Kiểm tra thống kê cho hai bản phân phối chỉ biết tóm tắt 5 số

Tôi có hai bản phân phối trong đó chỉ có bản tóm tắt 5 số (tối thiểu, phần tư thứ nhất, trung vị, phần tư thứ ba, tối đa) và kích thước mẫu được biết đến. Cntrary cho câu hỏi ở đây , không phải tất cả các điểm dữ liệu có sẵn.

Có bất kỳ kiểm tra thống kê phi tham số nào cho phép tôi kiểm tra xem các phân phối cơ bản của hai có khác nhau không?

Cảm ơn!

distributions nonparametric

— bonifaz
nguồn

Câu trả lời:

Theo giả thuyết khống rằng các phân phối là như nhau và cả hai mẫu được lấy ngẫu nhiên và độc lập với phân phối chung, chúng ta có thể tìm ra kích thước của tất cả các phép thử (xác định) có thể được thực hiện bằng cách so sánh giá trị một chữ cái này với giá trị khác . Một số thử nghiệm này dường như có sức mạnh hợp lý để phát hiện sự khác biệt trong phân phối. $5\times 5$

Phân tích

Định nghĩa ban đầu về tóm tắt bản của bất kỳ lô số nào được đặt hàng là như sau [Tukey EDA 1977]: $5$ $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n$

Với mọi số trong xác định $m = (i + (i+1))/2$ $\{(1+2)/2, (2+3)/2, \ldots, (n-1+n)/2\}$ $x_m = (x_i + x_{i+1})/2.$
Đặt . $\bar{i} = n+1-i$
Đặt và $m = (n+1)/2$ $h = (\lfloor m \rfloor + 1)/2.$
Các tóm tắt -letter là tập Các yếu tố của nó được gọi là bản lề tối thiểu, bản lề dưới, trung vị, bản lề trên và tối đa, tương ứng. $5$ $\{X^{-} = x_1, H^{-}=x_h, M=x_m, H^{+}=x_\bar{h}, X^{+}=x_n\}.$

Ví dụ: trong lô dữ liệu chúng tôi có thể tính toán rằng , và , từ đâu $(-3, 1, 1, 2, 3, 5, 5, 5, 7, 13, 21)$ $n=12$ $m=13/2$ $h=7/2$

\begin{aligned} X^{-} & = - 3, \\ H^{-} & = x_{7 / 2} = (x_{3} + x_{4}) / 2 = (1 + 2) / 2 = 3 / 2, \\ M & = x_{13 / 2} = (x_{6} + x_{7}) / 2 = (5 + 5) / 2 = 5, \\ H^{+} & = x_{\bar{7 / 2}} = x_{19 / 2} = (x_{9} + x_{1} 0) / 2 = (5 + 7) / 2 = 6, \\ X^{+} & = x_{12} = 21. \end{aligned}

$\eqalign{ &X^{-} &= -3, \\ &H^{-} &= x_{7/2} = (x_3+x_4)/2 = (1+2)/2 = 3/2, \\ &M &= x_{13/2} = (x_6+x_7)/2 = (5+5)/2 = 5, \\ &H^{+} &= x_\overline{7/2} = x_{19/2} = (x_9+x_10)/2 = (5+7)/2 = 6, \\ &X^{+} &= x_{12} = 21. }$

Bản lề gần với (nhưng thường không hoàn toàn giống với) các tứ phân vị. Nếu các phần tư được sử dụng, lưu ý rằng nhìn chung chúng sẽ là phương tiện số học có trọng số của hai trong số các thống kê đơn hàng và do đó sẽ nằm trong một trong các khoảng trong đó có thể được xác định từ và thuật toán dùng để tính các tứ phân vị. Nói chung, khi nằm trong một khoảng tôi sẽ viết một cách lỏng lẻo để chỉ một số trung bình có trọng số như vậy của và . $[x_i, x_{i+1}]$ $i$ $n$ $q$ $[i, i+1]$ $x_q$ $x_i$ $x_{i+1}$

Với hai lô dữ liệu và có hai tóm tắt năm chữ cái riêng biệt. Chúng ta có thể kiểm tra giả thuyết null rằng cả hai đều là các mẫu ngẫu nhiên của một phân phối chung bằng cách so sánh một trong các -letters với một trong các -letters . Chẳng hạn, chúng ta có thể so sánh bản lề trên của với bản lề dưới của để xem có nhỏ hơn đáng kể so với . Điều này dẫn đến một câu hỏi nhất định: làm thế nào để tính toán cơ hội này, $(x_i, i=1,\ldots, n)$ $(y_j, j=1,\ldots,m),$ $F$ $x$ $x_q$ $y$ $y_r$ $x$ $y$ $x$ $y$

{Pr}_{F} (x_{q} < y_{r}) .

