Số lượng tỷ lệ sinh con gái và con trai dự kiến

Tôi đã bắt gặp một câu hỏi trong bài kiểm tra năng khiếu phỏng vấn xin việc cho tư duy phản biện. Nó là một cái gì đó như thế này:

Cộng hòa Zorganian có một số phong tục rất kỳ lạ. Các cặp vợ chồng chỉ muốn có con cái vì chỉ có con cái mới có thể thừa hưởng sự giàu có của gia đình, vì vậy nếu họ có con trai, họ sẽ sinh thêm con cho đến khi có con gái. Nếu họ có một cô gái, họ ngừng có con. Tỷ lệ con gái so với con trai ở Zorgania là bao nhiêu?

Tôi không đồng ý với câu trả lời mô hình được đưa ra bởi người viết câu hỏi, đó là khoảng 1: 1. Sự biện minh là bất kỳ ca sinh nào sẽ luôn có 50% cơ hội là nam hay nữ.

Bạn có thể thuyết phục tôi bằng một câu trả lời mạnh mẽ hơn về toán học của nếu là số bé gái và B là số bé trai trong cả nước không?$\text{E}[G]:\text{E}[B]$$G$

Bắt đầu không có con

lặp lại bước

{

Mỗi cặp vợ chồng vẫn đang có một đứa con. Một nửa cặp vợ chồng có con đực và một nửa cặp vợ chồng có con cái.

Những cặp vợ chồng có con cái ngừng sinh con

}

Ở mỗi bước, bạn nhận được số lượng nam và nữ chẵn và số cặp vợ chồng có con giảm đi một nửa (tức là những người có nữ sẽ không có con trong bước tiếp theo)

Vì vậy, tại bất kỳ thời điểm nào bạn cũng có số lượng nam và nữ bằng nhau và từ bước này đến bước khác, số cặp vợ chồng có con giảm một nửa. Khi nhiều cặp vợ chồng được tạo ra cùng một tình huống lặp lại và tất cả những thứ khác bằng nhau, dân số sẽ chứa cùng một số nam và nữ

Gọi là số con trai trong một gia đình. Ngay khi có một cô gái, họ dừng lại, vì vậy$X$

$$\begin{array}{| l |l | } \hline X=0 & \text{if the first child was a girl}\\ X=1 & \text{if the first child was a boy and the second was a girl}\\ X=2 & \text{if the first two children were boys and the third was a girl}\\ \text{and so on}\ldots &\\ \hline \end{array}$$

Nếu là xác suất đứa trẻ là con trai và nếu giới tính độc lập giữa con cái thì xác suất gia đình kết thúc có k con trai là P ( X = k ) = p k ⋅ ( 1 - p ) , tức là xác suất có k trai rồi có gái. Các số dự kiến của con trai là E X = ∞ Σ k = 0 k p k ⋅ ( 1 - p ) $p$$k$

$$\mbox{P}(X=k)=p^{k}\cdot (1-p),$$ $k$ Lưu ý rằng ∞ Σ k = 0 kpk= ∞ Σ k = 0 (k+1)pk+1chúng tôi nhận ∞ Σ k = 0 kpk- ∞ Σ k = 0 $$\operatorname{E}X=\sum_{k=0}^\infty kp^k \cdot (1-p)=\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}.$$ $$\sum_{k=0}^\infty kp^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}$$ nơi mà chúng tôi sử dụng màΣ ∞ k = 0 pk=1/(1-p)khi0<p<1(xemchuỗi hình học). $$\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty p^{k+1}=p\sum_{k=0}^\infty p^{k}=\frac{p}{1-p}$$ $\sum_{k=0}^\infty p^k=1/(1-p)$$0<p<1$

Nếu , ta có E X = 0,5 / 0,5 . Tức là gia đình trung bình có 1 bé trai. Chúng tôi đã biết rằng tất cả các gia đình có 1 cô gái, vì vậy tỷ lệ sẽ theo thời gian thậm chí ra là 1 / 1 = 1 .$p=1/2$$\operatorname{E}X=0.5/0.5$$1/1=1$

