Các hàm của biến ngẫu nhiên độc lập

Là tuyên bố rằng các chức năng của các biến ngẫu nhiên độc lập tự chúng là độc lập, đúng không?

Tôi đã thấy kết quả đó thường được sử dụng ngầm trong một số bằng chứng, ví dụ như trong chứng minh tính độc lập giữa giá trị trung bình mẫu và phương sai mẫu của phân phối bình thường, nhưng tôi không thể tìm ra lời biện minh cho nó. Có vẻ như một số tác giả cho rằng nó được đưa ra nhưng tôi không chắc chắn rằng đây luôn là trường hợp.

Các chung và trừu tượng định nghĩa nhất độc lập làm cho sự khẳng định này không đáng kể trong khi cung cấp một điều kiện đủ điều kiện quan trọng: đó là hai biến ngẫu nhiên là phương tiện độc lập sigma-đại số mà họ tạo ra là độc lập. Bởi vì đại số sigma được tạo bởi một hàm đo lường của đại số sigma là đại số phụ, một fortiori bất kỳ hàm có thể đo lường nào của các biến ngẫu nhiên này đều có đại số độc lập, do đó các hàm đó là độc lập.

(Khi một chức năng không thể đo lường được, nó thường không tạo ra một biến ngẫu nhiên mới, do đó, khái niệm độc lập thậm chí sẽ không được áp dụng.)

---

Chúng ta hãy mở ra các định nghĩa để xem điều này đơn giản như thế nào. Hãy nhớ lại rằng một biến ngẫu nhiên là một hàm có giá trị thực được xác định trên "không gian mẫu" (tập hợp các kết quả đang được nghiên cứu thông qua xác suất).$X$$\Omega$

1. Một biến ngẫu nhiên được nghiên cứu bằng các xác suất mà giá trị của nó nằm trong các khoảng khác nhau của các số thực (hay nói chung hơn là các tập hợp được xây dựng theo các cách đơn giản trong các khoảng: đây là các tập hợp số thực của Borel).$X$

2. Tương ứng với bất kỳ tập thể đo được Borel là sự kiện bao gồm tất cả các kết quả mà nằm trong .X * ( I ) ω X ( ω ) $I$ $X^{*}(I)$$\omega$$X(\omega)$$I$

3. Đại số sigma được tạo bởi được xác định bởi tập hợp tất cả các sự kiện như vậy.$X$

4. Định nghĩa ngây thơ nói rằng hai biến ngẫu nhiên và là độc lập "khi xác suất của chúng nhân lên". Đó là, khi là một bộ có thể đo được Borel và là một bộ khác, thìY I $X$$Y$$I$$J$

   $\Pr(X(\omega)\in I\text{ and }Y(\omega)\in J) = \Pr(X(\omega)\in I)\Pr(Y(\omega)\in J).$

5. Nhưng trong ngôn ngữ của các sự kiện (và đại số sigma) thì giống như

   $\Pr(\omega \in X^{*}(I)\text{ and }\omega \in Y^{*}(J)) = \Pr(\omega\in X^{*}(I))\Pr(\omega\in Y^{*}(J)).$

Bây giờ hãy xem xét hai hàm và giả sử rằng và là các biến ngẫu nhiên. (Vòng tròn là thành phần chức năng: . Đây là ý nghĩa của là "hàm của một biến ngẫu nhiên".) Lưu ý - điều này chỉ là lý thuyết tập cơ bản - đó f ∘ X g ∘ Y ( f ∘ X ) ( ω ) = f ( X ( ω ) ) $f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$f \circ X$$g\circ Y$$(f\circ X)(\omega) = f(X(\omega))$$f$

$$(f\circ X)^{*}(I) = X^{*}(f^{*}(I)).$$

Nói cách khác, mọi sự kiện được tạo bởi (nằm ở bên trái) sẽ tự động là một sự kiện được tạo bởi$f\circ X$$X$ f ∘ X g ∘ Y (như được thể hiện bằng hình thức của phía bên tay phải). Do đó (5) tự động giữ cho và : không có gì để kiểm tra!$f\circ X$$g\circ Y$

---

NB Bạn có thể thay thế "giá trị thực" ở mọi nơi bằng "bằng các giá trị trong " mà không cần thay đổi bất cứ điều gì khác theo bất kỳ cách thức vật chất nào. Điều này bao gồm trường hợp các biến ngẫu nhiên có giá trị vector.$\mathbb{R}^d$

Xem xét bằng chứng "ít nâng cao" này:

Đặt , trong đó là các biến ngẫu nhiên độc lập và là các hàm đo được. Sau đó: Sử dụng tính độc lập của và , X , Y f , g P { f ( X ) ≤ x  và  g ( Y ) ≤ y $X:\Omega_X\to\mathbb{R}^n,Y:\Omega_Y\to\mathbb{R}^m,f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k,g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p$$X,Y$$f,g$X Y P ( { X ∈ { w ∈ R n : f ( w ) ≤ x }

$$P\{f(X)\leq x \text{ and } g(Y)\leq y\}\\=P(\{f(X)\leq x\}\cap\{g(Y)\leq y\})\\=P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\}).$$ $X$$Y$ $$P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\})=\\=P\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\cdot P\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\} \\=P\{f(X)\leq x\}\cdot P\{g(Y)\leq y\}.$$

Ý tưởng là để ý rằng tập hợp nên tài sản mà có giá trị được mở rộng để và tương tự xảy ra đối với .X f ( X )

$$\{f(X)\leq x\}\equiv\{w\in\Omega_X:f(X(w))\leq x\}=\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\},$$ $X$$f(X)$$Y$

Có, và độc lập với mọi hàm và miễn là và độc lập. Đó là một kết quả rất nổi tiếng, được nghiên cứu trong các khóa học lý thuyết xác suất. Tôi chắc rằng bạn có thể tìm thấy nó trong bất kỳ văn bản tiêu chuẩn nào như của Billingsley.h ( Y ) g h X $g(X)$$h(Y)$$g$$h$$X$$Y$

Không phải là một thay thế, nhưng là một bổ sung cho các câu trả lời xuất sắc trước đó, lưu ý rằng kết quả này trong thực tế là rất trực quan.

Thông thường, chúng tôi nghĩ rằng và độc lập có nghĩa là việc biết giá trị của không cung cấp thông tin về giá trị của và ngược lại. Giải thích này rõ ràng ngụ ý rằng bằng cách nào đó bạn không thể "bóp" thông tin bằng cách áp dụng một chức năng (hoặc bằng bất kỳ phương tiện nào khác thực sự).$X$$Y$$X$$Y$