Lấy mẫu Gibbs cho mô hình Ising

Câu hỏi bài tập về nhà:

Hãy xem xét mô hình Ising 1-d.

Hãy để . x i là -1 hoặc +1$x = (x_1,...x_d)$$x_i$

$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

Thiết kế một thuật toán lấy mẫu gibbs để tạo các mẫu xấp xỉ từ phân phối đích .$\pi(x)$

Nỗ lực của tôi:

Ngẫu nhiên chọn giá trị (hoặc -1 hoặc 1) vector điền . Vì vậy, có lẽ x = ( - 1 , - 1 , 1 , 1 , 1 , - 1 , 1 , 1 , . . . , 1 ) . Vậy đây là x 0 .$x = (x_1,...x_{40})$$x = (-1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1,...,1)$$x^0$

Vì vậy, bây giờ chúng ta cần phải tiếp tục và thực hiện lần lặp đầu tiên. Chúng ta phải vẽ 40 x khác nhau cho riêng biệt. Vì thế...$x^1$

Vẽ từ π ( x 1 | x 0 2 , . . . , X 0 40$x_1^1$$\pi(x_1 | x_2^0,...,x_{40}^0)$

Vẽ từ π ( x 2 | x 1 1 , x 0 3 , . . . , X 0 40$x_2^1$$\pi(x_2 | x_1^1, x_3^0,...,x_{40}^0)$

Vẽ từ π ( x 3 | x 1 1 , x 1 2 , x 0 4 , . . . , X 0 40$x_3^1$$\pi(x_3 | x_1^1, x_2^1, x_4^0,...,x_{40}^0)$

Vân vân..

Vì vậy, phần khiến tôi vấp ngã là cách chúng ta thực sự rút ra từ phân phối có điều kiện. Làm thế nào để đi vào chơi? Có lẽ một ví dụ về một trận hòa sẽ làm sáng tỏ mọi thứ.$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

Nhìn vào trường hợp này đầu tiên. Chúng tôi có các điều khoản không phụ thuộc vào . π ( x 1 | x 2 , ... , x d ) = π ( x 1 , x 2 , ... , x d$x_1$

$$\pi(x_1\mid x_2,\dots,x_d) = \frac{\pi(x_1,x_2,\dots,x_d)}{\pi(x_2,\dots,x_d)} \propto e^{x_1 x_2}$$ $$P(X_1=-1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{-x_2}}{C}$$ $$P(X_1=1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{x_2}}{C}$$ $$\frac{e^{-x_2}}{C} + \frac{e^{x_2}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_2$$

x_1 <- sample(c(-1, 1), 1, prob = c(exp(-x_2), exp(x_2)) / (2*cosh(x_2)))

$x_2,\dots,x_{40}$

Bạn có thể sử dụng kết quả phân tích của Ising để kiểm tra mô phỏng của mình không?