Biến ngẫu nhiên được gọi là biến ngẫu nhiên hình học .$X$

Tóm lược

Mô hình đơn giản mà tất cả những người sinh ra độc lập có 50% cơ hội là con gái là không thực tế và, hóa ra, thật đặc biệt. Ngay khi chúng tôi xem xét hậu quả của sự thay đổi kết quả trong dân số, câu trả lời là tỷ lệ cô gái: con trai có thể là bất kỳ giá trị nào không vượt quá 1: 1. (Trong thực tế có khả năng nó vẫn sẽ gần với 1: 1, nhưng đó là vấn đề để phân tích dữ liệu để xác định.)

Bởi vì cả hai câu trả lời mâu thuẫn này đều có được bằng cách giả định sự độc lập thống kê về kết quả sinh, nên một lời kêu gọi độc lập là một lời giải thích không đầy đủ. Do đó, có vẻ như sự khác biệt (trong cơ hội sinh con cái) là ý tưởng chính đằng sau nghịch lý.

Giới thiệu

Một nghịch lý xảy ra khi chúng ta nghĩ rằng chúng ta có lý do chính đáng để tin vào điều gì đó nhưng lại phải đối mặt với một lập luận có vẻ cứng rắn đến ngược lại.

Một giải pháp thỏa đáng cho một nghịch lý giúp chúng ta hiểu cả những gì đúng và những gì có thể sai về cả hai đối số. Như thường thấy trong xác suất và thống kê, cả hai đối số thực sự có thể hợp lệ: độ phân giải sẽ xoay quanh sự khác biệt giữa các giả định được đưa ra ngầm. So sánh các giả định khác nhau này có thể giúp chúng ta xác định các khía cạnh của tình huống dẫn đến các câu trả lời khác nhau. Xác định những khía cạnh này, tôi duy trì, là những gì chúng ta nên coi trọng nhất.

Giả định

Bằng chứng là tất cả các câu trả lời đăng cho đến nay, đó là tự nhiên khi cho rằng bé gái xảy ra một cách độc lập và với xác suất liên tục của . Người ta biết rằng không có giả định nào thực sự đúng, nhưng dường như những sai lệch nhỏ so với những giả định này sẽ không ảnh hưởng nhiều đến câu trả lời. Để xem nào. Để kết thúc này, hãy xem xét mô hình tổng quát hơn và thực tế hơn sau đây:$1/2$

1. Trong mỗi gia đình xác suất sinh con cái là p i không đổi , bất kể thứ tự sinh.$i$$p_i$

2. Trong trường hợp không có bất kỳ quy tắc dừng nào, số ca sinh con gái trong dân số dự kiến ​​sẽ gần bằng số lần sinh con trai dự kiến.

3. Tất cả các kết quả sinh là độc lập (thống kê).

Đây vẫn chưa phải là một mô hình hoàn toàn thực tế về việc sinh con người, trong đó có thể thay đổi theo tuổi của cha mẹ (đặc biệt là mẹ). Tuy nhiên, nó đủ thực tế và linh hoạt để cung cấp một giải pháp thỏa đáng cho nghịch lý sẽ áp dụng ngay cả đối với các mô hình tổng quát hơn.$p_i$

Phân tích

Mặc dù thật thú vị khi tiến hành phân tích kỹ lưỡng về mô hình này, nhưng những điểm chính trở nên rõ ràng ngay cả khi một phiên bản cụ thể, đơn giản (nhưng hơi cực đoan) được xem xét. Giả sử dân số có gia đình N. Trong nửa trong số này là cơ hội của một sinh nữ là 2 / 3 và trong nửa kia cơ hội của một sinh nữ là 1 / 3 . Điều này rõ ràng thỏa mãn điều kiện (2): số lượng sinh con gái và nam dự kiến ​​là như nhau.$2N$$2/3$$1/3$

