Phân phối xác suất của các hàm ngẫu nhiên?

Tôi có một nghi ngờ: xem xét các biến ngẫu nhiên thực có giá trị $X$ và $Z$ cả hai định nghĩa trên không gian xác suất $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$ .

Đặt $Y:= g(X,Z)$ , trong đó $g(\cdot)$ là hàm có giá trị thực. Vì $Y$ là hàm của các biến ngẫu nhiên nên nó là biến ngẫu nhiên.

Hãy $x:=X(\omega)$ tức là một thực hiện $X$ .

Là $\mathbb{P}(Y|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)|X=x)$ tương đương với $\mathbb{P}(g(x,Z))$ ?

probability random-variable

— người dùng3285148
nguồn

Bởi vì ký hiệu của bạn được thay viết tắt, nó có thể là giá trị chỉ ra rằng nó ngầm đề cập đến một số Borel thiết

, tùy thuộc vào một lượng hóa phổ quát, và rằng một vẽ đầy đủ hơn về câu hỏi của bạn do đó sẽ được cho dù đó là những trường hợp đó

A

$A$

\forall_{A} P (Y \in A | X = x) = P (g (X, Z) \in A | X = x) = P (g (x, Z) \in A) .

$\forall_A\ \mathbb{P}(Y\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(x,Z)\in A).$

— whuber

@whuber: đẳng thức cuối cùng của bạn chỉ hợp lệ nếu

và

độc lập.

X

$X$

Z

$Z$

— Zen

OK, bạn chỉ đang xem xét "liệu đó có phải là ...".

— Zen

$g$

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A ∣ X = x), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A\mid X=x),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$

P_{X}

$P_X$

x

$x$

Z

$Z$

X

$X$

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$

P_{X}

$P_X$

x

$x$

Điều này phụ thuộc vào kết quả chung sau:

$U,T$ $S$ $P_S(\cdot \mid T=t)$ $S$ $T=t$ $P_S(A \mid T=t)=P(S\in A\mid T=t)$
$\begin{matrix} (*) & E [U ∣ T = t] = \int_{R} E [U ∣ T = t, S = s] P_{S} (d s ∣ T = t) . \end{matrix}$ ${\rm E}[U\mid T=t]=\int_\mathbb{R} {\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).\tag{*}$

E [ψ (S, T)] = \int_{R} \int_{R} ψ (s, t) P_{S} (d s ∣ T = t) P_{T} (d t)

${\rm E}[\psi(S,T)]=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} \psi(s,t)\,P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)$

ψ

$\psi$

ψ (s, t) = 1_{B} (t) E [U ∣ S = s, T = t]

$\psi(s,t)=\mathbf{1}_B(t){\rm E}[U\mid S=s,T=t]$

B

$B$

\begin{aligned} \int_{T^{- 1} (B)} Bạn d P & = = E [1_{B} (T) Bạn] = = E [1_{B} (T) E [Bạn | S, T]] = = E [ψ (S, T)] \\ = = \int_{R} \int_{R} ψ (S, t) P_{S} (d S | T = = t) P_{T} (d t) \\ = = \int_{B} φ (t) P_{T} (d t) \end{aligned}

$\begin{align} \int_{T^{-1}(B)} U\,\mathrm dP&={\rm E}[\mathbf{1}_B(T)U]={\rm E}[\mathbf{1}_B(T){\rm E}[U\mid S,T]]={\rm E}[\psi(S,T)]\\ &=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\psi(s,t)\, P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)\\ &=\int_B\varphi(t)P_T(\mathrm dt) \end{align}$

φ (t) = = \int_{R} E [Bạn | T = = t, S = = S] P_{S} (d S | T = = t) .

$\varphi(t)=\int_\mathbb{R}{\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).$

B

$B$

φ (t) = E [U ∣ T = t]

$\varphi(t)={\rm E}[U\mid T=t]$

Bây giờ, hãy để và sử dụng với , trong đó $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ $(*)$ $U=\psi(X,Z)$ $\psi(x,z)=\mathbf{1}_{g^{-1}(A)}(x,z)$ $S=Z$ $T=X$

E [Bạn | X = = x, Z = = z] = = E [ψ (X, Y) | X = = x, Z = = z] = = ψ (x, z)

${\rm E}[U\mid X=x,Z=z]={\rm E}[\psi(X,Y)\mid X=x,Z=z]=\psi(x,z)$

(*)

$(*)$

\begin{aligned} P (g (X, Z) \in Một | X = = x) & = = E [Bạn | X = = x] = = \int_{R} ψ (x, z) P_{Z} (d z | X = = x) \\ = = P (g (x, Z) \in Một | X = = x) . \end{aligned}

$\begin{align} P(g(X,Z)\in A\mid X=x)&={\rm E}[U\mid X=x]=\int_\mathbb{R} \psi(x,z)\,P_Z(\mathrm dz\mid X=x)\\ &=P(g(x,Z)\in A\mid X=x). \end{align}$

— Stefan Hansen
nguồn