Bình phương phân phối chuẩn với phương sai cụ thể

Sự phân bố của bình phương của một biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn là gì $X^2$ với $X\sim N(0,\sigma^2/4)$ ?
Tôi biết $\chi^2(1)=Z^2$ là một đối số có giá trị trong khi bình phương một bình thường tiêu chuẩn phân phối, nhưng những gì về trường hợp không đơn vị sai?

distributions normal-distribution

— CodeTrek
nguồn

Tại sao không chỉ tính toán điều này trực tiếp từ phương trình Bình thường, sau đó vẽ đồ thị hàm kết quả?

Tôi đang tìm kiếm một lời giải thích lý thuyết ở đây ...

— CodeTrek

Viết

... hoặc tương đương

Z = \frac{X}{σ / 2}

$Z = \frac{X}{\sigma/2}$

. Bạn có thể làm ngay không?

X = \frac{σ}{2} \cdot Z

$X=\frac{\sigma}{2}\cdot Z$

— Glen_b -Reinstate Monica

? Vì vậy, không có gì của công cụ chi vuông ưa thích?

σ^{2} / 4 * χ^{2} (1)

$\sigma^2/4∗\chi^2(1)$

— CodeTrek

Miễn là giá trị trung bình là

, không có công cụ chi bình phương; chỉ đơn giản là vanilla chia tỷ lệ phân phối

như Glen_b chỉ ra.

0

$0$

χ^{2}

$\chi^2$

— Dilip Sarwate

Để đóng cái này:

X \sim N (0, σ^{2} / 4) \Rightarrow \frac{X^{2}}{σ^{2} / 4} \sim χ_{1}^{2} \Rightarrow X^{2} = \frac{σ^{2}}{4} χ_{1}^{2} = Q \sim Gamma (1 / 2, σ^{2} / 2)

$X\sim N(0,\sigma^2/4) \Rightarrow \frac {X^2}{\sigma^2/4}\sim \mathcal \chi^2_1 \Rightarrow X^2 = \frac {\sigma^2}{4}\mathcal \chi^2_1 = Q\sim \text{Gamma}(1/2, \sigma^2/2)$

với

E (Q) = \frac{σ^{2}}{4}, Var (Q) = \frac{σ^{4}}{8}

$E(Q) = \frac {\sigma^2}{4},\;\; \text{Var}(Q) = \frac {\sigma^4}{8}$

— Alecos Papadopoulos
nguồn

Cái này sai. Nếu

sau đó

X \sim N (μ, σ^{2})

$X\sim N(\mu, \sigma^2)$

nhưngkhông

\frac{X - μ}{σ} \sim χ_{1}^{2}

$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim \chi_1^2$

. Bạn đang chia

cho thừa số sai. Nhìn vào đây:vi.wikipedia.org/wiki/ đá

\frac{X - μ}{σ^{2}}

$\frac{X-\mu}{\sigma^2}$

X

$X$

— Euler_Salter

@Euler_Salter Bạn đã xem biến

được định nghĩa như thế nào trong câu hỏi của OP chưa?

X

$X$

— Alecos Papadopoulos

Ồ, tôi đã bỏ lỡ điều đó! Đọc quá nhanh! Lời xin lỗi

— Euler_Salter

@Euler_Salter Ngoài ra, biến được tiêu chuẩn hóa tuân theo phân phối chi , en.wikipedia.org/wiki/Chi_distribution . Bạn phải vuông nó để có được một hình vuông chi.

— Alecos Papadopoulos