Hãy xem xét những gia đình đầu tiên . Hãy để chúng tôi suy luận về mặt kỳ vọng, hiểu rằng kết quả thực tế sẽ là ngẫu nhiên và do đó sẽ thay đổi một chút so với kỳ vọng. (Ý tưởng đằng sau phân tích sau đây được truyền đạt ngắn gọn và đơn giản hơn trong câu trả lời ban đầu xuất hiện ở cuối bài này.)$N$

Gọi là số lần sinh nữ dự kiến ​​trong dân số N với xác suất sinh nữ không đổi p . Rõ ràng đây là tỉ lệ với N và do đó có thể được viết f ( N , p ) = f ( p ) N . Tương tự, gọi m ( p ) N là số lần sinh con trai dự kiến.$f(N,p)$$N$$p$$N$$f(N,p) = f(p)N$$m(p)N$

• Các gia đình đầu tiên sinh ra một cô gái và dừng lại. Các gia đình N ( 1 - p ) khác sinh ra một bé trai và tiếp tục sinh con. Đó là những cô gái p N và ( 1 - p ) N cho đến nay.$pN$$(1-p)N$$pN$$(1-p)N$

• $(1-p)N$$f(p)[(1-p)N]$$m(p)[(1-p)N]$

$f(p)N$$m(p)N$

$$f(p)N = pN + f(p)(1-p)N\ \text{ and }\ m(p)N = (1-p)N + m(p)(1-p)N$$

với các giải pháp

$$f(p) = 1\ \text{ and }\ m(p) = \frac{1}{p}-1.$$

$N$$p=2/3$$f(2/3)N = N$$m(2/3)N = N/2$

$N$$p=1/3$$f(1/3)N = N$$m(1/3)N = 2N$

$(1+1)N = 2N$$(1/2+2)N = (5/2)N$$N$

$$\mathbb{E}\left(\frac{\text{# girls}}{\text{# boys}}\right) \approx \frac{2N}{(5/2)N} = \frac{4}{5}.$$

Các quy tắc dừng ủng hộ con trai!

$p$$1-p$$N$

$$\frac{2p(1-p)}{1 - 2p(1-p)}.$$

$p$$0$$1$$0$$1$$1$$1$$p=1/2$

Giải pháp

Nếu trực giác của bạn là dừng lại với cô gái đầu tiên nên sinh ra nhiều bé trai hơn trong dân số, thì bạn đã đúng, như ví dụ này cho thấy. Để chính xác, tất cả những gì bạn cần là xác suất sinh con gái khác nhau (dù chỉ một chút) giữa các gia đình.

Câu trả lời "chính thức", tỷ lệ này phải gần với 1: 1, đòi hỏi một số giả định không thực tế và nhạy cảm với chúng: nó cho rằng không thể có sự khác biệt giữa các gia đình và tất cả các ca sinh đều phải độc lập.

Bình luận

Ý tưởng chính được nhấn mạnh bởi phân tích này là sự khác biệt trong dân số có những hậu quả quan trọng. Độc lập về sinh - mặc dù đó là một giả định đơn giản hóa được sử dụng cho mọi phân tích trong chủ đề này - không giải quyết được nghịch lý, bởi vì (tùy thuộc vào các giả định khác), nó phù hợp cả với câu trả lời chính thức và ngược lại.

$p_i$$p_i$$p_i$

Nếu chúng ta thay thế giới tính bằng một số biểu hiện di truyền khác, thì chúng ta có được một lời giải thích thống kê đơn giản về chọn lọc tự nhiên : một quy tắc giới hạn khác nhau số lượng con dựa trên cấu trúc di truyền của chúng có thể thay đổi một cách có hệ thống các tỷ lệ của các gen đó trong thế hệ tiếp theo. Khi gen không liên kết giới tính, ngay cả một hiệu ứng nhỏ sẽ được nhân lên qua các thế hệ kế tiếp và có thể nhanh chóng được phóng đại.

---

Câu trả lời gốc

Mỗi đứa trẻ có một thứ tự sinh: con đầu lòng, con thứ hai, v.v.

