Phân phối tỷ lệ của các biến ngẫu nhiên chi bình phương phụ thuộc

Giả sử rằng nơi là độc lập. $X = X_1 + X_2+\cdots+ X_n$ $X_i \sim N(0,\sigma^2)$

Câu hỏi của tôi là, phân phối gì

Z = \frac{X^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$Z = \frac{X^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

theo? Tôi biết từ đây tỷ lệ của hai biến ngẫu nhiên chi bình phương được biểu thị là tuân theo bản phân phối Beta. Tôi nghĩ rằng điều này giả định độc lập giữavà. Trong trường hợp của tôi, mẫu số củachứa các thành phần củabình phương. $\frac{W}{W + Y}$ $W$ $Y$ $Z$ $X$

Tôi nghĩ cũng phải tuân theo một biến thể của bản phân phối Beta nhưng tôi không chắc chắn. Và nếu giả định này là chính xác, tôi không biết làm thế nào để chứng minh điều đó. $Z$

— x0dros
nguồn

Bởi vì sự phân bố của các mẫu số là bất biến theo phép quay, bạn có thể xoay

để bằng

X

$X$

, làm giảm câu hỏi của bạn thành một cái gì đó quen thuộc :-).

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt{n}X_1$

— whuber

Tôi khá chắc chắn @whuber có nghĩa là chính xác những gì đã được gõ ở đó. Khi bạn nói 'người đề cử', bạn có nghĩa là 'tử số'?

— Glen_b -Reinstate Monica

Khi bạn xoay bất cứ thứ gì bạn (theo định nghĩa) sẽ giữ nguyên chiều dài của nó. Do đó phương sai của bất kỳ phiên bản xoay của

phải bằng phương sai của

, đó là

: đó là nơi mà các

X

$X$

X

$X$

1 + 1 + \dots + 1 = n

$1+1+\cdots+1=n$

thuật ngữ

đến từ.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— whuber

@whuber Câu trả lời của bạn có vẻ rất thú vị nhưng tôi có một số nghi ngờ về nó. Khi bạn nói rằng tôi có thể xoay

để trở thành bằng

X

$X$

, điều này về cơ bản có nghĩa là tôi có thể viết lại tử số của

thành

và do đó,chính

biến thành

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt nX_1$

Z

$Z$

n X_{1}^{2}

$nX_1^2$

Z

$Z$

. Bây giờ, nếu tôi giả

và

và từ

và

là độc lập, tôi có thể giả định rằng

n \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$n\frac{X_1^2}{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2}$

W = X_{1}^{2}

$W=X_1^2$

Y = X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}

$Y=X_2^2+\cdots+X_n^2$

W

$W$

Y

$Y$

có

phân phối và vân vân. Tôi có nhận được điểm của bạn cho đến nay? Vì vậy, đây là sự nhầm lẫn của tôi. Trước khi sử dụng khái niệm bất biến xoay vòng và Sửa đổi

Z = n \frac{W}{W + Y}

$Z=n\frac{W}{W+Y}$

β

$\beta$

— ssah

@ssah Bạn mắc lỗi trong ứng dụng lý luận của tôi: không có

trong mẫu số, phân phối của nó không còn là bất biến đối với các phép quay tùy ý của

và do đó, kết luận không còn nữa.

X_{1}^{2}

$X_1^2$

(X_{1}, \dots, X_{n}),

$(X_1,\ldots, X_n),$

— whuber

Bài này xây dựng các câu trả lời trong các ý kiến cho câu hỏi.

Hãy để . Sửa bất kỳ chiều dài đơn vị. Như một vector có thể luôn luôn được hoàn thành một cơ sở trực chuẩn (bằng phương tiện của quá trình Gram-Schmidt , ví dụ). Sự thay đổi cơ sở này (từ thông thường) là trực giao: nó không thay đổi độ dài. Do đó, việc phân phối $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\mathbf{e}_1\in\mathbb{R}^n$ $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)$

\frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{| | X | |^{2}} = \frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{||X||^2}=\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

không phụ thuộc vào . Lấy chương trình này có sự phân bố giống như $\mathbf{e}_1$ $\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\ldots, 0)$

\begin{matrix} (1) & \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}} . \end{matrix}

$\frac{X_1^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}.\tag{1}$

Kể từ khi đang IID Bình thường, họ có thể được viết như lần IID biến bình thường tiêu chuẩn và hình vuông của họ là lần phân phối. Kể từ khi tổng của độc lập phân phối là $X_i$ $\sigma$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $\sigma^2$ $\Gamma(1/2)$ $n-1$ $\Gamma(1/2)$ $\Gamma((n-1)/2)$ , chúng tôi đã xác định rằng phân phối của là phân phối của $(1)$

\frac{σ^{2} U}{σ^{2} U + σ^{2} V} = \frac{U}{U + V}

$\frac{\sigma^2 U}{\sigma^2 U + \sigma^2 V} = \frac{U}{U+V}$

$U = X_1^2/\sigma^2 \sim \Gamma(1/2)$ $V = (X_2^2 + \cdots + X_n^2)/\sigma^2 \sim \Gamma((n-1)/2)$ $(1/2, (n-1)/2)$ $XY$ $X \sim$ $(1,K-1)$ $Y \sim$ $2K$

X_{1} + \dots + X_{n} = (1, 1, \dots, 1) \cdot (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) = \sqrt{n} e_{1} \cdot X

$X_1 + \cdots + X_n = (1,1,\ldots,1)\cdot (X_1, X_2, \cdots, X_n) = \sqrt{n}\,\mathbf{e}_1\cdot X$

$\mathbf{e}_1=(1,1,\ldots,1)/\sqrt{n}$ $Z$ $(\sqrt{n})^2 = n$ $(1/2, (n-1)/2)$ $n\ge 2$

f_{Z} (z) = \frac{n^{1 - n / 2}}{B (\frac{1}{2}, \frac{n - 1}{2})} \sqrt{\frac{(n - z)^{n - 3}}{z}}

$f_Z(z) = \frac{n^{1-n/2}}{B\left(\frac{1}{2}, \frac{n-1}{2}\right)} \sqrt{\frac{(n-z)^{n-3}}{z}}$

$(0,n)$

$100,000$ $Z$ $\sigma=1$ $n=2,3,10$

Rsum(x)^2 / sum(x^2) $Z$ xnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— whuber
nguồn