Tỷ lệ phân phối đồng đều và bình thường là gì?

Đặt theo phân phối đồng đều và theo phân phối chuẩn. Có thể nói gì về $X$ $Y$ ? Có một phân phối cho nó? $\frac X Y$

Tôi tìm thấy tỷ lệ của hai số chuẩn với số không trung bình là Cauchy.

— rrpp
nguồn

Đối với những gì nó có giá trị, phân phối

được gọi là phân phối gạch chéo . Tôi không biết nếu đối ứng có tên hoặc hình thức đóng.

Y / X

$Y/X$

— David J. Harris

Và lớp lớn hơn mà cả hai thuộc về dường như là phân phối tỷ lệ !

— Nick Stauner

@ DavidJ.Harris Khá vậy; +1. Tôi đã thấy dấu gạch chéo được sử dụng một vài lần trong các nghiên cứu về độ bền. Có lẽ

- như một dấu gạch chéo ngược - nên được gọi là " phân phối dấu gạch chéo ngược ".

X / Y

$X/Y$

— Glen_b -Reinstate Monica

@rrpp Bạn đang đề cập đến một tiêu chuẩn

, hay một tổng quát

? Nếu sau này, thì chúng ta cần biết nếu

v.v.

U n i f o r m (0, 1)

$Uniform(0,1)$

U n i f o r m (a, b)

$Uniform(a,b)$

a > 0

$a>0$

a < 0

$a<0$

— sói

Cảm ơn tất cả các câu trả lời của bạn. @wolfies

là

và

có ý nghĩa tích cực

X

$X$

U n i f o r m (0, 1)

$Uniform(0,1)$

Y

$Y$

— rrpp

Câu trả lời:

Đặt biến ngẫu nhiên với pdf : $X \sim \text{Uniform}(a,b)$ $f(x)$

trong đó tôi đã giả sử (trường hợp này lồng vào trường hợp chuẩn ). [Các kết quả khác nhau sẽ thu được nếu nói tham số , nhưng quy trình hoàn toàn giống nhau. ] $0<a<b$ $\text{Uniform}(0,1)$ $a<0$

Hơn nữa, chúng ta hãy , và để cho với pdf : $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$ $W=1/Y$ $g(w)$

Sau đó, chúng ta tìm kiếm các pdf của sản phẩm , nói , mà được cho bởi: $V = X*W$ $h(v)$

nơi tôi đang sử dụng chức năng của mathStaticaTransformProduct để tự động hóa nitty-gritties và nơi Erfbiểu thị chức năng Lỗi: http://reference.wolfram.com/lingu/ref/Erf.html

Tất cả đã được làm xong.

Lô đất

Đây là hai lô của pdf:

Lô 1: , , ... và ... $\mu = 0$ $\sigma = 1$ $b = 3$ $a = 0, 1, 2$

Lô 2: ,,, $\mu = {0,\frac12,1}$ $\sigma = 1$ $a=0$ $b = 1$

Kiểm tra Monte Carlo

Dưới đây là một tấm séc Monte Carlo nhanh chóng của vụ án Lô 2, chỉ để chắc chắn không có lỗi phải len lỏi trong:
,,, $\mu = \frac12$ $\sigma = 1$ $a=0$ $b = 1$

Đường màu xanh là pdf Monte Carlo theo kinh nghiệm và đường đứt nét màu đỏ là pdf lý thuyết ở trên. Có vẻ ổn :) $h(v)$

— chó sói
nguồn

$Z=\frac{X}{Y}$ $X\sim U[0,1]$ $Y \sim N(\mu,\sigma^2)$ $Z$

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) = P (\frac{X}{Y} \leq z)

$F_Z(z) = P(Z\le z) = P\left(\frac{X}{Y} \le z \right)$

$Y>0$ $Y<0$ $Y>0$ $\frac{X}{Y}\le z\implies X \le zY$ $Y<0$ $\frac{X}{Y}\le z\implies X \ge zY$

$-\infty<Z<\infty$ $z>0$ $z<0$

$z>0$ $(X,Y)$

Khu vực hội nhập

F_{Z} (z) = \int_{0}^{1} \int_{x / z}^{\infty} f_{Y} (y) d y d x + \int_{0}^{1} \int_{- \infty}^{0} f_{Y} (y) d y d x

$F_Z(z) = \int_0^1 \int_{x/z}^\infty f_Y(y) dy dx + \int_0^1 \int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy dx$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

