Làm thế nào để chuyển đổi 2D Fourier của một hình ảnh hoạt động?

Tôi hiểu cách biến đổi Fourier 1D tách tín hiệu thành tần số thành phần của nó, nhưng tôi gặp khó khăn trong việc hiểu cách biến đổi Fourier 2D ảnh hưởng đến hình ảnh 2D.

Từ một câu hỏi khác , John Calsbeek đã liên kết với một bài báo thú vị về việc đo lường chất lượng của các chức năng tiếng ồn . Điều này cho thấy các chức năng nhiễu khác nhau và biến đổi Fourier của mỗi.

Đây có phải là một biến đổi rời rạc của dữ liệu pixel hay là một biến đổi liên tục của hàm nội suy liên tục được sử dụng để tạo ra nhiễu tại các điểm tùy ý?

Là hình dạng hình khuyên có thể di chuyển để lấy các biến đổi Fourier 1D của đường thẳng qua tâm của hình ảnh ở mọi góc độ có thể? Hay là biến đổi cho từng góc có thể cũng được đo trên toàn bộ không gian 2D thay vì chỉ dọc theo một đường xuyên qua tâm? Tôi đang cố gắng để có được cảm giác trực quan về những thay đổi trong hình ảnh đầu vào tương ứng với những thay đổi trong biến đổi Fourier.

Biến đổi Fourier 2D được thực hiện bằng cách trước tiên thực hiện biến đổi Fourier 1D trên mỗi hàng của hình ảnh, sau đó lấy kết quả và thực hiện chuyển đổi Fourier 1D trên mỗi cột. Hoặc ngược lại; nó không thành vấn đề

Giống như biến đổi Fourier 1D cho phép bạn phân tách hàm thành tổng số sóng hình sin (1D) ở các tần số khác nhau, biến đổi Fourier 2D phân tách hàm dưới dạng tổng của sóng hình sin 2D. Những sóng này có thể có tần số khác nhau dọc theo trục x và y. Họ thường có hình thức:

$k_x$$k_y$$x$$y$$(k_x, k_y)$$\sqrt{k_x^2 + k_y^2}$

$(k_x, k_y)$$(k_x, k_y)$

Vì vậy, hình dạng hình khuyên trong biến đổi Fourier 2D biểu thị tính bất biến xoay của phân bố tần số (nghĩa là có biên độ tương đương với sóng theo mọi hướng), với phạm vi độ lớn hẹp (từ bên trong vành khuyên ra bên ngoài). Nói cách khác, bài báo đang sử dụng biến đổi Fourier để chứng minh rằng nhiễu của chúng là đẳng hướng và giới hạn băng tần một cách hợp lý.