${\Pr}_F(x_q \lt y_r).$

Đối với phân đoạn và này là không thể mà không biết . Tuy nhiên, vì và sau đó là một fortiori $q$ $r$ $F$ $x_q \le x_{\lceil q \rceil}$ $y_{\lfloor r \rfloor} \le y_r,$

{Pr}_{F} (x_{q} < y_{r}) \leq {Pr}_{F} (x_{⌈ q ⌉} < y_{⌊ r ⌋}) .

${\Pr}_F(x_q \lt y_r) \le {\Pr}_F(x_{\lceil q \rceil} \lt y_{\lfloor r \rfloor}).$

Do đó, chúng ta có thể có được giới hạn phổ quát (độc lập với ) về xác suất mong muốn bằng cách tính xác suất tay phải, so sánh thống kê đơn hàng riêng lẻ. Câu hỏi chung trước mặt chúng tôi là $F$

Cơ hội nào mà giá trị cao nhất của sẽ thấp hơn giá trị cao nhất của giá trị được rút ra từ một phân phối chung? $q^\text{th}$ $n$ $r^\text{th}$ $m$

Ngay cả điều này không có câu trả lời chung trừ khi chúng ta loại trừ khả năng xác suất tập trung quá nhiều vào các giá trị riêng lẻ: nói cách khác, chúng ta cần cho rằng các mối quan hệ là không thể. Điều này có nghĩa là phải là một phân phối liên tục. Mặc dù đây là một giả định, nó là một yếu kém và nó không tham số. $F$

Giải pháp

Phân phối không có vai trò trong tính toán, vì khi biểu thị lại tất cả các giá trị bằng phương pháp biến đổi xác suất , chúng ta thu được các lô mới $F$ $F$

X^{(F)} = F (x_{1}) \leq F (x_{2}) \leq \dots \leq F (x_{n})

$X^{(F)} = F(x_1) \le F(x_2) \le \cdots \le F(x_n)$

và

Y^{(F)} = F (y_{1}) \leq F (y_{2}) \leq \dots \leq F (y_{m}) .

$Y^{(F)} = F(y_1) \le F(y_2) \le \cdots \le F(y_m).$

Hơn nữa, biểu thức lại này là đơn điệu và ngày càng tăng: nó bảo toàn trật tự và do đó, bảo tồn sự kiện Vì là liên tục, các lô mới này được rút ra từ phân phối Đồng nhất . Theo phân phối này - và loại bỏ " " hiện tại không cần thiết khỏi ký hiệu - chúng ta dễ dàng thấy rằng có phân phối Beta = Beta : $x_q \lt y_r.$ $F$ $[0,1]$ $F$ $x_q$ $(q, n+1-q)$ $(q, \bar{q})$

Pr (x_{q} \leq x) = \frac{n!}{(n - q)! (q - 1)!} \int_{0}^{x} t^{q - 1} (1 - t)^{n - q} d t .

$\Pr(x_q\le x) = \frac{n!}{(n-q)!(q-1)!}\int_0^x t^{q-1}(1-t)^{n-q}dt.$

Tương tự phân phối của là Beta . Bằng cách thực hiện tích hợp kép trên khu vực chúng tôi có thể có được xác suất mong muốn, $y_r$ $(r, m+1-r)$ $x_q \lt y_r$

Pr (x_{q} < y_{r}) = \frac{Γ (m + 1) Γ (n + 1) Γ (q + r)_{3} {\tilde{F}}_{2} (q, q - n, q + r; q + 1, m + q + 1; 1)}{Γ (r) Γ (n - q + 1)}

