Cho một số n >= 2, xuất tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn nvị trí gcd(n, k) == 1(với kbất kỳ một trong các số đầu ra). Số loại này là nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ: 10đưa ra đầu ra [1, 3, 7, 9](dưới bất kỳ hình thức nào bạn thích, miễn là các số được phân tách rõ ràng và trong một số loại danh sách). Danh sách không thể có các mục trùng lặp và không phải sắp xếp.

Nhiều trường hợp thử nghiệm:

2 -> [1]
3 -> [1, 2]
6 -> [1, 5]
10 -> [1, 3, 7, 9]
20 -> [1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19]
25 -> [1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24]
30 -> [1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]

Chúng tôi cũng không tính những con số ở trên nlà tương đương n, chỉ vì tôi khá chắc chắn có những giải pháp vô hạn.

Cũng lưu ý: Các số tương ứng với nhau cũng được cho là tương đối nguyên tố hoặc tương hỗ lẫn nhau.

Thạch , 3 byte

gÐṂ

Hãy thử trực tuyến!

Cái này hoạt động ra sao?

gĐṂ - (Monadic) Chương trình đầy đủ.

g - ước số chung lớn nhất.
 ÐṂ - Giữ các phần tử có giá trị liên kết tối thiểu (nghĩa là các phần tử có GCD == 1)
       Lưu ý rằng điều này sẽ tự động tạo phạm vi [1, đầu vào] (đã bao gồm).

Bằng chứng về tính hợp lệ

Kể từ khi chúng tôi muốn trích xuất các coprimes chỉ, giá trị nhỏ nhất của danh sách Greatest-Common-ước có được 1 cho ÐṂtrick để làm việc. Hãy chứng minh rằng (theo hai phương pháp khác nhau):

1. Phạm vi được tạo ngầm, chứa và . Ước số chung lớn nhất luôn là số nguyên dương hoàn toàn, do đó được đảm bảo xảy ra và sẽ luôn là giá trị tối thiểu.$[1, \text{input}]$$1$$\gcd(1, x) = 1\:\:\forall\:\:x \in \mathbb{Z}^{*}$$1$

2. Hai số nguyên dương liên tiếp luôn luôn là số nguyên. Hãy xem xét , với . Sau đó, chúng tôi lấy một số nguyên dương khác sao cho và . y = x + 1 k k ∣ x k ∣ $x, y \in \mathbb{Z}^{*}$$y = x + 1$$k$$k \mid x$$k \mid y$

   Điều này ngụ ý rằng , vì vậy , do đó . Số nguyên dương duy nhất để chia là chính nó, vì vậy nó được đảm bảo xuất hiện trong danh sách và sẽ luôn là giá trị tối thiểu.k ∣ ( x + 1 - x ) k ∣ 1 1 $k \mid (y - x)$$k \mid (x + 1 - x)$$k \mid 1$$1$$1$

Python 2 , 61 47 byte

lambda n:[k/n for k in range(n*n)if k/n*k%n==1]

Hãy thử trực tuyến!

Lý lịch

Hãy xem xét vòng . Mặc dù vòng này thường được xác định bằng cách sử dụng các lớp dư modulo , nhưng nó cũng có thể được coi là tập , trong đó các toán tử cộng và nhân được xác định bởi và , trong đó biểu thị phép cộng thông thường, phép nhân và toán tử modulo trên các số nguyên.n Z n = { 0 , ... , n - 1 } một + n b = ( một + b $(Z_n, +_n, \cdot_n)$$n$$Z_n = \{0, \dots, n - 1\}$$a +_n b = (a + b)\:\%\: n$+ $a \cdot_n b = a \cdot b\:\%\: n$$+,\:\cdot\text{, and } \%$

Hai phần tử và của được gọi là phép nhân bội lẫn nhau modulo nếu . Lưu ý rằng bất cứ khi nào .b Z n n a ⋅ n b = $a$$b$$Z_n$$n$$a \cdot_n b = 1\:\%\:n$n > $1\:\%\:n = 1$$n > 1$

