Xác suất mà một nhà cái cá cược đánh giá sai tỷ lệ cược trong các trận bóng đá là gì?

9

Một đội bóng đá Anh chơi một loạt các trận đấu với các đối thủ khác nhau về khả năng khác nhau. Một nhà cái cung cấp tỷ lệ cược cho mỗi trận đấu về việc đó sẽ là một chiến thắng trên sân nhà, thắng trên sân khách hoặc hòa. Một phần trong suốt mùa giải, đội đã chơi trận đấu và đã rút ra trong số đó, nhiều hơn dự kiến từ tỷ lệ cược. $n$ $k$

Xác suất mà nhà cái cá cược định giá sai tỷ lệ cược trong các trận đấu này, thay vì chỉ là không may mắn là gì? Nếu nhà cái tiếp tục định giá các trận đấu còn lại của đội theo cách tương tự và tôi đặt cược rằng mỗi người sẽ là một trận hòa, lợi nhuận kỳ vọng của tôi là bao nhiêu? $\$1$

probability games gambling

— Rodrigo de Azevedo
nguồn

2

Đã hỏi trước đó tại math.stackexchange.com/q/31871/18398

— Joel Reyes Noche

9

Câu trả lời cho câu hỏi của bạn phụ thuộc rất nhiều vào thông tin và giả định nào bạn sẽ sử dụng. Điều này là do kết quả của một trò chơi là một quá trình cực kỳ phức tạp. Nó có thể trở nên phức tạp tùy ý tùy thuộc vào thông tin bạn có về:

Người chơi trong đội cụ thể - có lẽ cả những kết hợp người chơi cụ thể có thể có liên quan.
Người chơi trong các đội khác
Lịch sử quá khứ của giải đấu
Các cầu thủ của đội ổn định đến mức nào - các cầu thủ có tiếp tục được chọn và bỏ không, hay là 11 như vậy.
Thời gian bạn đặt cược (trong trò chơi? Trước? Bao nhiêu trước? Thông tin nào bị mất từ đặt cược trước khi đặt cược vào ngày?)
một số tính năng liên quan khác của bóng đá mà tôi đã bỏ qua.

Tỷ lệ cược mà một người làm sách đưa ra không phản ánh tỷ lệ cược của người làm sách. đó là điều không thể nếu chúng là xác suất Một người làm sách sẽ điều chỉnh tỷ lệ cược xuống khi ai đó đặt cược vào một trận hòa và điều chỉnh chúng khi ai đó đặt cược vào một trận hòa. Do đó, tỷ lệ cược là sự phản ánh của các con bạc (những người sử dụng nhà sản xuất sách đó) nói chung. Vì vậy, nó không phải là người cá cược bị định giá sai, đó là tập thể đánh bạc - hay "con bạc trung bình".

$A$

P (k Draws in n matches | θ, A) = (\binom{n}{k}) θ^{k} (1 - θ)^{n - k}

$P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)={n \choose k}\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}$

Và chúng tôi muốn tính toán như sau

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A)

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)$

= \int_{0}^{1} P (next match is a draw | θ, A) P (θ | k Draws in n matches, A) d θ

$=\int_{0}^{1}P(\text{next match is a draw}|\theta,A)P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)d\theta$

trong đó

P (θ | k Draws in n matches, A) = P (θ | A) \frac{P (k Draws in n matches | θ, A)}{P (k Draws in n matches | A)}

$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=P(\theta|A)\frac{P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)}{P(\text{k Draws in n matches}|A)}$

là hậu thế cho . Bây giờ trong trường hợp này, điều khá rõ ràng là có thể xảy ra trận hòa và cũng có thể không xảy ra, vì vậy đồng phục trước là phù hợp (trừ khi có thêm thông tin chúng tôi muốn đưa vào ngoài kết quả của mùa giải ) và chúng tôi đặt . Sau đó, phần sau được cung cấp bởi bản phân phối beta (trong đó là chức năng beta ) $\theta$ $P(\theta|A)=1$ $B(\alpha,\beta)$

P (θ | k Draws in n matches, A) = \frac{θ^{k} (1 - θ)^{n - k}}{B (k + 1, n - k + 1)}

$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}$

Cho và xác suất trận đấu tiếp theo là hòa chỉ là để tích phân trở thành: $\theta$ $A$ $\theta$

\int_{0}^{1} θ \frac{θ^{k} (1 - θ)^{n - k}}{B (k + 1, n - k + 1)} d θ = \frac{B (k + 2, n - k + 1)}{B (k + 1, n - k + 1)} = \frac{k + 1}{n + 2}

$\int_{0}^{1}\theta \frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}d\theta=\frac{B(k+2,n-k+1)}{B(k+1,n-k+1)}=\frac{k+1}{n+2}$

và do đó xác suất chỉ là:

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A) = \frac{k + 1}{n + 2}

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{k+1}{n+2}$

Nhưng lưu ý rằng nó phụ thuộc vào - các giả định đã được thực hiện. Gọi là "tỷ lệ cược giá" một điều kiện khả năng về một số thông tin phức tạp khác chưa biết, nói . Vì vậy, nếu tỷ lệ cược được công bố khác với phân số trên, thì điều này nói rằng và dẫn đến các kết luận khác nhau, vì vậy cả hai đều không thể đúng về "kết quả thực sự" (nhưng cả hai đều có thể có điều kiện đúng với các giả định từng được đưa ra ). $A$ $B$ $A$ $B$