Giả sử xác suất sinh con trai và con cái bằng nhau và không có mối tương quan giữa các giới tính, Luật yếu về số lượng lớn khẳng định sẽ có tỷ lệ 1: 1 của con gái đầu lòng với con đực. Vì lý do tương tự, sẽ có tỷ lệ 1: 1 của nữ sinh thứ hai so với nam, v.v. Bởi vì các tỷ lệ này liên tục là 1: 1, nên tỷ lệ chung cũng phải là 1: 1, bất kể tần suất tương đối của các đơn đặt hàng sinh ra là gì trong dân số.

Sự ra đời của mỗi đứa trẻ là một sự kiện độc lập với P = 0,5 đối với bé trai và P = 0,5 đối với bé gái. Các chi tiết khác (như quyết định của gia đình) chỉ khiến bạn mất tập trung vào thực tế này. Câu trả lời là tỷ lệ là 1: 1 .

Để giải thích về điều này: hãy tưởng tượng rằng thay vì có con, bạn đang lật một đồng xu công bằng (P (đầu) = 0,5) cho đến khi bạn nhận được "đầu". Giả sử Gia đình A lật đồng xu và nhận được chuỗi [đuôi, đuôi, đầu]. Sau đó, gia đình B lật đồng xu và nhận được một cái đuôi. Bây giờ, xác suất mà người tiếp theo sẽ là người đứng đầu là gì? Vẫn là 0,5 , vì đó là những gì độc lập có nghĩa. Nếu bạn làm điều này với 1000 gia đình (có nghĩa là 1000 đầu xuất hiện), tổng số đuôi dự kiến ​​là 1000, vì mỗi lần lật (sự kiện) là hoàn toàn độc lập.

Một số thứ không độc lập, chẳng hạn như chuỗi trong một gia đình: xác suất của chuỗi [đầu, đầu] là 0, không bằng [đuôi, đuôi] (0,25). Nhưng vì câu hỏi không hỏi về điều này, nó không liên quan.

Hãy tưởng tượng việc tung một đồng xu công bằng cho đến khi bạn quan sát một cái đầu. Có bao nhiêu đuôi bạn quăng?

$P(0 \text{ tails}) = \frac{1}{2}, P(1 \text{ tail}) = (\frac{1}{2})^2, P(2 \text{ tails}) = (\frac{1}{2})^3, ...$

Số lượng đuôi dự kiến ​​dễ dàng được tính * là 1.

Số lượng đầu luôn là 1.

* nếu điều này không rõ ràng với bạn, xem 'phác thảo bằng chứng' tại đây

Các cặp vợ chồng có chính xác một cô gái và không có con trai là phổ biến nhất

Lý do tất cả diễn ra là vì xác suất của một kịch bản trong đó có nhiều bé gái lớn hơn nhiều so với các kịch bản có nhiều bé trai. Và các kịch bản có nhiều bé trai có xác suất rất thấp. Cách thức cụ thể mà nó tự làm việc được minh họa dưới đây

NumberOfChilden Probability  Girls   Boys  
1               0.5           1       0  
2               0.25          1       1  
3               0.125         1       2  
4               0.0625        1       3  
...             ...           ...     ...  

NumberOfChilden Probability   Girls*probabilty   Boys*probabilty 
1               0.5           0.5                0
2               0.25          0.25               0.25
3               0.125         0.125              0.25
4               0.0625        0.0625             0.1875
5               0.03125       0.03125            0.125
...             ...           ...                ...  
n               1/2^n         1/(2^n)            (n-1)/(2^n)

Bạn có thể thấy khá nhiều nơi này sẽ diễn ra vào thời điểm này, tổng số các cô gái và chàng trai sẽ cộng lại thành một.