Fix và để cho thể là một nguyên tố cùng nhau của trong . Nếu cho hai phần tử và của , chúng ta có . Điều này ngụ ý rằng và chúng tôi theo dõi , nghĩa là chia đều . Vì chia sẻ không có ước số nguyên tố với , điều này có nghĩa là . Cuối cùng, bởi vìa n Z n a ⋅ n x = a ⋅ n y x y Z n a ⋅ $n > 1$$a$$n$$Z_n$$a \cdot_n x = a \cdot_n y$$x$$y$$Z_n$một ⋅ ( x - y $a \cdot x\:\%\:n = a \cdot y\:\%\:n$n | một ⋅ ( x - y ) n một ⋅ ( x - y ) n một n | x - y - n < x - y < n x = y một ⋅ n 0 , ... , một ⋅ n ( n - 1 ) Z n Z n n 1 b $a \cdot (x - y)\:\%\:n = a \cdot x\:\%\:n - a \cdot y\:\%\:n = 0$$n \mid a \cdot (x - y)$$n$$a \cdot (x - y)$$n$$a$$n \mid x - y$$-n < x - y < n$ , chúng tôi kết luận rằng . Điều này cho thấy các sản phẩm là tất cả các yếu tố khác nhau của . Vì có chính xác phần tử, nên một (và chính xác một) trong số các sản phẩm đó phải bằng , nghĩa là, có một duy nhất trong sao cho .$x = y$$a \cdot_n 0, \dots, a \cdot_n (n - 1)$$Z_n$$Z_n$$n$$1$ $b$ a ⋅ n b = $Z_n$$a \cdot_n b = 1$

Ngược lại, sửa chữa và để cho thể là một yếu tố của đó là không nguyên tố cùng nhau với . Trong trường hợp này, có một số nguyên tố sao cho và . Nếu thừa nhận một nghịch đảo modulo nhân giống (chúng ta hãy gọi nó là ), chúng tôi có mà , có nghĩa là và do đó, , vì vậy . Vì , chúng tôi theo đóa Z n n p p ∣ a p ∣ n a n b a ⋅ n b = 1 a ⋅ $n > 1$$a$$Z_n$$n$$p$$p \mid a$$p \mid n$$a$$n$$b$$a \cdot_n b = 1$( a ⋅ b - 1 $a \cdot b\:\%\:n = 1$n ∣ a ⋅ b - 1 p ∣ a p ∣ a ⋅ b p ∣ n p ∣ a ⋅ b - 1 p ∣ ( a ⋅ b ) - ( a ⋅ b - 1 ) = 1 $(a \cdot b - 1)\:\%\:n = a \cdot b\:\%\:n - 1 = 0$$n \mid a \cdot b - 1$$p \mid a$$p \mid a \cdot b$ . Mặt khác, vì , chúng tôi cũng theo . Theo cách này, , điều này mâu thuẫn với giả định rằng là số nguyên tố.$p \mid n$$p \mid a \cdot b - 1$$p \mid (a \cdot b) - (a \cdot b - 1) = 1$$p$

Điều này chứng tỏ rằng các tuyên bố sau là tương đương khi .$n > 1$

• $a$ và là nguyên tố cùng nhau.$n$

• $a$ thừa nhận một nghịch đảo modulo .$n$

• $a$ thừa nhận một độc đáo nghịch đảo modulo .$n$

Làm thế nào nó hoạt động

Đối với mỗi cặp số nguyên và trong , số nguyên là duy nhất; trong thực tế, và là thương số và phần còn lại của chia cho , tức là, với , chúng ta có thể phục hồi và , trong đó biểu thị phép chia số nguyên . Cuối cùng, vì và , là một phần tử của ; thực tế, .b Z n k : = a ⋅ n + b a b k n k a = k / n b = $a$$b$$Z_n$$k := a \cdot n + b$$a$$b$$k$$n$$k$$a = k/n$/ a ≤ n - 1 b ≤ n - 1 k Z n 2 k ≤ ( n - 1 ) ⋅ n + ( n - 1 ) = n 2 - $b = k\:\%\: n$$/$$a ≤ n - 1$$b ≤ n - 1$$k$$Z_{n^2}$$k ≤ (n - 1) \cdot n + (n - 1) = n^2 - 1$

