách tiếp cận của chúng có bản chất hình học. Cuốn sách được chia thành ba phần. Phần I dành cho việc trình bày các công cụ cần thiết của các quá trình và trường Gaussian. Phần II trình bày chính xác các điều kiện tiên quyết cần thiết của hình học tích phân và vi phân. Cuối cùng, trong phần III, hạt nhân của cuốn sách, một công thức cho kỳ vọng về chức năng đặc trưng Euler của một bộ chuyến tham quan và gần đúng với phân bố cực đại của trường, được thiết lập chính xác. Cuốn sách được viết theo phong cách không chính thức, mang đến một cách đọc rất dễ chịu. Mỗi chương bắt đầu bằng một bài trình bày về các vấn đề cần giải quyết, và các chú thích, nằm trong toàn bộ văn bản, đóng vai trò là phần bổ sung không thể thiếu và nhiều lần là tài liệu tham khảo lịch sử.

"Cuốn sách này trình bày lý thuyết hiện đại về xác suất du ngoạn và hình học của các bộ chuyến tham quan cho các trường ngẫu nhiên được xác định trên đa tạp. ... Cuốn sách này có thể hiểu được đối với học sinh, với một nền tảng tốt trong phân tích. ... Bản chất liên ngành của cuốn sách này , vẻ đẹp và chiều sâu của lý thuyết toán học được trình bày làm cho nó trở thành một phần không thể thiếu trong mỗi thư viện toán học và là giá sách của tất cả các nhà xác suất quan tâm đến các quy trình Gaussian, các trường ngẫu nhiên và các ứng dụng thống kê của họ. " (Ilya S. Molchanov, Zentralblatt MATH, Tập 1149, 2008)

Một lĩnh vực thống kê / toán học ứng dụng trong đó hình học vi phân được sử dụng một cách thiết yếu (cùng với rất nhiều lĩnh vực khác của toán học!) Là lý thuyết mẫu . Bạn có thể xem cuốn sách của Ulf Grenander: https://www.amazon.com/Potype- Theory-Repftimeation-Inference-Eur Cinc / dp / 0199297061 / ref = asap_bc? I = DIF8 hoặc văn bản dễ tiếp cận hơn bởi David Mumford (một các lĩnh vực chiến thắng huy chương không kém): https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Mathematics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_img_2?_encoding=UTF8&pd_rd_i=1568815794&pd_rd_r=Q40ESHME10ZPC7XYVT59&pd_rd_w=fBcaR&pd_rd_wg = LIesY & psc = 1 & refRID = Q40ESHME10ZPC7XYVT59

Từ lời nói đầu của văn bản cuối cùng:

Thuật ngữ mô hình hóa thuật ngữ Giới hạn được đặt ra bởi Ulf Grenander để phân biệt cách tiếp cận của ông đối với việc phân tích các cấu trúc khuôn mẫu trên thế giới với nhận dạng mô hình., Trong cuốn sách này, chúng tôi sử dụng nó theo nghĩa khá rộng để bao gồm các phương pháp thống kê được sử dụng trong phân tích tất cả các tín hiệu của người Viking được tạo ra bởi thế giới, cho dù chúng là hình ảnh, âm thanh, văn bản viết, chuỗi DNA hoặc chuỗi protein, tăng vọt trong các nơ-ron thần kinh, hoặc chuỗi thời gian của giá cả hoặc thời tiết; các ví dụ từ tất cả những điều này xuất hiện hoặc trong cuốn sách Các yếu tố lý thuyết mẫu của 94 [hoặc] trong công việc của các đồng nghiệp, cộng tác viên và sinh viên của chúng tôi về lý thuyết mẫu.

Một ví dụ trong đó hình học vi phân được sử dụng là cho các mô hình khuôn mặt.

Cố gắng trả lời câu hỏi (trong phần bình luận) của @whuber, hãy xem chương 16 của cuốn sách Grenander, với tiêu đề "giải phẫu tính toán". Có đa tạp được sử dụng để đại diện cho các bộ phận khác nhau của giải phẫu người (như lò sưởi), và các dị nguyên được sử dụng để biểu thị những thay đổi của các đa tạp giải phẫu này, cho phép so sánh, mô hình hóa sự tăng trưởng, mô hình hóa hành động của một số bệnh. Ý tưởng này có thể được truy nguyên từ chuyên luận hoành tráng của D'Arcy Thompson "về sự tăng trưởng và hình thức" từ năm 1917!

Grenander tiếp tục trích dẫn từ chuyên luận đó:

Trong một phần rất lớn của hình thái học, nhiệm vụ thiết yếu của chúng ta nằm ở việc so sánh các hình thức liên quan hơn là định nghĩa chính xác của mỗi hình thức; và biến dạng của một hình phức tạp có thể là một hiện tượng dễ hiểu, mặc dù bản thân hình có thể phải được giải mã và không xác định. Quá trình so sánh này, nhận ra dưới dạng một sự hoán vị hoặc biến dạng nhất định của một dạng khác, hoàn toàn tách biệt với sự hiểu biết chính xác và đầy đủ về loại hình gốc hoặc tiêu chuẩn so sánh, nằm trong tỉnh toán học ngay lập tức và tìm ra giải pháp của nó trong sử dụng cơ bản của một phương pháp nhất định của nhà toán học. Phương pháp này là Phương pháp tọa độ, dựa trên Lý thuyết biến đổi.

Ví dụ nổi tiếng nhất về ý tưởng này là khi một đứa trẻ biến mất, cách đây ba năm, và một người công bố một số hình ảnh khuôn mặt của anh ta, biến đổi (thường sử dụng spline), giống như ngày nay.