Làm thế nào một phân phối có thể có ý nghĩa và phương sai vô hạn?

35

Nó sẽ được đánh giá cao nếu các ví dụ sau đây có thể được đưa ra:

Một phân phối với trung bình vô hạn và phương sai vô hạn.
Một phân phối với phương sai vô hạn và phương sai hữu hạn.
Một phân phối với trung bình hữu hạn và phương sai vô hạn.
Một phân phối với phương sai hữu hạn và phương sai hữu hạn.

Nó xuất phát từ việc tôi nhìn thấy những thuật ngữ xa lạ này (trung bình vô hạn, phương sai vô hạn) được sử dụng trong một bài báo tôi đang đọc, googling và đọc một chủ đề trên diễn đàn / trang web Wilmott , và không tìm thấy nó một lời giải thích đủ rõ ràng. Tôi cũng không tìm thấy bất kỳ lời giải thích nào trong bất kỳ sách giáo khoa của riêng tôi.

distributions variance mean

— user1205901 - Phục hồi Monica
nguồn

1

trường hợp 2 trong danh sách của bạn ở trên là không thể.

— kjetil b halvorsen

Có liên quan: stats.stackexchange.com/questions/94402/ từ

— kjetil b halvorsen

1

Bản sao có thể có của sự khác biệt giữa phương sai hữu hạn và vô hạn

— kjetil b halvorsen

2

Bằng cách hỏi bốn ví dụ cụ thể này, tôi nghĩ rằng đây là một câu hỏi riêng biệt và không nên đóng lại dưới dạng trùng lặp - mặc dù câu hỏi khác chắc chắn có liên quan và hữu ích.

— Cá bạc

1

Trong số 4 ví dụ chỉ có 1, 3 và 4 là các ví dụ thực tế có thể và có thể đưa ra cho 1 và 4. Cauchy là một ví dụ về 1 và Gaussian là một ví dụ về 4. Không thể xác định rõ phương sai nếu .mean không tồn tại. Do đó 2 là không thể. Một ví dụ về 3 sẽ rất thú vị khi xây dựng.

— Michael R. Chernick

52

Giá trị trung bình và phương sai được xác định theo các tích phân. Ý nghĩa của giá trị trung bình hoặc phương sai là vô hạn là một tuyên bố về hành vi giới hạn đối với các tích phân đó

$\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x\ dF$ $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

Điều này có thể xảy ra, ví dụ, nếu đuôi "đủ nặng". Xem xét các ví dụ sau cho bốn trường hợp trung bình và phương sai hữu hạn / vô hạn:

Một phân phối với trung bình vô hạn và phương sai vô hạn.

Ví dụ: Phân phối Pareto với , phân phối zeta (2). $\alpha= 1$
Một phân phối với phương sai vô hạn và phương sai hữu hạn.

Không thể.
Một phân phối với trung bình hữu hạn và phương sai vô hạn.

Ví dụ: phân phối . Pareto với . $t_2$ $\alpha=\frac{3}{2}$
Một phân phối với phương sai hữu hạn và phương sai hữu hạn.

Ví dụ: Bất kỳ bình thường. Bất kỳ đồng phục (thực sự, bất kỳ biến giới hạn có tất cả các khoảnh khắc). . $t_3$

Bạn cũng có thể có một phân phối trong đó tích phân không xác định nhưng không nhất thiết vượt qua mọi giới hạn hữu hạn trong giới hạn.

Những ghi chú của Charles Geyer nói về cách tính các tích phân có liên quan theo các thuật ngữ đơn giản. Có vẻ như nó xử lý các tích phân Riemann ở đó, chỉ bao gồm các trường hợp liên tục nhưng các định nghĩa tổng quát hơn về tích phân (ví dụ Stieltjes) sẽ bao gồm tất cả các trường hợp bạn có thể sẽ yêu cầu [Tích hợp Lebesgue là hình thức tích hợp được sử dụng trong lý thuyết đo lường (làm cơ sở cho xác suất) nhưng điểm ở đây chỉ hoạt động tốt với các phương thức cơ bản hơn]. Nó cũng bao gồm (Sec 2.5, p13-14) tại sao "2." không thể (trung bình tồn tại nếu phương sai tồn tại).

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

7

+1 Lý do tại sao (2) là không thể là tầm thường: phương sai được xác định theo nghĩa trung bình. Hơi sâu hơn một chút là thực tế là khi khoảnh khắc thứ hai của là hữu hạn, thì giá trị trung bình phải là hữu hạn. Vì nếu giá trị trung bình là vô hạn, sau đó một fortiori thời điểm thứ hai phải là vô hạn vì thời điểm thứ hai là trọng số các giá trị của không chỉ bởi khả năng mà còn bởi tự ( ). Những trọng lượng đó tăng lên mà không bị ràng buộc, khiến khoảnh khắc thứ hai cuối cùng vượt quá giá trị tuyệt đối của khoảnh khắc đầu tiên.