Y

$Y$

$Z$

\begin{aligned} f_{Z} (z) & = \frac{d}{d z} \int_{0}^{1} [F_{Y} (\infty) - F_{Y} (\frac{x}{z})] d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial z} [F_{Y} (\infty) - F_{Y} (\frac{x}{z})] d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{x}{z^{2}} f_{Y} (\frac{x}{z}) d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{2 π} σ z^{2}} \exp (- \frac{{(\frac{x}{z} - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}) d x \end{aligned}

$\begin{align*} f_Z(z) &= \frac{d}{dz}\int_0^1 \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{\partial}{\partial z} \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{z^2} f_Y\left(\frac{x}{z}\right) dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{2\pi}\sigma z^2} \exp \left( - \frac{\left( \frac{x}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) dx \end{align*}$

Tích phân ở trên có thể được đánh giá bằng cách sử dụng chuỗi biến đổi sau:

$u=\frac{x}{z}$
$v=u-\mu$
$v$ $v$

f_{Z} (z) = \frac{σ}{\sqrt{2 π}} [\exp (\frac{- μ^{2}}{2 σ^{2}}) - \exp (\frac{- {(\frac{1}{z} - μ)}^{2}}{2 σ^{2}})] + μ [Φ (\frac{\frac{1}{z} - μ}{σ}) - Φ (\frac{- μ}{σ})]

$f_Z(z) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\left[ \exp\left(\frac{-\mu^2}{2\sigma^2}\right)-\exp\left(\frac{-\left(\frac{1}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right) \right] + \mu \left[ \Phi\left(\frac{\frac{1}{z}-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right) \right]$

$\Phi(x)$ $z<0$

Câu trả lời này có thể được xác minh bằng mô phỏng. Kịch bản sau trong R thực hiện nhiệm vụ này.

n <- 1e7
mu <- 2
sigma <- 4

X <- runif(n)
Y <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)

Z <- X/Y
# Constrain range of Z to allow better visualization 
Z <- Z[Z>-10]
Z <- Z[Z<10] 

# The actual density 
hist(Z, breaks=1000, xlim=c(-10,10), prob=TRUE)

# The theoretical density
r <- seq(from=-10, to=10, by=0.01)
p <- sigma/sqrt(2*pi)*( exp( -mu^2/(2*sigma^2)) - exp(-(1/r-mu)^2/(2*sigma^2)) ) + mu*( pnorm((1/r-mu)/sigma) - pnorm(-mu/sigma) )

lines(r,p, col="red")

Dưới đây là một vài biểu đồ để xác minh:

$Y\sim N(0,1)$
$Y\sim N(1,1)$
$y\sim N(1,2)$

$z=0$

— Comp_War chiến binh
nguồn

+1 Rất đẹp! Xuất phát từ các nguyên tắc cơ bản luôn thỏa mãn và đồ họa giúp người đọc hiểu ngay lập tức những gì bạn đang làm.

— whuber

$Y$ $Y=\mathcal N(7,1)$ $\min(Y)>1$ $N\le1\rm M$ $Y<1$ $\frac X Y$ $Y<0$ set.seed(1);x=rbeta(10000000,1,1)/rnorm(10000000,7);hist(x,n=length(x)/50000)
^runif

nhập mô tả hình ảnh ở đây

— Nick Stauner
nguồn

các đuôi cực đoan đang tăng mật độ. Sự phân phối khá giống một Cauchy. (Vì tò mò, tại sao không sử dụng runif? Có vẻ như thành ngữ hơn và dường như cũng nhanh hơn)

— Glen_b -Reinstate Monica

Bởi vì tôi vẫn không biết nhiều về R, rõ ràng! :) Cảm ơn vì tiền hỗ trợ!

— Nick Stauner

đừng lo lắng. Sự khác biệt về tốc độ không quá lớn, nhưng với 10 ^ 7 yếu tố, đủ để chú ý. Bạn có thể tìm thấy một biểu đồ đáng để xem ( hist(x,n=length(x),xlim=c(-10,10))) (khoảng 96% phân phối dường như nằm trong các giới hạn đó)

— Glen_b -Reinstate Monica

Ồ Đảm bảo đủ. Làm cho các lô mật độ này khá sai lệch Tôi sợ! Tôi sẽ chỉnh sửa trong biểu đồ đó ...

— Nick Stauner

Ờ được rồi. Đừng lo lắng. Bạn có thể muốn làm cho n class một thỏa thuận nhỏ hơn trong trường hợp đó. Tôi nghĩ lý tưởng là các thanh nên rất hẹp nhưng không chỉ là các đường màu đen.

— Glen_b -Reinstate Monica