Tại sao phân phối hình học và phân phối siêu bội gọi là như vậy?

Tại sao phân phối hình học và phân phối siêu bội gọi là "hình học" và "siêu âm" tương ứng?

Có phải bởi vì pmfs của họ có một số hình thức đặc biệt? Cảm ơn!

distributions terminology history

— Tim
nguồn

Có, các thuật ngữ đề cập đến các hàm khối lượng xác suất (pmfs).

2.500 năm trước, Euclid (trong Sách VIII và IV về các yếu tố của ông ) đã nghiên cứu các chuỗi độ dài có tỷ lệ chung. . Tại một số điểm, các trình tự như vậy được gọi là "tiến trình hình học" (mặc dù thuật ngữ "hình học" có thể vì một lý do tương tự dễ dàng được áp dụng cho nhiều chuỗi thông thường khác, bao gồm cả các chuỗi hiện được gọi là "số học").

Hàm khối lượng xác suất của phân bố hình học với tham số tạo thành một tiến trình hình học $p$

p, p (1 - p), p (1 - p)^{2}, \dots, p (1 - p)^{n}, \dots .

$p, p(1-p), p(1-p)^2, \ldots, p(1-p)^n, \ldots.$

Ở đây tỷ lệ phổ biến là . $1-p$

Vài trăm năm trước, một sự khái quát rộng lớn của những tiến bộ như vậy đã trở nên quan trọng trong các nghiên cứu về các đường cong elip, phương trình vi phân và nhiều lĩnh vực toán học liên kết sâu sắc khác. Việc khái quát hóa cho rằng tỷ lệ tương đối giữa các thuật ngữ liên tiếp tại các vị trí và có thể khác nhau, nhưng nó giới hạn bản chất của biến thể đó: tỷ lệ phải là một hàm hợp lý nhất định của . Vì các giá trị này "vượt quá" hoặc "vượt quá" tiến trình hình học (trong đó hàm hữu tỷ là hằng số), chúng được gọi là siêu âm từ tiền tố Hy Lạp cổ đại ("hyper") . $k$ $k+1$ $k$ $\grave\upsilon^\prime\pi\varepsilon\rho$

Hàm khối lượng xác suất của hàm siêu bội với các tham số và có dạng $N, K,$ $n$

p (k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

$p(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

cho phù hợp . Tỷ lệ xác suất liên tiếp do đó bằng $k$

\frac{p (k + 1)}{p (k)} = \frac{(K - k) (n - k)}{(k + 1) (N - K - n + k + 1)},

$\frac{p(k+1)}{p(k)} = \frac{(K-k)(n-k)}{(k+1)(N-K-n+k+1)},$

một hàm hữu tỉ của độ . Điều này đặt các xác suất vào một tiến trình siêu âm (đặc biệt). $k$ $(2,2)$

— whuber
nguồn

Cảm ơn! Có sự phân phối nào khác mà pmfs cũng hình thành các tiến trình hình học hoặc siêu bội?

— Tim

Nếu một pmf hình thành một tiến trình hình học thì nó phải là một phân phối hình học thay đổi, thay đổi kích thước và / hoặc cắt ngắn. Nếu nó tạo thành một sự tiến triển siêu bội của mức độ (2,2) thì một kết luận tương tự được giữ lại. Có các phân phối được liên kết với bất kỳ chuỗi nào tính tổng giá trị hữu hạn và do đó phân phối siêu bội tổng quát cho nhiều phân phối khác (bằng cách sử dụng các hàm hợp lý khác nhau). Hầu hết trong số họ không có tên. Một ngoại lệ là phân phối nhị thức âm có pmf là siêu bội độ (1,1).

— whuber

Cảm ơn! Liệu pmf của phân phối Poisson có tạo ra một số chuỗi / tiến trình đặc biệt không? Đưa ra phân phối Poination với tham số tỷ lệ , sau đó . Liệu pmf hình thành một số loạt đặc biệt hoặc tiến triển?

λ

$\lambda$

p (k + 1) / p (k) = λ / (k + 1)

$p(k+1)/p(k) = \lambda/(k+1)$

— Tim

Đúng, đó là một hàm hợp lý của độ (0,1), vì vậy nó phù hợp với định nghĩa chung của một tiến trình siêu bội.

— whuber

Theo một nguồn , đó là vì phân phối hình học pmf (k) là giá trị trung bình hình học của pmf (k - 1) và pmf (k + 1). Giá trị trung bình hình học của hai số A và B là . Về mặt kinh điển, vấn đề này được hiểu là việc tìm ra chiều dài các cạnh của hình vuông có diện tích bằng một hình chữ nhật có cạnh dài A và B, một vấn đề hình học. $\sqrt{A B}$

— rấtshuai
nguồn

Nguồn của bạn dựa vào loại suy đoán mà tôi đã đề cập (hơi elip) khi bắt đầu câu trả lời của tôi. Internet có rất nhiều người đưa ra khẳng định tương tự, nhưng vì dễ dàng tìm thấy một ý nghĩa số học như một phương tiện hình học, nên cuối cùng tính chất này (có cấu trúc "hình học") không xuất hiện để giải thích bất cứ điều gì. Sẽ rất thú vị khi tìm thấy một cơ quan có thể theo dõi các sử dụng thực tế của "hình học" và "số học" để giúp chúng tôi hiểu làm thế nào những thuật ngữ này thực sự phát sinh.

— whuber