$\Pr(x_q \lt y_r) = \frac{\Gamma (m+1) \Gamma (n+1) \Gamma (q+r)\, _3\tilde{F}_2(q,q-n,q+r;\ q+1,m+q+1;\ 1)}{\Gamma (r) \Gamma (n-q+1)}$

Bởi vì tất cả các giá trị là không thể tách rời, tất cả các giá trị thực sự chỉ là giai thừa: cho tích phân Hàm ít được biết đến là hàm siêu bội hóa chính quy . Trong trường hợp này, nó có thể được tính là một tổng xen kẽ khá đơn giản của độ dài , được chuẩn hóa bởi một số giai thừa: $n, m, q, r$ $\Gamma$ $\Gamma(k) = (k-1)! = (k-1)(k-2)\cdots(2)(1)$ $k\ge 0.$ $_3\tilde{F}_2$ $n-q+1$

Γ (q + 1) Γ (m + q + 1)_{3} {\tilde{F}}_{2} (q, q - n, q + r; q + 1, m + q + 1; 1) = \sum_{i = 0}^{n - q} (- 1)^{i} (\binom{n - q}{i}) \frac{q (q + r) \dots (q + r + i - 1)}{(q + i) (1 + m + q) (2 + m + q) \dots (i + m + q)} = 1 - \frac{(\binom{n - q}{1}) q (q + r)}{(1 + q) (1 + m + q)} + \frac{(\binom{n - q}{2}) q (q + r) (1 + q + r)}{(2 + q) (1 + m + q) (2 + m + q)} - \dots .

$\Gamma(q+1)\Gamma(m+q+1)\ {_3\tilde{F}_2}(q,q-n,q+r;\ q+1,m+q+1;\ 1) \\ =\sum_{i=0}^{n-q}(-1)^i \binom{n-q}{i} \frac{q(q+r)\cdots(q+r+i-1)}{(q+i)(1+m+q)(2+m+q)\cdots(i+m+q)} \\ = 1 - \frac{\binom{n-q}{1}q(q+r)}{(1+q)(1+m+q)} + \frac{\binom{n-q}{2}q(q+r)(1+q+r)}{(2+q)(1+m+q)(2+m+q)} - \cdots.$

Điều này đã làm giảm việc tính toán xác suất thành không có gì phức tạp hơn phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia. Nỗ lực tính toán quy mô là Bằng cách khai thác tính đối xứng $O((n-q)^2).$

Pr (x_{q} < y_{r}) = 1 - Pr (y_{r} < x_{q})

$\Pr(x_q \lt y_r) = 1 - \Pr(y_r \lt x_q)$

phép tính mới được chia tỷ lệ là cho phép chúng tôi chọn mức dễ dàng hơn của hai khoản tiền nếu chúng tôi muốn. Tuy nhiên, điều này sẽ hiếm khi cần thiết bởi vì tóm tắt bản có xu hướng chỉ được sử dụng cho các lô nhỏ, hiếm khi vượt quá $O((m-r)^2),$ $5$ $n, m \approx 300.$

Ứng dụng

Giả sử hai lô có kích thước và . Thống kê đơn hàng liên quan cho và lần lượt là và . Dưới đây là bảng cơ hội với lập chỉ mục các hàng và lập chỉ mục các cột: $n=8$ $m=12$ $x$ $y$ $1,3,5,7,8$ $1,3,6,9,12,$ $x_q \lt y_r$ $q$ $r$

q\r 1       3       6       9       12
1   0.4      0.807  0.9762  0.9987  1.
3   0.0491  0.2962  0.7404  0.9601  0.9993
5   0.0036  0.0521  0.325   0.7492  0.9856
7   0.0001  0.0032  0.0542  0.3065  0.8526
8   0.      0.0004  0.0102  0.1022  0.6

Mô phỏng 10.000 cặp mẫu iid từ phân phối chuẩn thông thường cho kết quả gần với các cặp này.