Cô gái mong đợi từ một cặp vợ chồng${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{2^n})=1$
${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{n-1}{n^2})=1$

^{Giới hạn các giải pháp từ wolfram}

Bất kỳ sinh ra, bất kể gia đình là gì đều có cơ hội là con trai hay con gái 50:50

Tất cả điều này có ý nghĩa nội tại bởi vì (cố gắng như các cặp vợ chồng) bạn không thể kiểm soát xác suất sinh cụ thể là trai hay gái. Không quan trọng việc một đứa trẻ được sinh ra với một cặp vợ chồng không có con hay gia đình của một trăm bé trai; cơ hội là 50:50 vì vậy nếu mỗi cá nhân sinh ra có cơ hội 50:50 thì bạn nên luôn luôn có được một nửa trai và nửa gái. Và không quan trọng bằng cách bạn xáo trộn việc sinh giữa các gia đình; bạn sẽ không ảnh hưởng đến điều đó.

Điều này hoạt động cho bất kỳ quy tắc ¹

Vì cơ hội 50:50 cho bất kỳ lần sinh nào, tỷ lệ sẽ kết thúc là 1: 1 cho bất kỳ quy tắc (hợp lý ¹ ) nào bạn có thể đưa ra. Ví dụ, quy tắc tương tự dưới đây cũng có hiệu quả

Các cặp vợ chồng ngừng có con khi họ có một cô gái, hoặc có hai con

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
1               0.5           1       0
2               0.25          1       1
2               0.25          0       2

Trong trường hợp này, tổng số trẻ dự kiến ​​sẽ dễ dàng tính toán hơn

Cô gái mong đợi từ một cặp vợ chồng${}=0.5\cdot1 + 0.25\cdot1 =0.75$
${}=0.25\cdot1 + 0.25\cdot2 =0.75$

¹ Như tôi đã nói điều này hoạt động cho bất kỳ quy tắc hợp lý nào có thể tồn tại trong thế giới thực. Một quy tắc không hợp lý sẽ là một quy tắc trong đó con cái mong đợi của mỗi cặp vợ chồng là vô hạn. Ví dụ: "Cha mẹ chỉ ngừng sinh con khi họ có con trai nhiều gấp đôi con gái", chúng ta có thể sử dụng các kỹ thuật tương tự như trên để cho thấy rằng quy tắc này mang lại cho trẻ em vô hạn:

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
3               0.125         1       2
6               1/64          2       4
9               1/512         3       6
3*m             1/((3m)^2     m       2m

Sau đó chúng ta có thể tìm thấy số lượng cha mẹ có số lượng con hữu hạn

Số lượng phụ huynh dự kiến ​​có con hữu hạn${}=\sum_{m=1}^\infty(\frac{1}{1/(3m)^2})=\frac{\pi^2}{54}=0.18277\ldots.$

^{Giới hạn các giải pháp từ wolfram}

Vì vậy, từ đó chúng ta có thể xác định rằng 82% cha mẹ sẽ có số lượng con vô hạn; từ quan điểm quy hoạch thị trấn, điều này có thể sẽ gây ra khó khăn và cho thấy tình trạng này không thể tồn tại trong thế giới thực.

Bạn cũng có thể sử dụng mô phỏng:

p<-0
for (i in 1:10000){
  a<-0
  while(a != 1){   #Stops when having a girl
    a<-as.numeric(rbinom(1, 1, 0.5))   #Simulation of a new birth with probability 0.5
    p=p+1   #Number of births
  }
}
(p-10000)/10000   #Ratio

Lập bản đồ này giúp tôi thấy rõ hơn tỷ lệ dân số sinh (giả định là 1: 1) và tỷ lệ dân số trẻ em sẽ là 1: 1. Trong khi một số gia đình sẽ có nhiều bé trai nhưng chỉ có một bé gái, điều đó ban đầu khiến tôi nghĩ rằng sẽ có nhiều bé trai hơn bé gái, số lượng các gia đình đó sẽ không quá 50% và sẽ giảm đi một nửa với mỗi đứa trẻ bổ sung, trong khi số gia đình chỉ có một cô gái sẽ là 50%. Số lượng bé trai và bé gái sẽ cân bằng nhau. Xem tổng số 175 ở phía dưới.

