Chính xác thì cái gì được gọi là thành phần chính của nhóm trong PCA?

Giả sử là vector nhằm tối đa hóa sự thay đổi của các dự báo của dữ liệu với ma trận thiết kế .$u$$X$

Bây giờ, tôi đã thấy các tài liệu coi là thành phần chính (đầu tiên) của dữ liệu, cũng là hàm riêng với giá trị riêng lớn nhất.$u$

Tuy nhiên, tôi cũng đã thấy rằng thành phần chính của dữ liệu là .$X u$

Rõ ràng, và là những thứ khác nhau. Bất cứ ai có thể giúp tôi ra khỏi đây và cho tôi biết sự khác biệt giữa hai định nghĩa của các thành phần chính là gì?$u$$Xu$

Bạn hoàn toàn chính xác khi quan sát rằng mặc dù (một trong những hàm riêng của ma trận hiệp phương sai, ví dụ: đầu tiên) và X u (chiếu dữ liệu lên không gian con 1 chiều được chiếu bởi u ) là hai điều khác nhau, cả hai chúng thường được gọi là "thành phần chính", đôi khi ngay cả trong cùng một văn bản.$\mathbf{u}$$\mathbf{X}\mathbf{u}$$\mathbf{u}$

$\mathbf{u}_i$

$\mathbf{u}$$\mathbf{X}\mathbf{u}$

$\mathbf u$

$\mathbf u$$\mathbf{Xu}$

Tóm tắt hai quy ước:

$$\begin{array}{c|c|c} & \text{Convention 1} & \text{Convention 2} \\ \hline \mathbf u & \begin{cases}\text{principal axis}\\ \text{principal direction}\\ \text{principal component vector}\end{cases} & \text{principal component} \\ \mathbf{Xu} & \text{principal component} & \text{principal component scores} \end{array}$$

---

Lưu ý: Chỉ các hàm riêng của ma trận hiệp phương sai tương ứng với các giá trị riêng khác không có thể được gọi là các hướng / thành phần chính. Nếu ma trận hiệp phương sai có thứ hạng thấp, nó sẽ có một hoặc nhiều giá trị riêng; không phải được gọi là các hàm riêng tương ứng (và các hình chiếu tương ứng không đổi), không được gọi là các hướng / thành phần chính. Xem một số thảo luận trong câu trả lời của tôi ở đây.