Để xây dựng thử nghiệm một phía ở kích thước chẳng hạn như để xác định xem lô có nhỏ hơn đáng kể so lô , hãy tìm các giá trị trong bảng này gần hoặc ngay dưới . Các lựa chọn tốt là tại trong đó cơ hội là tại với cơ hội và tại với cơ hội Cái nào để sử dụng phụ thuộc vào suy nghĩ của bạn về giả thuyết thay thế. Chẳng hạn, phép thử so sánh bản lề dưới của với giá trị nhỏ nhất của $\alpha,$ $\alpha = 5\%,$ $x$ $y$ $\alpha$ $(q,r)=(3,1),$ $0.0491,$ $(5,3)$ $0.0521$ $(7,6)$ $0.0542.$ $(3,1)$ $x$ $y$ và tìm thấy một sự khác biệt đáng kể khi bản lề thấp hơn là bản lề nhỏ hơn. Thử nghiệm này nhạy cảm với giá trị cực trị của ; nếu có một số lo ngại về dữ liệu bên ngoài, đây có thể là một thử nghiệm rủi ro để lựa chọn. Mặt khác, phép thử so sánh bản lề trên của với trung vị của . Giá trị này rất mạnh đối với các giá trị bên ngoài trong lô và mạnh mẽ vừa phải để vượt trội hơn . Tuy nhiên, nó so sánh giá trị giữa của với giá trị trung bình của . Mặc dù đây có thể là một so sánh tốt để thực hiện, nhưng nó sẽ không phát hiện ra sự khác biệt trong các bản phân phối chỉ xảy ra ở một trong hai đuôi. $y$ $(7,6)$ $x$ $y$ $y$ $x$ $x$ $y$

Có thể tính toán các giá trị quan trọng này một cách phân tích giúp trong việc lựa chọn một bài kiểm tra. Khi một (hoặc một vài) bài kiểm tra được xác định, khả năng phát hiện các thay đổi của chúng có thể được đánh giá tốt nhất thông qua mô phỏng. Sức mạnh sẽ phụ thuộc rất nhiều vào cách phân phối khác nhau. Để hiểu được liệu các thử nghiệm này có sức mạnh nào không, tôi đã tiến hành thử nghiệm với rút ra từ phân phối Bình thường : nghĩa là trung vị của nó đã bị thay đổi bởi một độ lệch chuẩn. Trong một mô phỏng, thử nghiệm có ý nghĩa thời gian: đó là sức mạnh đáng kể cho các bộ dữ liệu nhỏ này. $(5,3)$ $y_j$ $(1,1)$ $54.4\%$

Nhiều hơn nữa có thể nói, nhưng tất cả đều là công cụ thường xuyên về việc tiến hành các thử nghiệm hai mặt, làm thế nào để đánh giá kích thước hiệu ứng, v.v. Điểm chính đã được chứng minh: đưa ra các bản tóm tắt (và kích thước) của hai lô dữ liệu, có thể xây dựng các thử nghiệm phi tham số mạnh mẽ hợp lý để phát hiện sự khác biệt trong quần thể cơ bản của chúng $5$ và trong nhiều trường hợp chúng ta thậm chí có thể có một số lựa chọn kiểm tra để lựa chọn. Lý thuyết được phát triển ở đây có một ứng dụng rộng rãi hơn để so sánh hai quần thể bằng phương pháp thống kê đơn hàng được lựa chọn phù hợp từ các mẫu của họ (không chỉ những người gần đúng với các bản tóm tắt thư).

Những kết quả này có các ứng dụng hữu ích khác. Ví dụ, boxplot là mô tả đồ họa của bản tóm tắt bản. Do đó, cùng với kiến thức về kích thước mẫu được hiển thị bởi boxplot, chúng tôi đã có sẵn một số thử nghiệm đơn giản (dựa trên việc so sánh các phần của một hộp và râu với một hộp khác) để đánh giá tầm quan trọng của sự khác biệt rõ ràng trong các ô đó. $5$

— whuber
nguồn

Tôi khá tự tin rằng sẽ không có một tài liệu nào trong tài liệu, nhưng nếu bạn tìm kiếm một bài kiểm tra không tham số, nó sẽ phải theo giả định về tính liên tục của biến cơ bản - bạn có thể xem xét một cái gì đó giống như ECDF -type statistic - nói một số tương đương với thống kê kiểu Kolmogorov-Smirnov hoặc một cái gì đó giống với thống kê Anderson-Darling (mặc dù tất nhiên việc phân phối thống kê sẽ rất khác trong trường hợp này).