Những gì bạn nhận được là đơn giản nhất, và một câu trả lời đúng. Nếu xác suất đứa trẻ sơ sinh là con trai là p và trẻ em không đúng giới tính không gặp phải tai nạn đáng tiếc, thì việc bố mẹ đưa ra quyết định có thêm con dựa trên giới tính của trẻ không thành vấn đề. Nếu số lượng trẻ em là N và N lớn, bạn có thể mong đợi về các bé trai p * N. Không cần phải tính toán phức tạp hơn.

Chắc chắn có những câu hỏi khác, như "xác suất đứa trẻ nhỏ nhất trong gia đình có con là con trai" hay "xác suất đứa trẻ lớn nhất trong gia đình có con là con trai". (Một trong số này có câu trả lời đúng đơn giản, người kia có câu trả lời sai đơn giản và nhận được câu trả lời đúng là khó).

Để cho

$\text{$\Omega$={(G),(B,G),(B,B,G),$\dots$}}$

là không gian mẫu và để

$\text{X: $\Omega\longrightarrow\mathbb{R}$; $\omega\mapsto\vert\omega\vert$-1}$

$\omega$$\text{E(X)}$

$\text{E(X)=$\sum_{n=1}^\infty(\text{n-1})\cdot0.5^n$=1}$

Một cách tầm thường, giá trị kỳ vọng của các cô gái là 1. Vì vậy, tỷ lệ này cũng là 1.

Đó là một câu hỏi mẹo. Tỷ lệ giữ nguyên (1: 1). Câu trả lời đúng là nó không ảnh hưởng đến tỷ lệ sinh, nhưng nó ảnh hưởng đến số trẻ em trong một gia đình với hệ số giới hạn trung bình là 2 lần sinh trong mỗi gia đình.

Đây là loại câu hỏi bạn có thể tìm thấy trong bài kiểm tra logic. Câu trả lời không phải là về tỷ lệ sinh. Đó là một sự xao lãng.

Đây không phải là một câu hỏi xác suất, mà là một câu hỏi lý luận nhận thức. Ngay cả khi bạn trả lời tỷ lệ 1: 1, bạn vẫn thất bại trong bài kiểm tra.

Tôi đang hiển thị mã tôi đã viết cho một mô phỏng Monte Carlo (500x1000 họ) bằng phần mềm 'MATLAB'. Vui lòng xem xét kỹ mã để tôi không phạm sai lầm.

Kết quả được tạo ra và vẽ dưới đây. Nó cho thấy xác suất sinh con gái mô phỏng có sự phù hợp rất tốt với xác suất sinh tự nhiên tiềm ẩn bất kể quy tắc dừng đối với một phạm vi xác suất sinh tự nhiên.

Chơi xung quanh với mã dễ hiểu hơn một điểm tôi chưa từng làm trước đây --- như cách nói khác, quy tắc dừng là một sự phân tâm. Quy tắc dừng chỉ ảnh hưởng đến số lượng gia đình có dân số cố định hoặc từ quan điểm khác số lượng sinh con được cung cấp cho một số gia đình cố định. Giới tính chỉ được xác định bằng cách tung xúc xắc và do đó tỷ lệ hoặc xác suất (không phụ thuộc vào số lượng trẻ em) sẽ chỉ phụ thuộc vào bé trai tự nhiên: chuột sinh con gái.

testRange=0.45:0.01:0.55;
N=uint32(100000); %Used to approximate probability distribution
M=1000; %Number of families
L=500; %Monte Carlo repetitions
Nfamily=zeros(length(testRange),1);
boys=zeros(length(testRange),1);
girls=zeros(length(testRange),1);
for l = 1:L
    j=1; %Index variable for the different bgratio
    for bgratio=testRange
    k=1; %Index variable for family in each run (temp family id)
    vec=zeros(N,1);
    vec(1:N*bgratio,1)=1; %Approximate boy:girl population for dice roll, 
    %1 = boy

    vec=vec(randperm(s,N)); %Random permutation, technically not necessary 
    %due to randi used later, just be safe
    bog = vec(randi(N)); %boy or girl? (God's dice roll)

    while k<M %For M families...
        if bog == 1 %if boy:
            boys(j) = boys(j)+1; %total global boys tally
        else
            girls(j)=girls(j)+1; %total global girls tally
            %Family stops bearing children
            Nfamily(j) = Nfamily(j)+1; %total global family tally
            k=k+1; %temp family id
            %Next family...
        end
        bog=vec(randi(N)); %Sample next gender (God's dice roll)
    end

    j=j+1; %Index variable for the different bgratio
    end
end
figure;
scatter(testRange,girls./(boys+girls))
hold on
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.44 0.56 0.44 0.56])