Như đã lưu ý ở trên, nếu và là nguyên tố cùng nhau, sẽ có một duy nhất sao cho , tức là sẽ có một duy nhất sao cho và , do đó danh sách được tạo ra sẽ chứa đúng một lần.n b a ⋅ $a$$n$$b$k k / n = a k / n ⋅ $a \cdot b\:\%\:n = 1$$k$$k / n = a$$k / n \cdot k\:\%\:n = (k / n) \cdot (k\:\%\:n)\:\%\:n = 1$$a$

Ngược lại, nếu và không phải là nguyên tố cùng nhau, điều kiện sẽ sai với tất cả các giá trị của sao cho , vì vậy danh sách được tạo sẽ không chứa .n k / n ⋅ $a$$n$k a = k / n $k / n \cdot k\:\%\:n = 1$$k$$a = k / n$$a$

Điều này chứng tỏ rằng danh sách lambda trả về sẽ chứa tất cả các số nguyên tố của trong chính xác một lần.Z $n$$Z_n$

Thạch , 4 byte

gRỊT

Hãy thử trực tuyến!

Làm thế nào nó hoạt động

gRỊT  Main link. Argument: n

 R    Range; yield [1, ..., n].
g     Compute the GCD of n and each k in [1, ..., n].
  Ị   Insignificant; return 1 for GCDs less or equal to 1.
   T  Truth; yield the indices of all truthy elements.

Toán học, 25 byte

Range@#~GCD~#~Position~1&

Định dạng đầu ra hơi kỳ lạ, trong đó mỗi kết quả được gói trong một danh sách riêng, ví dụ {{1}, {3}, {7}, {9}}. Nếu điều đó không ổn, tôi đã có hai giải pháp ở mức 30 byte:

Select[Range[x=#],#~GCD~x<2&]&
#&@@@Range@#~GCD~#~Position~1&

Mathematica thực sự có CoprimeQnhưng đó là quá dài.

2sable , 4 byte

Mã số:

ƒN¿–

Giải trình:

ƒ       # For N in the range [0, input]..
 N¿     #   Compute the GCD of N and the input
   –    #   If 1, print N with a newline

Sử dụng mã hóa CP-1252 . Hãy thử trực tuyến!

Python, 93 82 74 byte

f=lambda a,b:f(b,a%b)if b else a<2
lambda c:[i for i in range(c)if f(i,c)]

fkiểm tra đệ quy các coprimes và lambda thứ hai tạo ra chúng. Xuất ra một danh sách.

Trên thực tế , 8 byte

;╗R`╜┤`░

Hãy thử trực tuyến!

Giải trình:

;╗R`╜┤`░
  R`  `░  elements of range(1, n+1) where
;╗  ╜     n and the element
     ┤    are coprime

MATL , 7 byte

:GZd1=f

Hãy thử trực tuyến!

MATLAB / Octave, 22 byte

@(n)find(gcd(1:n,n)<2)

Hãy thử trực tuyến!

JavaScript (ES6), 64 61 byte

Đã lưu 3 byte nhờ @ user81655

n=>[...Array(n).keys()].filter(b=>(g=a=>b?g(b,b=a%b):a<2)(n))

Kiểm tra đoạn

f=n=>[...Array(n).keys()].filter(b=>(g=a=>b?g(b,b=a%b):a<2)(n))

for(var i = 2; i < 50; i++) console.log(i + ":", `[${ f(i) }]`);

Sứa , 19 18 byte

p
[#
`B
&~xr1
NnEi

Điều này hoạt động bằng cách tính toán hệ số nguyên tố của mọi số trong phạm vi và kiểm tra xem nó có giao nhau với đầu vào không (Jellyfish chưa có nội dung gcd chưa). Vì lý do chơi gôn, đầu ra theo thứ tự giảm dần. Hãy thử trực tuyến!

Giải trình

Trước hết, iđược đánh giá đầu vào; đối với đầu vào 10, giá trị của i-cell là 10.

r1
i

Ở đây r(phạm vi) được áp dụng cho đầu vào và 1. Vì đầu vào lớn hơn 1, nên phạm vi theo thứ tự giảm dần; cho đầu vào 10, điều này mang lại [9 8 7 6 5 4 3 2 1].

