Kết xuất phương trình - tại sao không thể giải quyết trực tiếp?

Tại sao phương trình kết xuất, được giới thiệu bởi Kajiya vào năm 1986, không thể giải được trực tiếp / phân tích?

Đáng buồn là tôi không thể thêm một bình luận cho câu trả lời ở trên (không đủ danh tiếng), vì vậy tôi sẽ làm như thế này.

Tôi muốn chỉ ra rằng những gì Dragonseel mô tả chỉ đơn giản là một phương trình tích phân (cụ thể là phương trình Fredholm thuộc loại thứ hai). Có nhiều phương trình như vậy có giải pháp phân tích; thậm chí một số dạng của phương trình kết xuất có một (ví dụ: có thể đưa ra giải pháp của một lò nung trắng bằng cách sử dụng một chuỗi hình học hội tụ đơn giản, mặc dù phương trình kết xuất là đệ quy vô hạn).

Cũng không cần thiết phải thiên vị các giải pháp ước tính bằng cách ràng buộc số lần thu hồi. Russian Roulette cung cấp một công cụ hữu ích để cung cấp cho chúng tôi một giải pháp không thiên vị cho phương trình kết xuất đệ quy vô hạn.

Khó khăn chính nằm ở chỗ các chức năng phản xạ (BRDF), phát xạ và khả năng hiển thị rất phức tạp và thường chứa nhiều điểm không liên tục. Trong những trường hợp này thường không có giải pháp phân tích, hoặc đơn giản là không thể tìm thấy giải pháp như vậy. Điều này cũng đúng trong trường hợp một chiều; hầu hết các tích phân thiếu các giải pháp phân tích.

Cuối cùng tôi muốn lưu ý rằng mặc dù hầu hết các trường hợp của phương trình kết xuất không có giải pháp phân tích, có rất nhiều nghiên cứu dưới dạng phương trình kết xuất có giải pháp phân tích. Sử dụng các giải pháp như vậy (dưới dạng xấp xỉ) khi có thể có thể giảm đáng kể nhiễu và có thể tăng tốc thời gian kết xuất.

Phương trình kết xuất như sau:

Bây giờ, tích phân nằm trên mặt cầu xung quanh điểm . Bạn tích hợp trên một số ánh sáng suy yếu, đến từ mọi hướng.$x$

Nhưng có bao nhiêu ánh sáng đi vào? Đây là ánh sáng mà một số điểm phản ánh theo hướng của điểm .$L(x',\omega_i)$$x'$$\omega_i$$x$

Bây giờ bạn phải tính toán bao nhiêu ánh sáng mà điểm mới phản xạ, đòi hỏi phải giải phương trình kết xuất cho điểm đó. Và giải pháp cho điểm đó phụ thuộc vào một số lượng lớn các điểm khác, bao gồm .$x'$$x$

Nói tóm lại, phương trình kết xuất là đệ quy vô hạn.

Bạn không thể giải quyết chính xác và phân tích vì nó có tích phân vô hạn trên các miền tích hợp vô hạn.

Nhưng vì ánh sáng trở nên yếu hơn mỗi lần nó bị phản xạ, đến một lúc nào đó, con người đơn giản không thể nhận thấy sự khác biệt nữa. Và do đó, bạn không thực sự giải phương trình kết xuất, nhưng bạn giới hạn số lần thu hồi (nói là phản xạ) ở một cái gì đó 'đủ gần'.