$i^{th}$$X_i$$0.5$

$E[\sum_i X_i] = \sum_i E[X_i] = 0.5 n$$n$

$E[\sum_i (1- X_i)] = \sum_i E[1-X_i] = 0.5 n$

Sự độc lập của các lần sinh không liên quan đến việc tính toán các giá trị mong đợi.

---

Câu trả lời của Apropose @ whuber, nếu có sự khác biệt về xác suất cận biên giữa các gia đình, tỷ lệ này bị lệch về phía con trai, do có nhiều trẻ em trong các gia đình có xác suất sinh con trai cao hơn các gia đình có xác suất thấp hơn, do đó có tác động tăng thêm tổng giá trị mong đợi cho các chàng trai.

Tôi độc lập cũng lập trình một mô phỏng trong MATLAB, trước khi xem những gì người khác đã làm. Nói đúng ra thì đó không phải là MC vì tôi chỉ chạy thử nghiệm một lần. Nhưng một lần là đủ để có được kết quả. Đây là những gì mô phỏng của tôi mang lại. Tôi không có quan điểm về khả năng sinh con là p = 0,5 như nguyên thủy. Tôi để xác suất sinh thay đổi trong phạm vi Pr (Con trai = 1) = 0,25: 0,05: 0,75.

Kết quả của tôi cho thấy khi xác suất lệch khỏi p = 0,5, tỷ số giới tính khác với 1: trong kỳ vọng tỷ số giới tính chỉ đơn giản là tỷ lệ xác suất sinh con trai so với xác suất sinh con gái. Đó là, đây là một biến ngẫu nhiên hình học như được xác định trước đây bởi @ månst. Đây là những gì tôi tin rằng các poster ban đầu là trực giác.

Kết quả của tôi gần giống với những gì người đăng trên với mã MATLAB đã làm, phù hợp với tỷ lệ giới tính ở các xác suất 0,45, 0,50 và 0,55 mà một cậu bé được sinh ra. Tôi trình bày của tôi khi tôi thực hiện một cách tiếp cận hơi khác để có được kết quả với mã nhanh hơn. Để thực hiện so sánh, tôi đã bỏ qua phần mã vec = vec (randperm (s, N)) vì s không được xác định trong mã của họ và tôi không biết ý định ban đầu của biến này (phần mã này cũng có vẻ không cần thiết - như ban đầu đã nêu).

Tôi gửi mã của tôi

clear all; rng('default')

prob_of_boy = 0.25:0.05:0.75;
prob_of_girls = 1 - prob_of_boy;

iterations = 200;

sex_ratio = zeros(length(prob_of_boy),1);
prob_of_girl_est = zeros(length(prob_of_boy),1);
rounds_of_reproduction = zeros(length(prob_of_boy),1);

for p=1:length(prob_of_boy)

    pop = 1000000;

    boys = zeros(iterations,1);
    girls = zeros(iterations,1);
    prob_of_girl = zeros(iterations,1);

    for i=1:iterations

        x = rand(pop,1);
        x(x<prob_of_boy(p))=1;

        %count the number of boys and girls
        num_boys = sum(x(x==1));

        boys(i) = num_boys;
        girls(i) = pop - num_boys;

        prob_of_girl(i) = girls(i)/(pop);

        %Only families that had a boy continue to reproduce
        x = x(x==1);

        %new population of reproducing parents
        pop = length(x);

