Tìm số nguyên tố lớn nhất vẫn là số nguyên tố sau khi xóa chữ số

Tại /math/33094/deleting-any-digit-yields-a-prime-is-there-a-name-for-this câu hỏi sau đây được hỏi. Có bao nhiêu số nguyên tố vẫn còn nguyên tố sau khi bạn xóa bất kỳ một trong các chữ số của nó? Ví dụ 719như một số nguyên tố như bạn nhận được 71, 19và 79. Trong khi câu hỏi này chưa được giải quyết, tôi nghĩ nó tạo ra một thách thức mã hóa tốt.

Bài tập. Đưa ra số nguyên tố lớn nhất mà bạn có thể tìm thấy vẫn là số nguyên tố sau khi bạn xóa bất kỳ một trong các chữ số của nó. Bạn cũng nên cung cấp mã tìm thấy nó.

Ghi bàn. Giá trị của số nguyên tố bạn đưa ra.

Bạn có thể sử dụng bất kỳ ngôn ngữ lập trình và thư viện nào bạn thích miễn là chúng miễn phí.

Để bắt đầu mọi thứ, 99444901133là lớn nhất được đưa ra trên trang được liên kết.

Thời gian giới hạn. Tôi sẽ chấp nhận câu trả lời đúng lớn nhất được đưa ra đúng một tuần sau khi câu trả lời đúng đầu tiên lớn hơn 99444901133câu trả lời.

Điểm số cho đến nay.

Con trăn

4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111

J (Randomra) (Câu trả lời này đã bắt đầu hẹn giờ một tuần vào ngày 21 tháng 2 năm 2013.)

222223333333

274 chữ số

4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111

Điều này mất khoảng 20 giờ thời gian CPU để tìm và khoảng 2 phút cho mỗi nguyên tố để chứng minh. Ngược lại, giải pháp 84 chữ số có thể được tìm thấy trong khoảng 3 phút.

84 chữ số

444444444444444444444444444444444444444444444444441111111113333333333333333333333333

77777777999999999999999777777777 (32 chữ số)
66666666666666622222222222222333 (32 chữ số)
647777777777777777777777777 (27 chữ số)
44444441333333333333 (20 chữ số)
999996677777777777 (18 chữ số)
167777777777777 (15 chữ số)

Tôi khuyên dùng công cụ này nếu bạn muốn xác nhận tính nguyên thủy: D. Alpern's ECM Applet

Cũng sử dụng một cách tiếp cận repdigit, dường như là cách tiếp cận có khả năng nhất để tìm thấy các giá trị lớn. Kịch bản sau đây bỏ qua thuật toán trên hầu hết các con số hoặc cắt ngắn sẽ dẫn đến bội số của 2, 3, 5 và bây giờ là 11 c / o PeterTaylor (đóng góp của anh ta đã tăng hiệu quả khoảng 50%).

from my_math import is_prime

sets = [
 (set('147'), set('0147369'), set('1379')),
 (set('369'), set('147'), set('1379')),
 (set('369'), set('0369'), set('17')),
 (set('258'), set('0258369'), set('39')),
 (set('369'), set('258'), set('39'))]

div2or5 = set('024568')

for n in range(3, 100):
 for sa, sb, sc in sets:
  for a in sa:
   for b in sb-set([a]):
    bm1 = int(b in div2or5)
    for c in sc-set([b]):
     if int(a+b+c)%11 == 0: continue
     for na in xrange(1, n-1, 1+(n&1)):
      eb = n - na
      for nb in xrange(1, eb-bm1, 1+(~eb&1)):
       nc = eb - nb
       if not is_prime(long(a*(na-1) + b*nb + c*nc)):
        continue
       if not is_prime(long(a*na + b*(nb-1) + c*nc)):
        continue
       if not is_prime(long(a*na + b*nb + c*(nc-1))):
        continue
       if not is_prime(long(a*na + b*nb + c*nc)):
        continue
       print a*na + b*nb + c*nc

my_math.pycó thể tìm thấy ở đây: http://codepad.org/KtXsydxK
Ngoài ra, bạn cũng có thể sử dụng gmpy.is_primechức năng: Dự án GMPY

Một số cải tiến tốc độ nhỏ là kết quả của hồ sơ. Việc kiểm tra tính nguyên thủy cho thời gian dài nhất trong bốn ứng cử viên đã được chuyển đến cuối cùng, xrangethay thế rangevà longthay thế các intloại phôi. intdường như có chi phí không cần thiết nếu biểu thức được đánh giá dẫn đến a long.

