Phương trình đa thức huyền thoại trong hài bậc cầu

Gần đây tôi bắt đầu đọc về điều hòa hình cầu. Tôi có một câu hỏi về phương trình hàm cơ sở hài bậc cầu này được đề cập trong bài viết StoolSH này:

Những lm () và Re () được sử dụng để làm gì?

Bài viết có thể được tìm thấy ở đây: http://www.ppsloan.org/publications/StoolSH36.pdf

Ký hiệu Re () và Im () đề cập đến phần thực và phần ảo của một số phức. Các nhà toán học và vật lý học đã quen với việc sử dụng các sóng hài hình cầu (và biến đổi Fourier nữa) có giá trị phức tạp, do yếu tố này$e^{im\phi}$. Sau đó, bạn cũng sẽ có các hệ số phức tạp, nói chung, trong sự mở rộng điều hòa hình cầu của hàm (thực hoặc phức).

Sử dụng công thức của Euler ,$e^{im\phi} = \cos(m\phi) + i\sin(m\phi)$. Vì vậy, yếu tố đó mã hóa sóng cos và sin (dao động đó$m$ lần khi bạn di chuyển xung quanh đường xích đạo của hình cầu) trong phần thực và ảo của nó, tương ứng.

Khi chúng ta biết rằng chúng ta sẽ làm việc nghiêm túc với các hàm có giá trị thực, có thể thuận tiện hơn khi sử dụng các biến thể có giá trị thực của sóng hài hình cầu, trong đó $e^{im\phi}$ được thay thế bằng một trong hai $\cos(m\phi)$ hoặc là $\sin(m\phi)$và sử dụng các hệ số thực thay vì các hệ số phức tạp. Chúng tôi trao đổi một hệ số phức duy nhất cho hai hệ số thực, vì vậy chúng tôi không mất bất kỳ thông tin hoặc tính linh hoạt nào; về cơ bản nó là một sự thay đổi của cơ sở. Công thức này chỉ đảm bảo rõ ràng rằng mọi thứ luôn luôn hiện thực.