Việc phân phối cho các mẫu nhỏ sẽ phụ thuộc vào các định nghĩa chính xác của các lượng tử được sử dụng trong tóm tắt năm số.

Ví dụ, hãy xem xét các tứ phân vị mặc định và các giá trị cực trị trong R (n = 10):

> summary(x)[-4]
    Min.  1st Qu.   Median  3rd Qu.     Max. 
-2.33500 -0.26450  0.07787  0.33740  0.94770

so với những cái được tạo bởi lệnh của nó để tóm tắt năm số:

> fivenum(x)
[1] -2.33458172 -0.34739104  0.07786866  0.38008143  0.94774213

Lưu ý rằng các tứ phân vị trên và dưới khác với bản lề tương ứng trong fivenumlệnh.

Ngược lại, tại n = 9 hai kết quả giống hệt nhau (khi tất cả chúng xảy ra tại các quan sát)

(R đi kèm với chín định nghĩa khác nhau cho lượng tử.)

Trường hợp cho cả ba tứ phân vị xảy ra tại các quan sát (khi n = 4k + 1, tôi tin rằng, có thể trong nhiều trường hợp theo một số định nghĩa về chúng) thực sự có thể thực hiện được theo đại số và nên không theo tỷ lệ, nhưng trường hợp chung (qua nhiều định nghĩa) có thể không thể thực hiện được và có thể không phải là không định lượng (hãy xem xét trường hợp bạn lấy trung bình các quan sát để tạo ra lượng tử trong ít nhất một trong các mẫu ... trong trường hợp đó, xác suất của các cách sắp xếp khác nhau của các lượng tử mẫu có thể không còn bị ảnh hưởng bởi sự phân phối dữ liệu).

Khi một định nghĩa cố định được chọn, mô phỏng dường như là cách để tiến hành.

Bởi vì nó sẽ không theo tỷ lệ tại một tập hợp con của các giá trị có thể có của , nên thực tế là nó không còn phân phối miễn phí cho các giá trị khác có thể không phải là mối quan tâm lớn như vậy; người ta có thể nói gần như phân phối miễn phí với kích thước mẫu trung gian, ít nhất là nếu 's không phải là quá nhỏ. $n$ $n$

Hãy xem xét một số trường hợp không được phân phối và xem xét một số cỡ mẫu nhỏ. Giả sử một thống kê loại KS được áp dụng trực tiếp vào bản tóm tắt năm số, đối với kích thước mẫu trong đó các giá trị tóm tắt năm số sẽ là thống kê đơn hàng riêng lẻ.

Lưu ý rằng điều này không thực sự 'mô phỏng' thử nghiệm KS chính xác, vì các bước nhảy ở đuôi quá lớn so với KS, chẳng hạn. Mặt khác, không dễ để khẳng định rằng các bước nhảy ở các giá trị tóm tắt phải dành cho tất cả các giá trị giữa chúng. Các nhóm trọng số / lần nhảy khác nhau sẽ có các đặc điểm lỗi loại I khác nhau và các đặc điểm công suất khác nhau và tôi không chắc chắn nên chọn cách nào tốt nhất (tuy nhiên, việc chọn hơi khác so với các giá trị bằng nhau có thể giúp có được mức độ quan trọng tốt hơn). Mục đích của tôi, sau đó chỉ đơn giản là chỉ ra rằng phương pháp chung có thể khả thi, không đề xuất bất kỳ thủ tục cụ thể nào. Một tập hợp các trọng số tùy ý cho từng giá trị trong bản tóm tắt vẫn sẽ đưa ra một bài kiểm tra không tham số, miễn là chúng không được thực hiện với tham chiếu đến dữ liệu.

Dù sao, ở đây đi:

Tìm giá trị phân phối / giá trị tới hạn thông qua mô phỏng

Với n = 5 và 5 trong hai mẫu, chúng tôi không cần phải làm gì đặc biệt - đó là một thử nghiệm KS thẳng.

