Phân phối tích chập của bình phương biến bình phương và biến bình phương?

vấn đề sau đây xuất hiện gần đây trong khi phân tích dữ liệu. Nếu biến ngẫu nhiên X theo phân phối bình thường và Y theo phân phối (với n dof), thì phân phối như thế nào? Cho đến bây giờ tôi đã đưa ra bản pdf của : $\chi^2_n$ $Z = X^2 + Y^2$ $Y^2$

\begin{array}{rcl} ψ_{n}^{2} (x) & = & \frac{\partial F (\sqrt{x})}{\partial x} \\ = & {(\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{t^{n / 2 - 1} \cdot e^{- t / 2}}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} d t)}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} \cdot {(\sqrt{x})}^{n / 2 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \cdot {(\sqrt{x})}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2 - 1} Γ (n / 2)} \cdot x^{n / 4 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi^2_n(x) &=& \frac{\partial F(\sqrt{x})}{\partial x} \\ &=& \left( \int_0^{\sqrt{x}} \frac{t^{n/2-1}\cdot e^{-t/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \mathrm{d}t \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^{n/2-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2-1}\Gamma(n/2)} \cdot x^{n/4-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \end{eqnarray}$

cũng như một số đơn giản hóa cho tích phân tích chập ( có pdf với m dof): $X^2$ $\chi^2_m$

\begin{array}{rcl} K_{m n} (t) & := & (χ_{m}^{2} * ψ_{n}^{2}) (t) \\ = & \int_{0}^{t} χ_{m}^{2} (x) \cdot ψ_{n}^{2} (t - x) d x \\ = & {(2^{\frac{(n + m)}{2} + 1} Γ (\frac{m}{2}) Γ (\frac{n}{2}))}^{- 1} \cdot \int_{0}^{t} (t - x)^{\frac{n}{4} - 1} \cdot x^{\frac{m}{2} - 1} \cdot \exp (- (\sqrt{t - x} + x) / 2) d x \end{array}

$\begin{eqnarray} K_{mn}(t) &:=& ( \chi^2_m \ast \psi^2_n )(t) \\ &=& \int_0^t \chi^2_m(x) \cdot \psi^2_n(t-x) \mathrm{d}x \\ &=& \left( 2^{\frac{(n+m)}{2}+1} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) \right)^{-1} \cdot \int_0^t (t-x)^{\frac{n}{4}-1} \cdot x^{\frac{m}{2}-1} \cdot \exp(-(\sqrt{t-x}+x)/2) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$

Có ai đó thấy một cách tốt để tính tích phân này cho bất kỳ t thực hay nó phải được tính bằng số? Hay tôi đang thiếu một giải pháp đơn giản hơn nhiều?

— Leo Szilard
nguồn

Nếu không bình phương, tôi có một lời khuyên cụ thể. Tôi không nghĩ rằng cái này sẽ có thể kéo được (cũng không nhất thiết phải khai sáng ngay cả khi nó được chứng minh là có thể kéo được). Tôi muốn được xem xét các phương pháp tính toán, như tích chập hoặc mô phỏng số, tùy thuộc vào chính xác những gì bạn muốn làm với kết quả.

Y

$Y$

— Glen_b -Reinstate Monica

Theo tôi, rất khó có thể thực hiện được tích phân.

— Dave31415

@ Dave31415 Với và chẵn, tích phân có thể được tính toán rõ ràng cho các giá trị tích phân dương của và . Nó sẽ bằng một tổ hợp tuyến tính của hàm mũ và hàm lỗi với các hệ số là đa thức trong . Việc đánh giá có thể được thực hiện thông qua sự thay thế . Chẳng hạn, với chúng ta thu được .

n

$n$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

\sqrt{t}

$\sqrt{t}$

x = t - u^{2}

$x=t-u^2$

n = 2, m = 4

$n=2,m=4$

\frac{1}{4} e^{- \frac{1}{8} (2 \sqrt{t} + 1)^{2}} (e^{\frac{\sqrt{t}}{2}} (\sqrt{2 π} (4 t + 3) (erfi (\frac{2 \sqrt{t} - 1}{2 \sqrt{2}}) + erfi (\frac{1}{2 \sqrt{2}})) + 4 e^{\frac{1}{8}}) - 4 e^{\frac{t}{2} + \frac{1}{8}} (2 \sqrt{t} + 1))

$\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{8}(2\sqrt{t}+1)^2}(e^{\frac{\sqrt{t}}{2}}(\sqrt{2\pi} (4t+3)(\text{erfi}(\frac{2\sqrt{t}-1}{2\sqrt{2}})+\text{erfi}(\frac{1}{2\sqrt{2}}))+4e^\frac{1}{8})-4 e^{\frac{t}{2}+\frac{1}{8}}(2\sqrt{t}+1))$

— whuber

Đẹp. Đối với các số lẻ, có lẽ bạn có thể tính gần đúng với trung bình của kết quả cho các số chẵn? Hoặc có thể không.

— Dave31415

Cảm ơn bạn đã trả lời! Đối với một số trường hợp thậm chí tôi đã nhận được một kết quả tương tự liên quan đến chức năng của Dawson, nhưng có vẻ như tôi sẽ phải thực hiện thêm một số công việc cho một giải pháp chung ...

— Leo Szilard

Trong trường hợp có ích, biến là biến ngẫu nhiên gamma tổng quát (xem ví dụ: Stacy 1962). Câu hỏi của bạn là yêu cầu phân phối tổng của một biến ngẫu nhiên chi bình phương và một biến ngẫu nhiên gamma tổng quát. Theo hiểu biết của tôi, mật độ của biến kết quả không có biểu thức dạng đóng. Do đó, tích chập mà bạn thu được là một tích phân không có giải pháp dạng đóng. Tôi nghĩ rằng bạn sẽ bị mắc kẹt với một giải pháp số cho cái này. $Y^2$

Stacy, EW (1962). Một khái quát về phân phối Gamma. Biên niên sử thống kê toán học 33 (3) , trang 1187-1192.

— Phục hồi
nguồn

Đây chỉ là một gợi ý. Pearson loại III có thể là Chi bình phương. Đôi khi một tích chập có thể được tìm thấy bằng cách kết hợp một cái gì đó với chính nó. Tôi đã xoay sở để làm điều này để kết hợp ND và GD , mà tôi đã tự mình tạo ra Pearson III. Làm thế nào điều này hoạt động với ND và Chi-Squared, tôi không chắc chắn. Nhưng, bạn đã hỏi gợi ý, và đây là một gợi ý chung. Điều đó là đủ để bạn bắt đầu, tôi hy vọng. $^2$

— Carl
nguồn

Bạn có thể giải thích làm thế nào điều này trả lời câu hỏi? Nó dường như không liên quan trực tiếp.

— whuber

Pearson loại III tích chập với chính nó có thể được thực hiện. Vì một lý do nào đó, việc kết hợp một thứ với chính nó sẽ dễ giải quyết hơn là kết hợp một thứ với nhau. Ví dụ, tôi đã giải quyết tích chập của Pearson loại III và thu được các kết luận của ND với GD, một vấn đề liên quan.

— Carl

Dường như không có ích, sẽ xóa ngay.

— Carl