Quy tắc chia hết

Đặt N là số nguyên định dạng có dạng a ... ab ... bc ... c , trong đó a , b và c là các chữ số lặp lại.

Đến 2 và 5
- Để tránh chia hết cho 2 và 5 , c có thể không nằm trong tập [0, 2, 4, 5, 6, 8] . Ngoài ra, nếu b là thành viên của bộ này, độ dài của c có thể không ít hơn 2.

Bởi 3
- Nếu N = 1 (mod 3) , thì N có thể không chứa bất kỳ [1, 4, 7] nào , vì loại bỏ bất kỳ thứ nào trong số này sẽ dẫn đến kết quả là bội số của 3 . Tương tự như vậy đối với N = 2 (mod 3) và [2, 5, 8] . Việc triển khai này sử dụng một hình thức hơi yếu về điều này: nếu N chứa một trong [1, 4, 7] , thì nó có thể không chứa bất kỳ [2, 5, 8] nào và ngược lại. Ngoài ra, N có thể không chỉ bao gồm [0, 3, 6, 9] . Đây phần lớn là một tuyên bố tương đương, nhưng nó cho phép một số trường hợp tầm thường, ví dụ a , b và cmỗi lần được lặp lại bội số của 3 lần.

Đến 11
- Như PeterTaylor lưu ý, nếu N có dạng aabbcc ... xxyyzz , thì nó chỉ bao gồm các chữ số được lặp lại một số chẵn, nó chia hết cho 11 : a0b0c ... x0y0z . Quan sát này giúp loại bỏ một nửa không gian tìm kiếm. Nếu N có độ dài lẻ thì chiều dài của a , b và c cũng phải là số lẻ (giảm 75% không gian tìm kiếm) và nếu N có độ dài chẵn thì chỉ một trong số a , b hoặc c có thể chẵn về chiều dài (giảm 25% không gian tìm kiếm).
- Phỏng đoán: nếu abc là bội của 11 , ví dụ 407 , thì tất cả các lần lặp lẻ của a , b và c cũng sẽ là bội của 11 . Điều này rơi ra khỏi phạm vi của sự phân chia trên theo quy tắc 11 ; trong thực tế, chỉ có sự lặp lại kỳ lạ là trong số những người được cho phép rõ ràng. Tôi không có bằng chứng cho điều này, nhưng thử nghiệm có hệ thống không thể tìm thấy một ví dụ ngược lại. So sánh: 444077777 , 44444000777 , 44444440000077777777777 , v.v ... Bất cứ ai cũng có thể cảm thấy thoải mái để chứng minh hoặc bác bỏ phỏng đoán này. aditsu đã chứng minh điều này là chính xác.

Các chứng từ khác

2 bộ chữ số lặp lại
Số dạng mà ngẫu nhiên đang theo đuổi, một ... ab ... b , dường như hiếm hơn nhiều. Chỉ có 7 giải pháp nhỏ hơn 10 ¹⁷⁰⁰ , trong đó lớn nhất là 12 chữ số.

4 bộ chữ số lặp lại
Số của mẫu này, một ... ab ... bc ... cd ... d , dường như được phân bổ dày đặc hơn so với những chữ số mà tôi đang tìm kiếm. Có 69 giải pháp nhỏ hơn 10 ¹⁰⁰ , so với 32 sử dụng 3 bộ chữ số lặp lại. Những người trong khoảng từ 10 ¹¹ đến 10 ¹⁰⁰ như sau:

190000007777
700000011119
955666663333
47444444441111
66666622222399
280000000033333
1111333333334999
1111333333377779
1199999999900111
3355555666999999
2222233333000099
55555922222222233333
444444440004449999999
3366666633333333377777
3333333333999888883333
4441111113333333333311111
2222222293333333333333999999
999999999339999999977777777777
22222226666666222222222299999999
333333333333333333339944444444444999999999
559999999999933333333333339999999999999999
3333333333333333333111111111111666666666611111
11111111333330000000000000111111111111111111111
777777777770000000000000000000033333339999999999999999999999999
3333333333333333333333333333333333333333333333336666666977777777777777
666666666666666666611111113333337777777777777777777777777777777777777777
3333333333333333333888889999999999999999999999999999999999999999999999999933333333

Có một lập luận heuristic đơn giản là tại sao điều này nên xảy ra. Đối với mỗi độ dài kỹ thuật số, có một số bộ lặp lại (nghĩa là 3 bộ lặp lại hoặc 4 bộ lặp lại, v.v.) mà số lượng giải pháp dự kiến ​​sẽ cao nhất. Quá trình chuyển đổi xảy ra khi số lượng các giải pháp bổ sung có thể, được lấy theo tỷ lệ, vượt xa khả năng số lượng bổ sung cần kiểm tra là số nguyên tố. Do tính chất theo cấp số nhân của các khả năng kiểm tra và tính chất logarit của phân phối số nguyên tố, điều này xảy ra tương đối nhanh chóng.

Ví dụ, nếu chúng tôi muốn tìm một giải pháp 300 chữ số, kiểm tra 4 bộ chữ số lặp lại sẽ có khả năng tạo ra một giải pháp hơn 3 bộ và 5 bộ sẽ có nhiều khả năng hơn. Tuy nhiên, với khả năng tính toán mà tôi có, việc tìm một giải pháp lớn hơn 100 chữ số với 4 bộ sẽ nằm ngoài khả năng của tôi, chứ đừng nói đến 5 hoặc 6.

222223333333 (12 chữ số)

Ở đây tôi chỉ tìm kiếm aa..aabb..bb định dạng tối đa 100 chữ số. Chỉ có các hit khác là 23 37 53 73 113 311.

Mã J (đã dọn sạch) (xin lỗi, không có lời giải thích):

a=.>,{,~<>:i.100
b=.>,{,~<i.10
num=.".@(1&":)@#~
p=.(*/"1@:((1&p:)@num) (]-"1(0,=@i.@#)))"1 1
]res=./:~~.,b (p#num)"1 1/ a

Chỉnh sửa: Ai đó đã làm một phân tích sâu hơn waaay hơn tôi đã làm ở đây.

Không phải là một giải pháp mà là một ước tính sơ bộ về số lượng các giải pháp n chữ số.

Tạo mã J

   ops=: 'title ','Estimated number of solutions by digits',';xcaption ','digits',';ycaption ','log10 #'
   ops plot 10^.((%^.)%(2&(%~)@^.@(%&10))^(10&^.))(10&^(2+i.100))

Javascript (Lực lượng vũ phu)

Chưa tìm thấy số cao hơn

http://jsfiddle.net/79FDr/4/

Không có thư viện bigint, javascript chỉ giới hạn ở số nguyên <= 2^53.

Vì là Javascript, trình duyệt sẽ phàn nàn nếu chúng tôi không phát hành luồng thực thi cho giao diện người dùng để cập nhật, do đó, tôi đã quyết định theo dõi thuật toán đang tiến triển trong giao diện người dùng.

function isPrime(n){
    return n==2||(n>1&&n%2!=0&&(function(){
        for(var i=3,max=Math.sqrt(n);i<=max;i+=2)if(n%i==0)return false;
        return true;
    })());
};

var o=$("#o"), m=Math.pow(2,53),S=$("#s");

(function loop(n){
    var s = n.toString(),t,p=true,i=l=s.length,h={};
    if(isPrime(n)){
        while(--i){
            t=s.substring(0,i-1) + s.substring(i,l); // cut out a digit
            if(!h[t]){   // keep a hash of numbers tested so we don't end up testing 
                h[t]=1;  // the same number multiple times
                if(!isPrime(+t)){p=false;break;}
            }
        }
        if(p)
            o.append($("<span>"+n+"</span>"));
    }
    S.text(n);
    if(n+2 < m)setTimeout(function(){
        loop(n+2);
    },1);
})(99444901133);