Tại n = 9 và 9, chúng ta có thể thực hiện mô phỏng thống nhất:

 ks9.9 <- replicate(10000,ks.test(fivenum(runif(9)),fivenum(runif(9)))$statistic)
 plot(table(ks9.9)/10000,type="h"); abline(h=0,col=8)

nhập mô tả hình ảnh ở đây

  # Here's the empirical cdf:
 cumsum(table(ks9.9)/10000)
   0.2    0.4    0.6    0.8 
0.3730 0.9092 0.9966 1.0000

vì vậy, tại , bạn có thể nhận được khoảng ( ) và khoảng ( ). (Chúng ta không nên mong đợi các bước alpha đẹp. Khi số lớn vừa phải, chúng ta sẽ không mong muốn có bất cứ thứ gì ngoài những lựa chọn rất lớn hoặc rất nhỏ cho ). $n_1 = n_2=9$ $\alpha=0.1$ $D_{crit}=0.6$ $\alpha=0.005$ $D_{crit}=0.8$ $n$ $\alpha$

$n_1 = 9, n_2=13$ có mức ý nghĩa gần 5% ( ) $D=0.6$

$n_1 = n_2=13$ có mức ý nghĩa gần 2,5% ( ) $D=0.6$

Ở các cỡ mẫu gần nhau, cách tiếp cận này sẽ khả thi, nhưng nếu cả hai đều cao hơn 21 ( và ), thì điều này sẽ không hoạt động tốt. $n$ $\alpha \approx 0.2$ $\alpha\approx 0.001$

Một bài kiểm tra 'bằng cách kiểm tra' rất nhanh

Chúng tôi thấy quy tắc từ chối của xuất hiện thường xuyên trong các trường hợp chúng tôi đã xem xét. Những sắp xếp mẫu dẫn đến điều đó? Tôi nghĩ rằng hai trường hợp sau đây: $D\geq 0.6$

(i) Khi toàn bộ một mẫu nằm ở một bên của dải phân cách của nhóm khác.

(ii) Khi các hộp (phạm vi được bao phủ bởi các phần tư) không trùng nhau.

Vì vậy, có một quy tắc loại bỏ không đối xứng siêu đơn giản tuyệt vời dành cho bạn - nhưng thường sẽ không ở mức ý nghĩa 'đẹp' trừ khi kích thước mẫu không quá xa từ 9-13.

Bắt một bộ tốt hơn của thể mức $\alpha$

Dù sao, việc sản xuất bảng cho các trường hợp tương tự nên tương đối đơn giản. Ở mức trung bình đến lớn , thử nghiệm này sẽ chỉ có các mức rất nhỏ có thể (hoặc rất lớn) và sẽ không được sử dụng thực tế trừ trường hợp có sự khác biệt rõ ràng). $n$ $\alpha$

Thật thú vị, một cách tiếp cận để tăng các mức có thể đạt được sẽ là đặt các bước nhảy trong cdf 'fivenum' theo một thước đo Golomb . Nếu các giá trị cdf là và , thì sự khác biệt giữa bất kỳ cặp giá trị cdf nào sẽ khác với bất kỳ cặp nào khác Có thể đáng để xem nếu điều đó có ảnh hưởng nhiều đến sức mạnh (tôi đoán: có lẽ không nhiều). $\alpha$ $0,\frac{1}{11},\frac{4}{11},\frac{9}{11}$ $1$

So với các bài kiểm tra như KS này, tôi mong muốn một thứ giống như Anderson-Darling sẽ mạnh hơn, nhưng câu hỏi đặt ra là làm thế nào để cân nhắc cho trường hợp tóm tắt năm số này. Tôi tưởng tượng điều đó có thể được giải quyết, nhưng tôi không chắc mức độ xứng đáng của nó.

Quyền lực

Hãy xem cách tiếp tục nhận sự khác biệt tại . Đây là một đường cong sức mạnh cho dữ liệu thông thường và hiệu ứng, del, là về số độ lệch chuẩn, mẫu thứ hai được dịch chuyển lên: $n_1=9,n_2=13$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Điều này có vẻ như một đường cong sức mạnh khá hợp lý. Vì vậy, nó có vẻ hoạt động tốt ít nhất là ở các cỡ mẫu nhỏ này.