X

$X$

X

$X$

X

$X$

X^{2} = X \times X

$X^2 = X\times X$

— whuber

4

@whuber nhưng bạn có thể định nghĩa phương sai mà không cần tham chiếu đến giá trị trung bình (chẳng hạn như về kỳ vọng về sự khác biệt bình phương trong các cặp giá trị), vì vậy vấn đề không tầm thường như thế. Một cái gì đó giống như đối số thứ hai của bạn là thực sự cần thiết.

— Glen_b -Reinstate Monica

3

Đó là một điểm tốt, nhưng nếu chúng ta chấp nhận rằng bất kỳ định nghĩa thay thế nào của phương sai đều tương đương với đại số cho định nghĩa thông thường cho tất cả các phân phối, thì nếu nó không được xác định theo một định nghĩa thì có vẻ như là một minh chứng đầy đủ rằng nó không được xác định theo đến trung tâm mua sắm. Trong đó các lựa chọn thay thế như cái mà bạn đề cập đến đã xuất hiện trong nghiên cứu về các quá trình ngẫu nhiên trong đó các định nghĩa khác nhau không tương đương.

— whuber

2

Vâng tôi đồng ý. Một phương sai, là kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên không âm, bằng với tích phân Lebesgue của phần dương. Do đó, nó là hữu hạn hoặc vô hạn (trong dòng số mở rộng), không có vấn đề gì. Tính chất không âm này phân biệt phân tích các khoảnh khắc chẵn so với các khoảnh khắc khác, có thể không được xác định.

— whuber

2

Định nghĩa của phương sai là nó bằng .

E [(X - E (X))^{2}]

$\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^2]$

— whuber

5

Các bản phân phối ổn định cung cấp các ví dụ hay, tham số về những gì bạn đang tìm kiếm:

giá trị trung bình và phương sai vô hạn: $0 < \text{stability parameter} < 1$
Không có
trung bình và vô hạn sai hữu hạn: $1 \leq \text{stability parameter} < 2$
Giá trị trung bình và phương sai hữu hạn: (Gaussian) $\text{stability parameter} = 2$

— Học giả Steve
nguồn

1

Không ai đề cập đến nghịch lý St. Petersburg ở đây; nếu không tôi sẽ không đăng trong một chủ đề cũ này đã có nhiều câu trả lời bao gồm một câu trả lời "được chấp nhận".

Nếu một đồng xu rơi vào "đầu", bạn sẽ giành được một xu.

Nếu "đuôi", số tiền thắng gấp đôi và sau đó nếu "đứng đầu" trong lần ném thứ hai, bạn sẽ giành được hai xu.

Nếu "đuôi" lần thứ hai, số tiền thắng cược sẽ tăng gấp đôi và nếu "đứng đầu" ở lần ném thứ ba, bạn sẽ giành được bốn xu.

\begin{array}{rccc} outcome & winnings & probability & product \\ H & 1 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ TH & 2 & 1 / 4 & 1 / 2 \\ TTH & 4 & 1 / 8 & 1 / 2 \\ TTTH & 8 & 1 / 16 & 1 / 2 \\ TTTTH & 16 & 1 / 32 & 1 / 2 \\ TTTTTH & 32 & 1 / 64 & 1 / 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{array}

$\begin{array}{|r|c|c|c|} \hline \text{outcome} & \text{winnings} & \text{probability} & \text{product} \\ \hline \text{H} & 1 & 1/2 & 1/2 \\ \text{TH} & 2 & 1/4 & 1/2 \\ \text{TTH} & 4 & 1/8 & 1/2 \\ \text{TTTH} & 8 & 1/16 & 1/2 \\ \text{TTTTH} & 16 & 1/32 & 1/2 \\ \text{TTTTTH} & 32 & 1/64 & 1/2 \\ \vdots\quad & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = + \infty,

$\dfrac 12 + \dfrac 12 + \dfrac 12+\cdots = +\infty,$

$\$1$ $\$1$

Câu trả lời là một lần rất hiếm hoi, bạn sẽ nhận được một chuỗi đuôi dài, do đó tiền thắng sẽ bù cho bạn chi phí khổng lồ mà bạn phải chịu. Điều đó đúng cho dù mức giá cao đến mức nào mà bạn phải trả cho mỗi lần tung.

— Michael Hardy
nguồn

-1

X_{2} = number of times you can zoom in like 10cm into a fractal

$X_2 = \text{number of times you can zoom in like 10cm into a fractal}$

— Ông Joe
nguồn

\infty - \infty = 0

$\infty - \infty=0$