[#
`B
&~x
Nn

Phần này là một chức năng lớn, được đánh giá trên ivà phạm vi trên.

~x
n

Giao điểm ( n) của các thừa số nguyên tố ( x).

&~x
Nn

Nó có trống không ( N)

`
&~x
Nn

Chủ đề đến cấp 0, kiểm tra cho từng yếu tố của phạm vi.

[#
`B
&~x
Nn

Lọc ( #) phạm vi liên quan đến danh sách booleans này. Hàm được tạo bởi [muốn sử dụng đối số làm đối số #của chính nó, vì vậy chúng tôi đặt một Bkhối để #không nhận bất kỳ đối số nào. Mặt khác, giá trị của ~-cell sẽ được sử dụng làm đối số của hàm lớn. Cuối cùng, pin kết quả.

Xếp chồng, không lọc, 24 21 byte

Đã lưu 3 byte, lấy cảm hứng từ viên ruby ​​của Borsunho . ( 1 eqđến 2<)

{!n:>1+:n gcd 2<keep}

Hãy thử nó ở đây!

Đây là một n-lambda có một đối số duy nhất và mang lại mảng.

{!n:>1+:n gcd 2<keep}
{!                  }  n-lambda
  n                    push n
   :>                  range [0, n)
     1+                range [1, n]
       :               duplicate
        n gcd          element-wise gcd with n
              2<       element-wise equality with 1
                       this yields the range [1, n] and a boolean mask of coprime numbers
                keep   then, we simply apply the mask to the range and keep coprimes.

CJam , 14 byte

{:X{Xmff%:*},}

Hãy thử trực tuyến!

Giải trình

Chúng tôi không cần kiểm tra tất cả các ước số có thể có avà bkiểm tra xem chúng có phải là nguyên tố không. Nó đủ để xem xét liệu có bất kỳ yếu tố chính nào của sự bphân chia hay không a.

:X     e# Store the input in X.
{      e# Filter the list [0 1 ... X-1] by the results of this block...
  Xmf  e#   Get the prime factors of X.
  f%   e#   Take the current value modulo each of those prime factors.
  :*   e#   Multiply the results. Iff any of them divide the current
       e#   value, there's a 0 in the list, and the result of the product
       e#   is also 0, dropping the value from the resulting list.
},

Toán học, 26 byte

Pick[r=Range@#,r~GCD~#,1]&

Perl 6 , 20 byte

{grep 2>* gcd$_,^$_}

Brachylog , 16 13 byte

>.$p'(e:A*?),

Đây là một hàm lấy N làm đầu vào và tạo ra tất cả các số nguyên nhỏ hơn và đồng thời với nó.

Hãy thử trực tuyến! Như thường thấy trong Brachylog, điều này đã có thêm mã được thêm vào để biến chức năng thành một chương trình đầy đủ; Trình thông dịch của Brachylog, nếu được cung cấp một chức năng chứ không phải là một chương trình đầy đủ, sẽ chạy nó nhưng không in đầu ra, điều đó có nghĩa là bạn không thể thực sự quan sát hoạt động của nó.

Giải trình:

Một chương trình Brachylog là một chuỗi các ràng buộc; thông thường, LHS của một ràng buộc là RHS của ràng buộc tiếp theo.

>.$p'(e:A*?),
>              The input is greater than
 .             the output, whose
  $p           prime factorisation does
    '(     )   not obey the following constraint:
      e        it has an element which
       :A*     can be multiplied by something to
          ?    produce the input.
            ,  (This comma turns off an unwanted implicit constraint.)

Golfed xuống ba nhân vật bằng cách nhận ra không có lý do gì để kiểm tra xem nếu các yếu tố thông thường (mà đã được biết đến là một yếu tố chính của đầu ra) là một thủ yếu tố đầu vào. Chúng tôi đã biết nó là chính, vì vậy chúng tôi chỉ có thể kiểm tra nếu đó là một yếu tố. Ở đây tôi rất ngạc nhiên khi :A*?không gửi trình thông dịch vào một vòng lặp vô hạn và không cho phép giá trị không nguyên cho A , nhưng vì trình thông dịch làm những gì tôi muốn, tôi sẽ lấy nó.