Những gì về mạnh mẽ, chứ không phải là không tham số?

Nếu các thử nghiệm không tham số không quá quan trọng, nhưng các thử nghiệm mạnh mẽ thay vào đó vẫn ổn, thay vào đó chúng ta có thể xem xét một số so sánh trực tiếp hơn về ba giá trị tứ phân trong tóm tắt, chẳng hạn như khoảng giữa cho trung bình dựa trên IQR và kích thước mẫu (dựa trên một số phân phối danh nghĩa xung quanh mức độ mạnh mẽ được mong muốn, chẳng hạn như bình thường - đây là lý do đằng sau các ô hộp có dấu, chẳng hạn). Điều này sẽ có xu hướng hoạt động tốt hơn nhiều ở các cỡ mẫu lớn hơn so với thử nghiệm không theo tỷ lệ sẽ bị thiếu các mức ý nghĩa phù hợp.

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

Rất đẹp! Tôi tự hỏi nếu đưa ra số liệu thống kê tóm tắt, bạn thực sự có thể tính toán thống kê D tối đa hoặc tối thiểu có thể cho kiểm tra KS. Ví dụ: bạn có thể vẽ các CDF dựa trên số liệu thống kê tóm tắt và sau đó sẽ có các cửa sổ p-box cho mỗi CDF mẫu. Dựa trên hai cửa sổ p-box đó, bạn có thể tính toán thống kê D tối đa hoặc tối thiểu có thể - và sau đó tra cứu thống kê kiểm tra trong các bảng thông thường.

— Andy W

Tôi không thấy làm thế nào có thể có một bài kiểm tra như vậy, ít nhất là không có một số giả định.

Bạn có thể có hai bản phân phối khác nhau có cùng tóm tắt 5 số:

Đây là một ví dụ tầm thường, trong đó tôi chỉ thay đổi 2 số, nhưng rõ ràng nhiều số có thể thay đổi

set.seed(123)

#Create data
x <- rnorm(1000)

#Modify it without changing 5 number summary
x2 <- sort(x)
x2[100] <- x[100] - 1
x2[900] <- x[900] + 1

fivenum(x)
fivenum(x2)

— Peter Flom - Tái lập Monica
nguồn

Ví dụ này chỉ thể hiện sự hạn chế về sức mạnh của thủ tục như vậy, nhưng mặt khác dường như không làm sáng tỏ nhiều về nó.

— whuber

Tôi nghĩ rằng nó có nghĩa là, nếu không có một số giả định, sức mạnh của một bài kiểm tra như vậy sẽ không thể đánh giá được. Một bài kiểm tra như vậy có thể trông như thế nào?

— Peter Flom - Tái lập Monica

Tính toán công suất sẽ luôn yêu cầu các giả định, ngay cả với các bài kiểm tra không tham số. Hãy thử tìm đường cong sức mạnh cho Kolmogorov-Smirnov mà không cần nhiều giả định hơn mức bạn cần để thực hiện bài kiểm tra.

— Glen_b -Reinstate Monica

Có một số lượng nhỏ các thử nghiệm hữu hạn có thể được xem xét: chúng so sánh các giá trị trong một bản tóm tắt với các giá trị khác. Một trong số đó sẽ là (ví dụ) so sánh bản lề trên của một tập dữ liệu với bản lề dưới của tập dữ liệu khác. Đối với kích thước mẫu đủ lớn, điều này sẽ cho thấy sự khác biệt đáng kể trong một dân số so với dân số khác. Nó có liên quan đến xác suất chung rằng cho các biến ngẫu nhiên và độc lập . Mặc dù bạn không kiểm soát được mức độ quan trọng, các thử nghiệm này có thể có sức mạnh hợp lý đối với một loạt các lựa chọn thay thế.

X > Y

$X\gt Y$

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@whuber Nếu không có bất kỳ thước đo nào về sai số hoặc độ chính xác của phép đo? Hoặc được cung cấp bởi kích thước mẫu? Các lượng tử, và thậm chí nhiều hơn tối đa và tối thiểu, rất khó để làm việc theo cách này.

— Peter Flom - Tái lập Monica