Làm thế nào để bạn tính toán ảnh hưởng của suy đoán trên quỹ đạo hình elip?

Định luật đầu tiên của Kepler tuyên bố rằng các hành tinh (và tất cả các thiên thể quay quanh một cơ thể khác) di chuyển theo quỹ đạo hình elip, có công thức nổi tiếng giúp tính toán các yếu tố quỹ đạo và hành vi liên quan tương đối dễ dàng. Tuy nhiên, suy đoán đang diễn ra có nghĩa là quỹ đạo luôn thay đổi - và do đó, hành tinh này không thực sự đi theo hình elip mà nó ban đầu đặt ra! Bạn có thể tính toán suy đoán và các tác động liên quan của nó ( câu hỏi và câu trả lời này rất hữu ích), nhưng có cách nào để tính toán quỹ đạo hình elip sẽ bị "biến dạng" bởi suy đoán như thế nào không?

Một điểm khởi đầu tốt sẽ là <chèn tên của một số nhà khoa học từ lâu> phương trình chuyển động hành tinh. Ví dụ: có các phương trình hành tinh của Lagrange (đôi khi được gọi là phương trình hành tinh Lagrange-Laplace), phương trình hành tinh của Gauss, phương trình hành tinh của Delaunay, phương trình hành tinh của Hill và nhiều phương trình khác. Chủ đề chung giữa các phương trình hành tinh khác nhau này là chúng mang lại các đạo hàm thời gian của các nguyên tố quỹ đạo khác nhau như là một hàm của các đạo hàm riêng của lực nhiễu loạn / tiềm năng nhiễu loạn đối với một số vị trí tổng quát.

Nói chung, từ duy nhất có thể mô tả kết quả của quá trình này lúc đầu là "mớ hỗn độn nóng". Một mớ hỗn độn nóng bỏng không ngăn cản những bộ óc thông minh cũ kỹ. Thông qua các giả định đơn giản hóa khác nhau và tính trung bình thời gian dài, họ đã đưa ra các mô tả khá đơn giản, ví dụ: (suy đoán apsidal) và (suy đoán phẳng). Bạn có thể thấy một số điều này trong tác phẩm được trích dẫn năm 1900 của Hill bên dưới.$\left \langle \frac{d\omega}{dt} \right\rangle$$\left \langle \frac{d\Omega}{dt} \right\rangle$

Mặc dù các kỹ thuật này đã cũ, những phương trình hành tinh này vẫn được sử dụng cho đến ngày nay. Rằng đôi khi bạn nhận được một "mớ hỗn độn" thì giờ chúng ta có máy tính. Mọi người đang sử dụng các phương trình hành tinh kết hợp với các kỹ thuật tích hợp hình học để tạo ra các tích hợp nhanh, chính xác, ổn định và bảo toàn động lượng và năng lượng góc trong khoảng thời gian dài. (Thông thường, bạn không thể có tất cả những thứ này. Bạn thật may mắn nếu bạn chỉ nhận được hai hoặc ba.) Một đặc điểm hay khác của các phương trình hành tinh này là chúng cho bạn thấy các tính năng như cộng hưởng bị che khuất bởi sự thật " lộn xộn nóng "của các phương trình cartesian của chuyển động.

Tài liệu tham khảo được chọn, sắp xếp theo ngày:

Hill (1900), "Về việc mở rộng phương pháp của Delaunay trong lý thuyết âm lịch đối với vấn đề chung về chuyển động hành tinh", Giao dịch của Hiệp hội toán học Hoa Kỳ , 1.2: 205-242.

Vallado (1997 trở lên), "Nguyên tắc cơ bản của Astrodynamics và ứng dụng", các nhà xuất bản khác nhau. Khác với cái lỗ mà nó đục lỗ thông qua ví của bạn, bạn không thể sai với cuốn sách này.

Efroimsky (2002), "Phương trình cho các yếu tố keplerian: đối xứng ẩn", Viện toán học và các ứng dụng của nó

Efroimsky và Goldreich (2003), "Đo đối xứng của vấn đề cơ thể N trong cách tiếp cận Hamilton bồi Jacobi." Tạp chí Vật lý toán học , 44,12: 5958-5977.