Một liên kết đến một phân tích về vấn đề đã được đăng, nhưng tôi nghĩ rằng nó đang thiếu một vài điều. Hãy xem xét các số có chữ số m, bao gồm k dãy gồm 1 hoặc nhiều chữ số giống nhau. Nó đã được chỉ ra rằng nếu chúng ta chia các chữ số thành các nhóm {0, 3, 6, 9}, {1, 4, 7} và {2, 5, 8}, một giải pháp không thể chứa các chữ số từ cả nhóm thứ hai và thứ ba và nó phải chứa 3n + 2 chữ số từ một trong các nhóm này. Ít nhất hai trong số các chuỗi k phải có số chữ số lẻ. Trong số các chữ số {1, 4, 7} chỉ có 1 và 7 có thể là chữ số thấp nhất. Không ai trong số {2, 5, 8} có thể là chữ số thấp nhất. Vì vậy, có bốn (1, 3, 7, 9) hoặc hai (3, 9) cho chữ số thấp nhất,

Có bao nhiêu ứng cử viên? Chúng ta có m chữ số được chia thành k chuỗi ít nhất 1 chữ số. Có (m - k + 1) trên (k - 1) cách chọn độ dài của các chuỗi này, đó là khoảng (m - 1,5k + 2) ^ (k - 1) / (k - 1)!. Có 2 hoặc 4 lựa chọn cho chữ số thấp nhất, tổng cộng sáu. Có sáu lựa chọn cho các chữ số khác, ngoại trừ 36/7 lựa chọn cho chữ số cao nhất; tổng số là (6/7) * 6 ^ k. Có 2 ^ k cách để chọn độ dài của chuỗi là chẵn hay lẻ; k + 1 trong số này được loại trừ vì không có hoặc chỉ có một số lẻ; chúng ta nhân số lượng lựa chọn với (1 - (k + 1) / 2 ^ k), bằng 1/4 khi k = 2, 1/2 khi k = 3, 11/16 khi k = 4, v.v. các chữ số từ tập {1, 4, 7} hoặc {2, 5, 8} phải là 3n + 2, vì vậy số lượng lựa chọn được chia cho 3.

Nhân tất cả các số này, số lượng thí sinh là

(m - 1.5k + 2)^(k - 1) / (k - 1)! * (6/7) * 6^k * (1 - (k + 1) / 2^k) / 3

hoặc là

(m - 1.5k + 2)^(k - 1) / (k - 1)! * (2/7) * 6^k * (1 - (k + 1) / 2^k)

Bản thân ứng cử viên và số k được tạo bằng cách xóa một chữ số đều phải là số nguyên tố. Xác suất một số nguyên ngẫu nhiên xung quanh N là số nguyên tố là khoảng 1 / ln N. Xác suất cho một số chữ số m ngẫu nhiên là khoảng 1 / (m ln 10). Tuy nhiên, những con số ở đây không phải là ngẫu nhiên. Tất cả chúng đều được chọn không chia hết cho 2, 3 hoặc 5. 8 trong số 30 số nguyên liên tiếp không chia hết cho 2, 3 hoặc 5. Do đó, xác suất trở thành số nguyên tố là (30/8) / (m ln 10) hoặc khoảng 1.6286 / m.

Số lượng giải pháp dự kiến ​​là về

(m - 1.5k + 2)^(k - 1) / (k - 1)! * (2/7) * 6^k * (1 - (k + 1) / 2^k) * (1.6286 / m)^(k + 1)

hoặc cho m lớn về

(1 - (1.5k - 2) / m)^(k - 1) / (k - 1)! * 0.465 * 9.772^k * (1 - (k + 1) / 2^k) / m^2

Với k = 2, 3, 4, ... chúng tôi nhận được như sau:

k = 2: 11.1 * (1 - 1/m) / m^2
k = 3: 108 * (1 - 2.5/m)^2 / m^2 
k = 4: 486 * (1 - 4/m)^3 / m^2


k = 10: 10,065 * (1 - 13/m)^9 / m^2

Từ k = 10 trở đi, số sẽ nhỏ lại.