APL Dyalog, 10 byte .

0~⍨⍳×1=⊢∨⍳

Giải thích (đầu vào n):

0~⍨⍳×1=⊢∨⍳
         ⍳ - 1 ... n (Thus, ⎕IO is 1)
       ⊢∨  - Each GCD'd by n
     1=    - Test equality with 1 on each element
   ⍳×      - multiplied by its index
0~⍨        - without 0.

Japt -f , 9 8 5 2 byte

jN

Thử nó

• 2 byte được lưu nhờ ETH chỉ ra một bộ não, dẫn đến một byte khác được lưu.

Toán học, 33 byte

xSelect[Range@x,x~CoprimeQ~#&]

Chứa U + F4A1

Haskell, 27 byte

f n=[k|k<-[1..n],gcd n k<2]

Hãy thử trực tuyến!

Julia 0,5 , 23 byte

!n=1÷gcd.(1:n,n)|>find

Hãy thử trực tuyến!

memes , 11 byte không cạnh tranh , lỗi thời

Không cạnh tranh như lặp lại của STDIN là mới. Sử dụng mã hóa UTF-8.

d`}}]i=1?ip

Giải trình:

d     Set program to not output result
`}    Loop next input-times
}]i   GCD of input and loop index
=1?   Is it equal to 1? If yes,
ip    Print out loop index

}truy cập mục đầu vào tiếp theo, nhưng đầu vào cuối cùng được lặp qua khi được đưa ra, do đó, việc nhập 6sẽ dẫn đến kết quả là 6 6 6 6 6 ...trong STDIN, giúp đọc hai đầu ra từ một.

05AB1E , 3 byte

Lʒ¿

Hãy thử trực tuyến!

Có tính năng mới.

Ruby, 36 34

->n{n.times{|i|p i if i.gcd(n)<2}}

Phải thừa nhận rằng đây không phải là câu trả lời rất truyền cảm .

2 byte được lưu nhờ Conor O'Brien.

Python 3 , 60 byte

Nhập gcd thay vì viết lambda mới cho nó. Gợi ý chơi golf chào mừng. Hãy thử trực tuyến!

import math
lambda c:[i for i in range(c)if math.gcd(c,i)<2]

Julia, 30 byte

n->filter(x->(gcd(n,x)<2),1:n)

Chức năng ẩn danh. filterloại bỏ các yếu tố khỏi danh sách không trung thực theo chức năng.

Trong trường hợp này, hàm là x->(gcd(n,x)<2)(đúng nếu gcd của đầu vào và phần tử danh sách nhỏ hơn 2). Danh sách này là phạm vi 1:n.

PARI / GP , 27 byte

n->[k|k<-[1..n],gcd(k,n)<2]

Điều này sử dụng ký hiệu thiết lập được giới thiệu trong phiên bản 2.6.0 (2013). Trong các phiên bản trước, cần thêm bốn byte:

n->select(k->gcd(k,n)<2,[1..n])

sẽ là cần thiết

05AB1E , 4 byte

GN¿–

Hãy thử trực tuyến!

Làm thế nào nó hoạt động

     # implicit input
G    # for N in range(1..input)
 N   # push N
  ¿  # gcd(input, N)
   – # if 1, print N

C (gcc) , 54 byte

k;f(n){for(k=0;++k/n<n;k/n*k%n-1||printf("%u ",k/n));}

Đây là một cổng của câu trả lời Python của tôi .

Hãy thử trực tuyến!

Bình thường , 5 byte

x1iLQ

Hãy thử trực tuyến!

Làm thế nào nó hoạt động

Lưu ý rằng Pyth sử dụng lập chỉ mục 0.

x1iLQ   Q = eval(input())

x1iLQQ  implicit Q at the end
  iLQQ  [gcd(Q,0), gcd(Q,1), ..., gcd(Q,Q-1)]
x1      all occurences of 1 in the above list (return their indices)