Wyatt (2006-2009), Khóa học giảng dạy sau đại học về các hệ hành tinh, Viện Thiên văn học, Cambridge.
Kết quả của các phương trình hành tinh Lagrange được trình bày trên slide 6.

Ketchum et al. (2013), "Cộng hưởng chuyển động trung bình trong các hệ thống Exoplanet: Một cuộc điều tra về hành vi gật đầu." Tạp chí Vật lý thiên văn 762.2.

$-k/r$

Tất cả mọi thứ khác là không elip (quỹ đạo không liên kết là parabol hoặc hyperbolic), nhưng hầu hết các sai lệch là nhỏ. Những sai lệch nhỏ có thể phát sinh từ một số nguồn, bao gồm các thuật ngữ bốn cực trong phân bố khối lượng của các cơ thể (tính bằng hạt Mặt trời), lực không hấp dẫn (áp suất bức xạ và lực khí kéo lên hạt bụi), hiệu ứng phi Newton (GR), nhiễu loạn từ các vật thể khác (tất cả các hành tinh khác). Bản thân Newton cũng nhận thức được hiệu ứng cuối cùng này.

Nếu độ lệch là nhỏ, thì cách truyền thống để ước tính chúng là lý thuyết nhiễu loạn , trong đó người ta tích hợp lực gây nhiễu dọc theo quỹ đạo không bị xáo trộn (hình elip). Ví dụ, để có được sự tiên đoán của periapse, người ta có thể tích hợp các thay đổi vào vectơ lệch tâm. Một vòng quay của vectơ đó tương ứng với suy đoán periapse. Xem câu trả lời của tôi cho câu hỏi này , cho một ví dụ về chính xác đó.

David Hammen đã viết

Mọi người đang sử dụng các phương trình hành tinh cùng với các kỹ thuật tích hợp hình học ...

Bạn cũng có thể thử (cái mà tôi gọi) một mô phỏng bước hữu hạn đơn giản sử dụng định luật Newton để vận hành trên khối lượng vật thể, vị trí, vận tốc và gia tốc. Tôi không chắc liệu điều này có nằm trong cái mà David gọi là "kỹ thuật tích hợp hình học" hay không. Quan điểm của tôi là bạn có thể làm điều đó mà không cần kết hợp các phương trình hành tinh. Nhược điểm = trình giả lập "cắt góc" bằng cách sử dụng xấp xỉ và điều này dẫn đến các hành vi trong mô hình là đồ tạo tác. Những nhược điểm này có thể được khắc phục bằng cách sử dụng các kỹ thuật khác. Lợi thế = nó làm cho thiết kế mã dễ dàng hơn, nó tránh được sự nghi ngờ rằng các phương trình hành tinh (và giả định của chúng) đang điều khiển chương trình.

$dt=1200s, 600s, 300s, 100s$$dt=0$$\approx 11.9$

Để trích dẫn Feymnan: -

Có thể là trong một chu kỳ tính toán, tùy thuộc vào vấn đề, chúng ta có thể có 30 phép nhân, hoặc một cái gì đó tương tự, vì vậy một chu kỳ sẽ mất 300 micro giây. Điều đó có nghĩa là chúng ta có thể thực hiện 3000 chu kỳ tính toán mỗi giây. Để có được độ chính xác, giả sử, một phần trong một tỷ, chúng ta sẽ cần 4 × 10 ^ 5 chu kỳ để tương ứng với một cuộc cách mạng của một hành tinh quanh mặt trời. Điều đó tương ứng với thời gian tính toán là 130 giây hoặc khoảng hai phút. Do đó, chỉ mất hai phút để theo dõi Sao Mộc quanh mặt trời, với tất cả các nhiễu loạn của tất cả các hành tinh đều đúng với một phần trong một tỷ, bằng phương pháp này!

Nhưng bạn phải suy nghĩ cẩn thận về những gì bạn có thể suy ra một cách đáng tin cậy từ các mô phỏng - ví dụ: nếu bước thời gian của bạn dài hơn vài trăm giây, mô phỏng sẽ chỉ ra suy đoán theo hướng ngược lại với điều thực sự xảy ra (nghĩa là lùi lại khi nó xảy ra nên tiên phong).