KILLER BLOW

Ví dụ này cho thấy câu trả lời cho câu hỏi của bạn đã được đưa ra để quyết định xem có "chính xác" hơn trong việc mô tả các cơ chế của trò chơi bóng đá hay không. Điều này sẽ xảy ra bất kể mệnh đề xảy ra là gì . Chúng tôi sẽ luôn sôi sục với câu hỏi "giả định của ai là đúng, tập thể đánh bạc hay của tôi?" Câu hỏi cuối cùng này là một câu hỏi cơ bản không thể trả lời cho đến khi bạn biết chính xác mệnh đề bao gồm những gì (hoặc ít nhất là một số tính năng chính của nó). Vì làm thế nào bạn có thể so sánh một cái gì đó được biết đến với một cái gì đó không phải là? $A$ $B$ $A$ $B$

CẬP NHẬT: Một câu trả lời thực tế :)

Như @whuber đã chỉ ra một cách táo bạo, tôi thực sự đã không đưa ra một giá trị mong đợi ở đây - vì vậy phần này chỉ đơn giản là hoàn thành phần đó trong câu trả lời của tôi. Nếu người ta cho rằng đúng với tỷ lệ cược , thì bạn sẽ mong đợi, trong trò chơi tiếp theo sẽ nhận được $A$ $Q$

Q \times P (next match is a draw | k Draws in n matches, A) - 1

$Q\times P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)-1$

= Q \times \frac{k + 1}{n + 2} - 1 = \frac{Q (k + 1) - n - 2}{n + 2}

$=Q\times \frac{k+1}{n+2}-1=\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$

Bây giờ nếu bạn cho rằng giá trị của dựa trên cùng một mô hình với mô hình của bạn thì chúng ta có thể dự đoán chính xác cách sẽ thay đổi trong tương lai. Giả sử dựa trên sự khác biệt trước đồng phục, giả sử , thì xác suất tương ứng là $Q$ $Q$ $Q$ $Beta(\alpha_Q,\beta_Q)$

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A_{Q}) = \frac{k + α_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A_Q)=\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

với lợi nhuận dự kiến là

\frac{Q (k + α_{Q}) - n - α_{Q} - β_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$\frac{Q(k+\alpha_Q)-n-\alpha_Q-\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

Bây giờ nếu chúng ta thực hiện "trọng lượng trước" trong đó là độ dài của mùa (điều này sẽ cho phép "giá sai" tiếp tục vào phần còn lại của mùa) và đặt lợi nhuận kỳ vọng về 0, chúng tôi nhận được: $\alpha_Q+\beta_Q = \frac{N}{2}$ $N$

α_{Q} = \frac{2 n + N}{2 Q} - k

$\alpha_Q=\frac{2n+N}{2Q}-k$

(LƯU Ý: trừ khi đây là mô hình thực tế, sẽ phụ thuộc vào thời điểm tính toán này được thực hiện, vì nó phụ thuộc vào sẽ thay đổi theo thời gian). Bây giờ chúng ta có thể dự đoán sẽ được điều chỉnh như thế nào trong tương lai, nó sẽ thêm vào mẫu số cho mỗi trận đấu và cho tử số nếu trận đấu là một trận hòa. Vì vậy, tỷ lệ cược dự kiến sau trận đấu đầu tiên là: $\alpha_Q$ $n,k,Q$ $Q$ $1$ $1$

(1 + \frac{n + β_{Q} - k + 1}{k + α_{Q}}) \frac{n - k + β_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}} + (1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q} + 1}) \frac{k + α_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$(1+\frac{n+\beta_Q-k+1}{k+\alpha_Q})\frac{n-k+\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}+(1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q+1})\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

= 1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q}} (1 + \frac{2}{(2 n + N) (k + α_{Q} + 1)}) \approx 1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q}}

$=1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}\left(1+\frac{2}{(2n+N)(k+\alpha_Q+1)}\right)\approx 1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}$

Đó là tỷ lệ cược sẽ không thay đổi nhiều trong mùa giải. Sử dụng xấp xỉ này, chúng tôi nhận được lợi nhuận dự kiến trong phần còn lại của mùa giải là:

(N - n) \frac{Q (k + 1) - n - 2}{n + 2}

$(N-n)\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$

Nhưng hãy nhớ rằng điều này dựa trên mô hình rút thăm quá đơn giản (lưu ý: điều này không nhất thiết có nghĩa là nó sẽ là một công cụ dự đoán "tào lao"). Không thể có câu trả lời duy nhất cho câu hỏi của bạn, vì không có mô hình cụ thể và không có thông tin cụ thể trước đó (ví dụ: có bao nhiêu người sử dụng cuốn sách này? Doanh thu của nhà sách là bao nhiêu? Đặt cược của tôi sẽ ảnh hưởng đến tỷ lệ cược như thế nào?). Điều duy nhất đã được chỉ định là dữ liệu từ một mùa và đối với "một số mô hình không xác định", xác suất không phù hợp với dữ liệu được ngụ ý bởi giá cả tỷ lệ cược.

— xác suất
nguồn

0

Các nhà cái sử dụng tiền thừa để họ không thực sự quan tâm kết quả là gì vì họ thắng bất cứ thứ gì. Đó là lý do tại sao bạn không bao giờ gặp một nhà cái nghèo. Nếu một nhà cái cá cược đánh giá sai khả năng kiếm lợi nhuận của bạn sẽ phụ thuộc vào tỷ lệ cược mà nhà cái đưa ra và liệu lợi nhuận được tạo ra có bao gồm số lần bạn mất hay không.

— Parbury
nguồn

1

Điều này có thể đúng, nhưng chủ yếu là không liên quan, bởi vì câu hỏi yêu cầu sự trở lại dự kiến của con bạc, chứ không phải là sự trở lại dự kiến của nhà cái

— xác suất

@probability Vì vậy, những gì là lợi nhuận kỳ vọng của con bạc? Tôi không thể tìm thấy nó trong câu trả lời của bạn :-).

— whuber