Các trường đại học trong lý thuyết loại phụ thuộc

11

Tôi đang đọc về lý thuyết loại phụ thuộc trong cuốn sách trực tuyến Lý thuyết loại Homotopy .

Trong phần 1.3 của Loại Theory chương, nó giới thiệu các khái niệm về hệ thống cấp bậc của vũ trụ : , nơi $\mathcal{U}_0 : \mathcal{U}_1 : \mathcal{U}_2 : \cdots$

mọi vũ trụ là một yếu tố của vũ trụ tiếp theo . Hơn nữa, chúng tôi giả định rằng vũ trụ của chúng tôi được tích lũy, đó là tất cả các yếu tố của vũ trụ cũng là các yếu tố của vũ trụ . $\mathcal{U}_i$ $\mathcal{U}_{i+1}$ $i^{\mathrm{th}}$ $(i+1)^{\mathrm{th}}$

Tuy nhiên, khi tôi nhìn vào các quy tắc hình thành cho các loại khác nhau trong phụ lục A, thoạt nhìn, nếu một vũ trụ xuất hiện phía trên thanh làm tiền đề, cùng một vũ trụ xuất hiện bên dưới. Ví dụ cho quy tắc hình thành các loại sao chép:

\frac{Γ ⊢ A : U_{i} Γ ⊢ B : U i}{Γ ⊢ A + B : U_{i}} (+ - F O R M)

$\dfrac{\Gamma \vdash A : \mathcal{U}_i \quad \Gamma \vdash B : \mathcal{U}i}{\Gamma \vdash A + B : \mathcal{U}_i}(+\mbox{-}FORM)$

Vì vậy, câu hỏi của tôi là tại sao một hệ thống phân cấp cần thiết? Trong hoàn cảnh nào bạn cần phải nhảy từ vũ trụ lên một cấp cao hơn trong hệ thống phân cấp? Nó thực sự là không rõ ràng để tôi làm thế nào đưa ra bất kỳ sự kết hợp của , bạn có thể kết thúc với một loại có nghĩa là không ở . Chi tiết hơn: các quy tắc hình thành trong các phần của phụ lục A.2.4, A.2.5, A.2.6, A.2.7, A.2.8, A.2.9, A.2.10, A.3.2, hoặc đề cập đến trong tiền đề và phán đoán, hoặc chỉ trong bản án. $A_m: \mathcal{U}_i$ $B$ $\mathcal{U}_i$ $\mathcal{U}_i$

Cuốn sách cũng gợi ý rằng có một cách chính thức để gán vũ trụ:

Nếu có bất kỳ nghi ngờ nào về việc một đối số có chính xác hay không, cách để kiểm tra nó là cố gắng gán các mức nhất quán cho tất cả các vũ trụ xuất hiện trong đó.

Quá trình để gán mức nhất quán là gì?

$\mathcal{U}:\mathcal{U}$ sẽ dẫn đến nghịch lý Russell . Tránh nghịch lý Russell được đề cập rõ ràng trong cuốn sách (trang 24). Nó cũng đi sâu vào chi tiết trang 54, 55 sử dụng các vũ trụ theo phong cách của Russell Russell chứ không phải là vũ trụ theo phong cách của Tarski. Vì vậy, ở mức độ rất cao, tôi chấp nhận rằng lý thuyết muốn tránh nghịch lý. Thật không may, tôi không có nền tảng để hiểu điều đó trực tiếp. Những gì tôi có sau câu hỏi này, thực sự chỉ là trầy xước bề mặt bằng cách lấy một số ví dụ về những điều trong và không phải trong cho và có thể là bất cứ điều gì khác mang lại cho tôi cảm giác cho cách thức phân cấp làm việc. $\mathcal{U}_j$ $\mathcal{U}_i$ $j > i$

type-theory homotopy-type-theory dependent-types

— tình yêu
nguồn

1

@huynhjl Sử dụng vũ trụ là không cần thiết để tránh nghịch lý, ví dụ, cả lý thuyết tập hợp ZF và NF của Quine, hai nền tảng toán học thay thế đều sử dụng chúng. Đại học là một cách thuận tiện để tránh nghịch lý (hoặc vì vậy chúng tôi hy vọng) trong khi đồng thời có khả năng xây dựng các loại rất biểu cảm.