        %check that there are no more boys 
        if num_boys==0

            boys(i+1:end)=[];
            girls(i+1:end)=[];
            prob_of_girl(i+1:end)=[];
            break

        end
    end

    prob_of_girl_est(p) = mean(prob_of_girl(prob_of_girl~=0));
    sex_ratio(p) = sum(boys)/sum(girls);
    rounds_of_reproduction(p) = length(boys);
end

scatter(prob_of_girls,prob_of_girl_est)
hold on
title('Est. vs. True Probability of a Girl Birth')
ylabel('Est. Probability of Girl Birth')
xlabel('True Probability of Girl Birth')
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.2 0.8 0.2 0.8])

scatter(prob_of_girls,sex_ratio)
hold on
title('Sex Ratio as a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Sex Ratio: $\frac{E(Boys)}{E(Girls)}$','interpreter','latex')

scatter(prob_of_girls,rounds_of_reproduction)
hold on
title('Rounds of Reproduction a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Rounds of Reproduction')

Các biểu đồ sau đây dự kiến ​​sẽ đưa ra luật mạnh về số lượng lớn. Tôi tái tạo nó, nhưng đồ thị quan trọng là đồ thị thứ hai.

Ở đây, xác suất dân số khác 0,5 cho sự ra đời của một trong hai giới tính của một đứa trẻ sẽ làm thay đổi tỷ số giới tính trong dân số nói chung. Giả sử rằng các ca sinh là độc lập (nhưng không phải là sự lựa chọn để tiếp tục sinh sản), trong mỗi vòng sinh sản có điều kiện, xác suất dân số chi phối tổng thể tạo nên kết quả của các bé trai và bé gái. Vì vậy, như những người khác đã đề cập, quy tắc dừng trong vấn đề là không quan trọng đối với kết quả dân số, như được trả lời bởi người đăng bài đã xác định đây là phân phối hình học.

Để đầy đủ, những gì quy tắc dừng lại ảnh hưởng là số vòng sinh sản trong dân số. Vì tôi chỉ chạy thử nghiệm một lần, đồ thị có một chút lởm chởm. Nhưng trực giác là có: với quy mô dân số nhất định, vì xác suất sinh con gái tăng lên, chúng ta thấy rằng các gia đình cần ít vòng sinh sản hơn để có được cô gái mong muốn trước khi toàn bộ quần thể ngừng sinh sản (rõ ràng số vòng sẽ phụ thuộc vào quy mô dân số, vì nó tăng một cách máy móc khả năng một gia đình sẽ có, ví dụ, 49 chàng trai trước khi họ có được cô con gái đầu lòng)

So sánh giữa các tỷ số giới tính được tính toán của tôi:

[sex_ratio' prob_of_boy']

0.3327    0.2500
0.4289    0.3000
0.5385    0.3500
0.6673    0.4000
0.8186    0.4500
1.0008    0.5000
1.2224    0.5500
1.5016    0.6000
1.8574    0.6500
2.3319    0.7000
2.9995    0.7500

và những người từ poster trước với mã MATLAB:

[boys./girls testRange']

0.8199    0.4500
0.8494    0.4600
0.8871    0.4700
0.9257    0.4800
0.9590    0.4900
1.0016    0.5000
1.0374    0.5100
1.0836    0.5200
1.1273    0.5300
1.1750    0.5400
1.2215    0.5500

Họ là kết quả tương đương.

Nó phụ thuộc vào số lượng gia đình.

$X$$p=0.5$

$$P(X = x) = 0.5^x, x=1,2,3...$$ $E(X) = 2$

$N$

$$\frac{N}{ \sum X_i}$$

$\sum X_i /N \rightarrow E(X) = 2$$N \rightarrow \infty$

$T$$T = \sum X_i$$T$

$$P(T=t) = C^{t-1}_{N-1} 0.5^t, t = N, N+1...$$

$$E\left[ \frac{N}{\sum X_i} \right] = E\left[ \frac{N}{T} \right] = \sum_{t=N}^{\infty} \frac{N}{t} C^{t-1}_{N-1} 0.5^t = {_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$$ $_2F_1$

${_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$