— Martin Berger

14

Câu hỏi trong hoàn cảnh nào chúng ta cần phải nhảy từ vũ trụ lên một cấp cao hơn trong hệ thống phân cấp là một câu hỏi hay. Có thứ bậc và khả năng leo lên nó rất quan trọng. Bạn cần phải nhảy cấp khi bạn muốn coi vũ trụ là một loại hoặc là một phần của một loại. Ví dụ: để xác định các hàm của loại (không phụ thuộc) loại bạn phải chỉ ra rằng đang ở trong vũ trụ. Nhưng đó không thể là hoặc một số vũ trụ nhỏ hơn. Vậy, chúng ta làm gì? Để giải quyết vấn đề (không sử dụng dấu tích ), chúng ta cần phải nhảy lên một vũ trụ. Quy tắc cho phép chúng tôi thực hiện bước nhảy này là -Intro

A \to U_{i}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

A \to U_{i}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

U_{i}

$\mathcal{U}_i$

U_{i} : U_{i}

$\mathcal{U}_i : \mathcal{U}_i$

U

$\mathcal{U}$

\frac{⊢ Γ : c t x}{Γ ⊢ U_{i} : U_{i + 1}},

$\frac{\vdash \Gamma : ctx}{\Gamma \vdash \mathcal{U}_i : \mathcal{U}_{i+1}},$ được nêu trong Phụ lục A.2.3. Điểm chính của hệ thống phân cấp của vũ trụ là chúng ta có thể làm điều này. Điều này có thể được coi là một xấp xỉ an toàn của việc có vũ trụ chứa chính chúng.

— Martin Berger
nguồn

12

Tôi sẽ sửa đổi một chút câu trả lời của Martin để giải thích sự tích lũy đến đâu (quy tắc nói rằng và đòi hỏi ). Giả sử chúng ta có và chúng tôi muốn đưa ra một loại cho . Quy tắc hình thành cho là: (Nếu là cách viết tắt của thì quy tắc trên có thể được bắt nguồn từ quy tắc hình thành cho $X : \mathcal{U}_i$ $i \leq j$ $X : \mathcal{U}_j$ $A : \mathcal{U}_{42}$ $A \to \mathcal{U}_{99}$ $\to$

\frac{Γ ⊢ X : U_{i} Γ ⊢ Y : U_{i}}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{i}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_i}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_i}$

X \to Y

$X \to Y$

Π_{x : X} Y

$\Pi_{x : X} Y$

Π

$\Pi$ , nhưng chúng ta đừng lo lắng về nó.) Để sử dụng quy tắc này, cả hai loại liên quan đến sự hình thành của loại chức năng phải ở trong cùng một vũ trụ. Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi có trong và trong . Vì vậy, trước tiên chúng tôi sử dụng cummulativity để suy ra rằng , và sau đó tiến hành chứng minh rằng có loại .

A

$A$

U_{42}

$\mathcal{U}_{42}$

U_{99}

$\mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

A : U_{100}

$A : \mathcal{U}_{100}$

A \to U_{99}

$A \to \mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

Chúng ta có thể thoát khỏi tình trạng ảm đạm, nhưng sau đó các quy tắc trở nên phức tạp hơn. Ví dụ: hình thành would read hoặc Trong mọi trường hợp, lý thuyết loại có nhiều biến thể tinh tế và khiến tất cả chúng có thể chơi với nhau một cách độc đáo là một chút nghệ thuật. $\to$

\frac{Γ ⊢ X : U_{i} Γ ⊢ Y : U_{j}}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{max (i, j)}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_{\max(i,j)}}$

\frac{Γ ⊢ X : U_{i} Γ ⊢ Y : U_{j} i \leq k j \leq k}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{k}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j \qquad i \leq k \qquad j \leq k}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_k}$

— Andrej Bauer
nguồn